(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题19 圆锥曲线(讲义)（2份，原卷版+解析版）

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一、椭圆
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
常用结论：
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
4.AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
二、双曲线
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若ac，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
常用结论：
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a).
2.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).
4.若渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
三、抛物线
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
常用结论：
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.
一、填空题
1．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是________.
【答案】或
【分析】分椭圆的焦点在，轴上，由椭圆的方程可得的值，再由焦距为2可得的值，求出椭圆的离心率．
【解析】由椭圆的方程可得，且，焦距为2，可得，即，
当焦点在轴上时，则，，可得，
由题意可得，所以，这时离心率；
当焦点在轴上时，则，即，这时离心率，
综上，离心率为或，
故答案为：或
2．己知直线：，与双曲线：的一条渐近线垂直，则__________.
【答案】4
【分析】求得双曲线的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.
【解析】对双曲线：，其渐近线方程为，
对直线：，且斜率为，
根据题意可得，解得.
故答案为：.
3．若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【分析】求得双曲线的渐近线方程为，由于渐近与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为1，列方程可求出，从而可求出双曲线的离心率.
【解析】双曲线的渐近线方程为
圆的圆心为，半径为1，由直线和圆相切，
可得，解得，
则离心率.，
故答案为：
4．若双曲线的渐近线被圆所截的弦长为2，则的值为______．
【答案】
【分析】圆的半径和弦长已知，可求圆心到直线的距离，由点到直线距离公式解得的值
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
圆的圆心为，半径为，渐近线被圆所截的弦长为2，有圆心到渐近线距离，解得，
故答案为：
5．设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.
【答案】##
【分析】由可求得坐标，由垂直关系可得，由此可得，进而确定焦点坐标.
【解析】由得：，不妨令，，
，，
，，解得：，抛物线，
的焦点坐标为.
故答案为：.
6．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点，与l交于D、E两点，若，则F到l的距离为________．
【答案】2
【分析】根据题意分析求出点A的坐标，代入抛物线的方程求，即可得出F到l的距离.
【解析】设与x轴的交点分别为，则，即点，
∴，解得或（舍去），
故F到l的距离为2.
故答案为：2.
7．已知抛物线的焦点为 ， 为抛物线上第一象限内一点，直线与轴交于点，且，则直线的斜率为___________.
【答案】
【分析】由题意可设、、的坐标，运用可解出，利用抛物线解析式可得，由斜率公式解出即可.
【解析】由题意可设 ，，，
，，

为抛物线上第一象限内一点

直线的斜率为；
直线的斜率为：
故答案为：.
8．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________．
【答案】
【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答.
【解析】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则，
中，，由余弦定理得，
即，整理得，
所以C的离心率．
故答案为：
9．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为．若过点的直线与C交于A，B两点，且，则________．
【答案】##
【分析】由双曲线离心率可得，用a表示双曲线C和直线AB，联立方程求交点A、B的坐标，进而可求相关长度和角度，在中，利用正弦定理运算求解.
【解析】∵双曲线C的离心率为，则
∴双曲线C：，
由题意可得：直线
联立方程，解得或
即
∴，则
则，同理可得：
在中，由正弦定理，可得
故答案为：.
10．双曲线的左右焦点分别是，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点A，在第二象限交于点B，若，则双曲线的离心率为_______________．
【答案】
【分析】首先根据题意在以为圆心，为半径的圆上可得，再根据所在位置，利用双曲线的定义可得，结合可得化简即可得解.
【解析】根据题意可得：，
由以为半径的圆与双曲线在第一象限交于点A，在第二象限交于点B，
可得，
所以，
又，所以
即，所以，
故答案为：
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与y轴的正半轴交于点B，连接，，分别交双曲线的渐近线于点E，F.若四边形OFBE为平行四边形，则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【分析】由题可得，进而可得，即得.
【解析】设双曲线的焦距为，由题可得，则，
因为四边形OFBE为平行四边形，
所以，，
因为渐近线OF的方程为，所以，
所以离心率.
故答案为：.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线C的左支交于点A．若，则双曲线C的渐近线方程为 __．
【答案】
【分析】由已知可得，由过F2的直线斜率为，可得，进而由余弦定理可得c＝3a，可求双曲线C的渐近线方程．
【解析】由，得，
所以，故
由双曲线的定义知，，
因为直线的斜率为，所以，
即，结合，
因为，
可得，
由余弦定理得：，解得：c＝3a，
因为，所以，即，
可得，
∴双曲线C的渐近线方程为．
故答案为：．
13．过抛物线）的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C（点B在点F，C之间），且则直线AB的斜截式方程为__________
【答案】或
【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解.
【解析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，准线与轴的交点为G
设，则，，∴，即直线AB的斜率为
则可得，，
在ACE中可得：，则，即，
又，则，解得，即．
所以直线AB的斜截式方程为或
故答案为：或.
14．已知椭圆，A，B为其左右顶点，设直线上有一动点，连结AP，BP交椭圆于C，D，则直线BC的斜率与直线BD的斜率的乘积_________.
【答案】##
【分析】由斜率公式与椭圆性质求解，
【解析】直线的斜率，直线的斜率，
设，则，
故答案为：
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为A，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是________
（1）双曲线的离心率
（2）当点异于顶点时，△的内切圆的圆心总在直线上
（3）为定值
（4）的最小值为
【答案】（1）（3）（4）
【分析】先依据题给条件求得双曲线的标准方程.求得双曲线的离心率判断（1）；求得△的内切圆的圆心的横坐标判断（2）；对化简整理，并求值判断（3）；求得的最小值判断（4）.
【解析】双曲线的左、右焦点分别为，
双曲线的渐近线为，由圆与双曲线的渐近线相切，
可得，解之得或（舍），
则双曲线，，，
（1）双曲线的离心率.判断正确；
（2）为双曲线右支上（异于右顶点）一点，
设△的内切圆与x轴相切于M点，
则，解之得，则切点
则△的内切圆的圆心横坐标为，则圆心总在直线上.判断错误；
（3）设双曲线右支上的动点坐标为，则
又双曲线的渐近线为
则，即为定值.判断正确；
（4）设双曲线右支上的动点坐标为，则
由，可得
由，可得
不妨令，
则
由为双曲线右支上的动点，可得，则
则，即的最小值为.判断正确.
故答案为：（1）（3）（4）
16．已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.
【答案】①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.
【解析】解：选项①，对于曲线，，当时，，，
故直线与曲线相切与点；
联立，可得，故此时直线与切于点，
故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点，
则曲线的切线为：，曲线的切线为，
根据与表示同一条直线，则有，
解得，令，则有，
可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，
则有，
根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，
故有：，
设点的坐标为：，则有：，
令，可得，
再次求导可得：，故在上单调递增，
又，可得：当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故，则，故，故③正确；
对于④，当轴时，设，则，则有：，
记，则有，令，解得：，
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确.
故答案为：①③④.
二、单选题
17．双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的标准方程即得解.
【解析】解：由题意知，，所以双曲线的标准方程为，
双曲线的渐近线方程为，即.
故选：D．
18．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.
【解析】由题意得，所以准线为，
又因为，设点的坐标为，
则有，解得：
将代入解析式得：，
所以M点到x轴的距离为．
故选：D．
19．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则D．若椭圆的焦点在轴上，则
【答案】C
【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.
【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；
焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；
焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.
故选：C
20．已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（ ）
A．射线B．直线C．抛物线D．椭圆
【答案】C
【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【解析】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
故选：C.
21．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）､F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．（1，2）D．
【答案】D
【分析】由题意只需线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点即可，可得，从而得出离心率的取值范围.
【解析】双曲线的右焦点，
若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）､
F（右焦点）的距离相等，
则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，
所以，所以，
所以双曲线的离心率e的取值范围是.
故选：D
22．已知圆与抛物线的两个交点是A，B．过点A，B分别作圆和抛物线的切线，，则（ ）
A．存在两个不同的b使得两个交点均满足
B．存在两个不同的b使得仅一个交点满足
C．仅存在唯一的b使得两个交点均满足
D．仅存在唯一的b使得仅一个交点满足
【答案】D
【分析】利用抛物线方程设出交点坐标，再由直线与垂直及交点在圆上求出b，p的关系，然后逐项分析作答.
【解析】依题意，设圆与抛物线的交点，，显然直线的斜率存在且不为0，设方程为：，
由消去x并整理得：，而，则，解得，
由及圆的性质知，直线过圆心及点，于是得：，整理得：，
又，即，因此有，
解得，而，即，于是有满足的两曲线交点只有点，选项A，C不正确；
显然，即正数p值确定，b值也随之确定，并且唯一，选项B不正确，D正确.
故选：D
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
23．已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】A
【分析】设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角.
【解析】
不失一般性，设在轴上方，在轴下方，
设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，
则，，，且.
又.
又直线的方程为，
由可得，
故，所以，故，
同理，故，
因为共线，故，
整理得到即，
若，，
因为，，故，所以，
故.
故选：A.
【点睛】思路点睛：与椭圆有关的角的计算，一般利用其正切来刻画，因为角的正切与直线的斜率相关，注意运算结果的准确性.
24．已知椭圆的左、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若，且是曲线上不同的点，满足，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知条件推导出曲线C2：y2=4x．，，由
AB⊥BC，推导出，由此能求出的取值范围．
【解析】∵椭圆C1：+=1的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣1，0），F2（1，0），直线l1：x=﹣1，
设l2：y=t，设P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），
则y=t，且由|MP|=|MF2|，
∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，
∴曲线C2：y2=4x．
∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的点，
∴，，
∵AB⊥BC，
∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，
∵，，
∴（﹣4）（﹣）+=0，
∵y1≠2，y1≠y2，
∴，
整理，得，
关于y1的方程有不为2的解，
∴，且y2≠﹣6，
∴0，且y2≠﹣6，
解得y2＜﹣6，或y2≥10．
故选A．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查点的轨迹方程的求法，综合性强，难度大，解题时要
熟练掌握圆锥曲线的简单性质，注意函数与方程思想的合理运用．
25．已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.
【解析】如图，直线与直线相交于点N，
由于PM是的平分线，且，即PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，
所以，点M为中点，
因为O为的中点，
所以OM是三角形的中位线，
所以，
其中，
因为P与的四个顶点不重合，设，则，
则，
所以，又，
所以，
∴的取值范围是.
故选：D.
26．在平面直角坐标系中，，，，，角的平分线与P点的轨迹相交于I点．存在非零实数，使得过点A的直线与C点的轨迹相交于MN两点．若的面积为，则原点O到直线MN的距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件可知点C的轨迹为椭圆，容易验证直线MN不垂直与x轴，设，直线MN的方程为：，与椭圆方程联立，根据的面积为求出t，继而可求出结果．
【解析】设点，的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，
由，
知G为的重心，则G的坐标为，
由，知点P在角的平分线上，
又角的平分线与P点的轨迹相交于I点，因此点I为的内心，
如图，设角平分线交于，则，
故，由为角平分线可得，
而，故，故即,
因此，点C的轨迹是椭圆，点C的轨迹方程为．
若直线MN垂直于x轴，则，此时，不符合题意；
所以直线MN不垂直于x轴，设直线MN的方程为：，，
由，得：，
可知：，
所以，
所以
，
解得，
所以直线MN的方程为：，
则原点O到直线MN的距离为：．
故选：C．
三、解答题
27．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程；
（2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程．
（1）
因为点在抛物线上，所以
又因为，解得，故抛物线的标准方程为；
（2）
设，则
，所以，化为
又因为的中点为，所以，
则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为
整理得．
28．已知椭圆过点，且离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P是椭圆C上一点，是椭圆的两个焦点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可；
（2）根据椭圆的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【解析】（1）由题意椭圆的离心率，
∴椭圆C的方程为，
又点在椭圆上，∴，解得，
∴椭圆C的方程为；
（2）由椭圆定义知，①
由余弦定理知，
即②，
联立①②得，
29．双曲线，右焦点为.
(1)若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程；
(2)经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求解即可；
（2）法一：表达出，利用双曲线定义求出，从而求出离心率；
法二：表达出，将其代入双曲线方程，得到关于的齐次方程，求出离心率.
（1）
双曲线为等轴双曲线，
，
∵双曲线过点，将其代入得：
；
（2）
法一：是以线段为底边的等腰三角形，，
是等腰直角三角形，，
过作轴于点，则，
设左焦点，由双曲线定义知，
，
于是.
法二：前同法一得，点在上，
，
整理得：，解得：，
，
于是.
30．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在．
（1）
因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以；
（2）
因为点M是抛物线的准线上的动点，设．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则．
由得，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以；
因为，所以，
即，所以，
所以因为，所以①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设．
由得，所以，
且，所以（*），
因为，所以，即，所以，
所以，得，
因为，所以，
即，所以，
所以
则
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是．
31．已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，使得以线段为直径的圆恒过点
【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程；
（2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值.
【解析】（1）两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或；
当时，由得：，，双曲线的方程为：；
当时，方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
（2）由题意得：，
假设存在定点满足题意，则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时，设，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
当时，恒成立；
②当直线斜率不存在时，，则，，
当时，，，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时，，则，，
，，，
，解得：；
②当直线斜率不为时，设，，，
由得：，，
，，
；
当，即时，成立；
综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定点.
32．已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点．
①若的面积为，求直线l的方程；
②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点．
【答案】(1)；
(2)①或或；②证明见解析.
【分析】（1）利用给定的点B及离心率，求出a，b作答.
（2）由（1）求出坐标，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，①求出点P，Q纵坐标差的绝对值结合三角形面积求出l方程；②求出直线方程并求得M的坐标即可作答.
（1）
因椭圆的上顶点B，则，令椭圆半焦距为c，
由离心率为得，即，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
①由（1）知，，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，
由消去x并整理得：，设，
则，，
因此，解得或，
直线l的方程为或或.
②显然直线l不垂直于y轴，因直线过点，且，由①得直线的方程为，
由得点，直线的方程为：，
由解得：，因此点，
由①知，，即线段中点坐标为，
所以点M为线段的中点.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.
33．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若l交y轴于点P，，，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程；
（2）由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证；
（3）由得到，结合（2）中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围.
（1）
由题意得，，
则当l与x轴垂直时，不妨设，
由，得，
将代入方程，得，解得，
所以双曲线E的方程为．
（2）
设，，，
由与，得，
即，，将代入E的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②．
由①②知，，是方程的两个不等实根．
由韦达定理知，所以为定值．
（3）
又，即，
整理得：，
又，不妨设，则，
整理得，又，故，
而由（2）知，，故，
代入，
令，得，
由双勾函数在上单调递增，得，
所以m的取值范围为．
.
【点睛】解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下