(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题04 幂函数、指数函数与对数函数(讲义)（2份，原卷版+解析版）

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一、幂函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α1).
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数).
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
常用结论：
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与00，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
常用结论：
1.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
四、函数的图像
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq \(――→,\s\up17(关于直线),\s\d15(y＝x对称))y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(纵坐标不变),\s\d15(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).
y＝f(x)eq \(――――――――――――→,\s\up17(横坐标不变),\s\d15(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(x轴下方部分翻折到上方),\s\d15(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――→,\s\up17(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d15(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.
常用结论：
1.记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.
3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，将变为，根据指数函数的单调性，即可比较，的大小。然后将，与1进行比较，再将1变为，即可比较1与的大小，最终可以判断，，的大小.
【解析】由已知，，
所以.
故选：B.
2．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【解析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
3．已知幂函数在上单调递减，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的概念以及幂函数的单调性求出，在根据指数函数与对数函数的单调性得到，根据幂函数的单调性得到，再结合偶函数可得答案.
【解析】根据幂函数的定义可得，解得或，
当时，，此时满足在上单调递增，不合题意，
当时，，此时在上单调递减，
所以.
因为，
又，所以，
因为在上单调递减，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以.
故选：C
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断.
【解析】因为函数的定义域为，，所以且，所以函数为非奇非偶函数，故排除选项A、D，又因为，故排除C.
故选：B.
5．已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复合函数的单调性可得答案.
【解析】因为函数为增函数，若在区间上是增函数，
由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数，
又在区间上是增函数，
所以，故有.
故选：B．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定函数，由函数图象的对称性排除两个选项，再由的值判断作答.
【解析】函数，则函数的图象关于直线对称，选项C，D不满足；
又，显然选项B不满足，选项A符合条件.
故选：A
7．已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的单调性列不等式组，由此求得的取值范围.
【解析】函数，
若在上为单调递增函数，
则，解得；
若在上为单调递减函数，
则，无解．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：C
8．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性结合基本不等式可得出、、的大小关系.
【解析】因为，则，由基本不等式可得，，
故，即.
故选：A.
9．已知图中曲线分别是函数，，，的图像，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的性质结合图像判断.
【解析】由对数的性质有：，，，
结合图像有：
，故A，C，D错误.
故选：B.
10．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域.
【解析】解：依题意可得，即，所以，
即函数的定义域为.
故选：C
11．函数，下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．不等式的解集是
D．是增函数
【答案】A
【分析】利用特殊值法可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；解不等式可判断C选项；利用指数型函数的单调性可判断D选项.
【解析】对于A选项，函数的定义域为，且，
所以，函数的图象不关于原点对称，A错；
对于B选项，因为，所以，，B对；
对于C选项，由可得，则，解得，C对；
对于D选项，对任意的，，
且函数在上单调递减，故函数是增函数，D对.
故选：A.
12．记函数的定义域为集合A，若“”是关于x的不等式成立”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域得集合，解不等式得的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.
【解析】函数有意义的条件为，解得，
所以，不等式，即，
因为，所以，记不等式的解集为集合，
所以，所以，得.
故选：B．
13．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．或D．
【答案】D
【分析】先根据幂函数定义解得m,再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.
【解析】由题意，则，即，当时， ，又当时， ，∴，解得，故选D．
【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域包含于的值域；的值域与的值域交集非空．
14．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域和单调函数，可得必存在唯一的正实数满足，，结合，可得，所以函数，由方程
在区间上有两解，则在区间上有两解，设
，作出函数在上的图象， 结合图象，可得实数的取值范围.
【解析】解:因为函数是定义域为的单调函数，对于任意的，
都有，
所以必存在唯一的正实数满足，，
所以，可得，即，所以，
所以，所以函数，
由方程在区间上有两解，则在区间上有两解，
设，作出函数在上的图象，如图所示，
结合图象，可得方程在区间上有两解，
实数满足.
故选:A
【点睛】本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理进行等价转化，本题的解答中根据，等价转换求得函数的解析式是解答的关键.
二、填空题
15．若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．
【答案】
【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可
【解析】由幂函数可得，解得或，
又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．
故答案为：
16．不等式的解集为：_________．
【答案】
【分析】将不等式化为，构造根据其单调性可得，求解即可.
【解析】不等式变形为
所以，
令，则有，显然在R上单调递增，
则，可得解得.
故不等式的解集为．
故答案为：
17．函数，若，则实数的范围是____________．
【答案】
【分析】根据解析式可判断是定义在上的奇函数且在上单调递增，转化不等式即可求解.
【解析】，，
是定义在上的奇函数，且显然在上单调递增，
由可得，
，解得.
故答案为：.
18．已知函数为奇函数，则______．
【答案】2或
【分析】根据条件，由，求出的值，再检验即可.
【解析】函数为奇函数，其定义域为
由，解得或
当时，，则，满足条件.
当时，，则，满足条件.
故答案为：2或
19．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】将代入对应解析式依次推导即可.
【解析】．
故答案为：.
20．关于的方程有实数根，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，由题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【解析】因为指数函数的值域为，关于的方程有实数根，
所以只需，即，解得；
故答案为：.
21．已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设，可转化为有两个正解，进而可得参数范围.
【解析】设，
由有两个零点，
即方程有两个正解，
所以，解得，
即，
故答案为：.
22．若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______．
【答案】
【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点.
【解析】令，则，，
所以函数图象恒过定点为.
故答案为：
23．已知函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性求得的单调递增区间.
【解析】，
解得或，所以的定义域为.
函数开口向上，对称轴为，
在上递增，
根据复合函数的单调性同增异减可知，的递增区间为.
故答案为：
24．函数的值域是________．
【答案】
【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解.
【解析】，
，，
所以.
故答案为：
25．若函数的定义域为，则的定义域为____.
【答案】
【分析】利用在同一对应法则下，括号内的式子的取值范围是相同的，先求得，进而得到，再解得即可.
【解析】对于，因为，所以；
因此对于，有，得，所以的定义域为.
故答案为：.
26．已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______.
【答案】
【分析】由条件可得，然后可算出答案.
【解析】因为，是定义域为的奇函数，
所以
因为当时，有，所以
所以
故答案为：
27．已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解
【解析】解： 由对数函数的性质，可得为单调递增函数，且函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
28．已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由，再根据函数的奇偶性得，两式联立可得，再由参变分离法得在上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.
【解析】函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①②得，，因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.
故答案为：
29．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
【答案】
【分析】根据对数型函数的性质，结合幂函数的定义进行求解即可.
【解析】因为，所以，设幂函数，
因为幂函数 的图象经过，
所以，
因此，
故答案为：
30．已知且，对任意且，不等式恒成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意得到在上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，得到，再结合对数函数的定义域和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．
【解析】因为对任意且，不等式恒成立，
所以在上单调递减，
因为在上单调递减，由复合函数的单调性知，
又由对数函数的定义域知，当时，恒成立，
可得，解得，
综上可得；，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
31．设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为___________.
【答案】
【分析】由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：，可得：，或因此只需要，即可得出．
【解析】解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，
当时，
则有：
那么：①
当或时，
或
只需要，
即：
得：②
把①式代入②，
得：，
化为：，
，解得．
的最大值为．
故答案为：．
三、解答题
32．已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解方程再检验即得解；
（2）令，再求函数的值域即得解.
（1）
解：由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.
综上所述.
（2）
解：由题得，
令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
33．已知幂函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)若，求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据幂函数定义知，结合奇函数性质，求得m的值，从而求得函数值.
（2）根据函数单调性，等价于，求得a的范围，将代数式化为，利用基本不等关系求得最小值.
（1）
由题知，，解得或，
又函数为奇函数，则，，
（2）
由（1）知，函数单增，等价于，解得，
，当且仅当时，等号成立.
因此，代数式的最小值为5.
34．已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.
【解析】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
35．已知函数，，且的图象关于坐标原点成中心对称.
(1)求实数的值；
(2)若在y轴的右侧函数的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意可知函数为奇函数，可利用特殊值计算出实数的值，然后检验函数为奇函数即可.
（2）在y轴的右侧函数的图象始终在的图象上方可转化为在恒成立，然后利用分离参数法转化为求函数最值即可.
（1）
的图象关于坐标原点成中心对称，是奇函数，
，，解得
又时，，，
所以.
（2）
在轴的右侧函数的图象始终在的图象上方
，即对恒成立.
与在上都是增函数，
在上是增函数，
当时，，
解得，
故所求实数的取值范围为.
36．已知定义域为的函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质和定义进行求解即可；
（2）根据函数的单调性和奇偶性及一元二次函数的恒成立进行求解即可.
（1）
因为是定义在上的奇函数，
所以，则（经检验，时为奇函数，满足题意）．
（2）
因为是奇函数，所以不等式等价于，
又由（1）知，易知是上的减函数，
所以，即对任意的有恒成立，
从而对应方程的根的判别式，解得．
所以的取值范围为．
37．已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；
（1）
解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）
解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
38．已知函数，．
(1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，求函数在区间上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为0
【分析】（1）分为、和三种情形，结合分离参数思想，通过最值即可得结果；
（2）分为和两种情形，通过去绝对值，结合二次函数的性质即可得结果.
(1)
若不等式恒成立，有，可化为
①当时，显然原不等式恒成立，此时；
②当时，，原不等式可化为，
因为，所以；
③当时，，原不等式可化为，
因为，所以．
由上知，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为．
(2)
，
①当时，令，则可化为，
令，二次函数的对称轴为，
故在区间上单调递增，可得的最小值为，
的最大值为；
②当时，令
则可化为，
令，二次函数的对称轴为，
故函数在区间单调递减，
由，，
得，因为，
所以函数在上的最大值为，最小值为0．
39．已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．
(1)求的值；
(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．
【答案】(1)
(2)增区间为 ，减区间为，最大值为
【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合韦达定理可解；
（2）根据复合函数的单调性将问题转化为求内层函数的单调区间问题，然后可得.
（1）
因为有意义时的取值范围为，
所以的解集为，
所以和是方程的两根．
由韦达定理可得，解得．
（2）
由（1）知，，
令，
因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时 ，取得最大值
40．设函数，且是定义域为R的奇函数，且的图象过点．
(1)求和的值；
(2)若R，，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数m，使函数在区间上的最大值为1．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】(1)直接利用奇函数可得到t的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a；
(2)利用奇函数的性质可得，再由函数单调性脱去“”，转化为二次不等式恒成立求解即可；
(3)令 换元后转化为二次函数有最大值，分类讨论求出最大值得出即可.
（1）
∵f（x）是定义域为R上的奇函数，
且，∴，
∴ ，此时，满足，
故符合题意，
∵函数的图象过点，∴，即，
解得或，因为且，
∴．
（2）
由（1）知，
由，得，
∵为奇函数，∴，
为R上的增函数，
∴对一切R恒成立，即对一切R恒成立，
故，解得．
（3）
由题意
设则，
∵，∴，记，
∴函数在有最大值为1，
①若对称轴，
∴，不合题意．
②若对称轴，
综上所述：故存在实数，使函数g（x）在上的最大值为1．
41．已知函数，.
(1)证明：为偶函数；
(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；
（2）首先得到，令，则，，根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得；
(1)
证明：定义域为，
，
即为，
则为偶函数；
(2)
解：
，
当时，，
令，则，，
当时，即，在上单调递增，
所以时，，解得，
当时即，时，，
解得：不成立；
当时，即，在上单调递减，所以时，，
解得不成立．
故存在满足条件的．
42．已知函数
（1）设是的反函数，当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】（1）利用反函数的性质，得到，然后，利用指数函数的单调性求解即可；
（2）利用对数函数的性质，把问题转化为的解集中恰好有一个元素，然后，对进行分类讨论即可；
（3）利用单调性的定义法，得出在上单调递减，
进而可得，通过参变分离，得到
，设，对进行分类讨论，并利用均值不等式进行求解即可
【解析】（1）因为，所以，所以，
所以，
当时，，故解集为；
（2）方程即，
即的解集中恰好有一个元素，
当时，，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，或；
（3）当时，设，则，，
所以在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值为，
所以，
所以
设，则，，
当时，，
当时，，
因为在上递减，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用反函数定义，得到，进而用单调性解不等式；（2）解题关键在于利用二次函数性质进行求解；（3）解题关键在于得出的单调性后，分类讨论，并利用均值不等式求解；本题难度属于中档题
43．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．
（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不是；（2）；（3）．
【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；
（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；
（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.
【解析】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，
有解，化为，无解，
不是“伪奇函数”；
（2）为幂函数，，，
，
为定义在的“伪奇函数”，
在上有解，
在上有解，
令，在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
，的值域为，
，；
（3）设存在满足，即在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，取等号时，
在上有解，
在上有解（*），
，解得，
记，且对称轴，
当时，在上递增，
若（*）有解，则，，
当时，在上递减，在上递增，
若（*）有解，则，即，此式恒成立，，
综上可知，.
【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.
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01；
当x