考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

这是一份考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）（原卷版）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用），共13页。
考点04幂函数、指数函数、对数函数（9种题型4个易错考点）
【课程安排细目表】
一、 真题抢先刷，考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五、刷好题
六.刷压轴
一、 真题抢先刷，考向提前知

一．选择题（共1小题）
1．（2021•上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（　　）
A．f（x）＝x2 B．f（x）＝sinx C．f（x）＝2x D．f（x）＝1
二．填空题（共5小题）
2．（2021•上海）若方程组无解，则＝　 　．
3．（2021•上海）已知f（x）＝+2，则f﹣1（1）＝　 　．
4．（2020•上海）已知函数f（x）＝x3，f﹣1（x）是f（x）的反函数，则f﹣1（x）＝　 　．
5．（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为　 　．
6．（2022•上海）设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝　 　．
二、考点清单

一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
二．幂函数的图象

三．幂函数的性质
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
四．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
五．指数函数的单调性与特殊点
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
六．指数式与对数式的互化
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）
七．对数的运算性质
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
八．对数函数的定义域
一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．
九．对数函数的图象与性质

十．对数函数的单调性与特殊点
对数函数的单调性和特殊点：
1、对数函数的单调性
当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数
2、特殊点
对数函数恒过点（1，0）
十一．反函数
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色。
三、题型方法

一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共6小题）
1．（2023•宝山区校级模拟）已知幂函数的图像经过点P（2，4），则它是 　 　函数．（判断奇偶性）
2．（2023•长宁区二模）当x∈[a，+∞）时，幂函数y＝x2的图像总在的图像上方，则a的取值范围为 　 　．
3．（2023•黄浦区模拟）设m∈R，若幂函数y＝定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（　　）
A．1 B．4 C．7 D．10
4．（2023•黄浦区二模）若函数y＝xa的图像经过点（2，16）与（3，m），则m的值为 　 　．
5．（2023•宝山区二模）若幂函数y＝xa的图像经过点，则此幂函数的表达式为 　 　．
6．（2022•黄浦区二模）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα在区间（﹣∞，0）上单调递增，且其图像不过坐标原点，则α＝　 　．
二．幂函数的图象（共1小题）
7．（2023•黄浦区校级模拟）如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　）

A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是奇数，且
三．有理数指数幂及根式（共1小题）
8．（2022•静安区二模）解指数方程：　 　．
四．指数函数的单调性与特殊点（共1小题）
9．（2020•上海模拟）若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（　　）
A．＞ B．m|m|＞n|n| C．ln（m﹣n）＞0 D．πm﹣n＜1
五．对数的运算性质（共5小题）
10．（2023•黄浦区模拟）方程2x+log4x＝17的解为 　 　．
11．（2023•闵行区二模）若实数x、y满足lgx＝m、y＝101﹣m，则xy＝　 　．
12．（2023•上海模拟）若12a＝3b＝m，且，则m＝　 　．
13．（2023•静安区二模）若10x﹣10y＝10，其中x，y∈R，则2x﹣y的最小值为 　 　．
14．（2023•青浦区校级模拟）若实数b＞a＞1，且logab+logba＝，则3lna﹣lnb＝　 　．
六．对数函数的定义域（共1小题）
15．（2023•浦东新区三模）函数y＝lg（1+x）﹣lg（x﹣1）的定义域是 　 　．
七．对数函数的图象与性质（共2小题）
16．（2023•普陀区二模）设a＞0且a≠1，若在平面直角坐标系xOy中，函数y＝loga（ax+2）与y＝loga的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 　 　．
17．（2022•闵行区二模）已知函数的定义域为R，且对任意实数a，都满足f（a）≥f（﹣a），则实数m＝　 　．
八．对数函数的单调性与特殊点（共2小题）
18．（2023•浦东新区校级三模）函数f（x）＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 　 　．
19．（2023•上海模拟）不等式lg（x﹣1）＜1的解集是　 　．（用区间表示）
九．反函数（共5小题）
20．（2023•浦东新区校级一模）设函数y＝f（x）＝2x+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝　 　．
21．（2022•普陀区二模）设函数的反函数为f﹣1（x），若集合A＝{x|f﹣1（x）≥2，x∈Z}，则由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为 　 　．
22．（2022•静安区二模）若函数的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞3的解集是 　 　．
23．（2022•黄浦区二模）设a为常数，函数．
（1）若a＝0，求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；
（2）若a≤0，根据a的不同取值，讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由．

24．（2022•上海模拟）已知函数f（x）＝ax+k（a＞0且a≠1，常数k∈R）的图像过点（﹣1，1），其反函数y＝f﹣1（x）的图像过点（8，2），若将y＝f﹣1（x）的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数y＝g（x）的图像，则g（5）的值为 　 　．
四、易错分析

易错点1：幂函数中忽视定义域致错
1.已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
易错点4：忽视对数式中真数大于零致错
4．函数y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．
5．已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　 )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2]
五、刷好题

一．选择题（共2小题）
1．（2021•静安区二模）函数y＝x2（x≤0）的反函数为（　　）
A．y＝（x≥0） B．y＝﹣（x≥0） C．y＝（x≤0） D．y＝﹣（x≤0）
2．（2021•浦东新区校级模拟）已知函数的反函数图象的对称中心是（﹣1，3），则实数a的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4
二．填空题（共23小题）
3．（2022秋•浦东新区校级期末）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（3）＝　 　．
4．（2023春•松江区校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（﹣2）＝　 　．
5．（2021•杨浦区校级三模）幂函数y＝（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m＝　 　．
6．（2022秋•奉贤区校级期末）函数的定义域为　 　．
7．（2023春•嘉定区月考）若log2x＝3，则x＝　 　．
8．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数是幂函数，则实数m＝　 　．
9．（2022秋•徐汇区校级期末）把化成有理数指数幂的形式为 　 　．
10．（2021•黄浦区三模）设f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f﹣1（x）时，x的值为　 　．
11．（2022秋•浦东新区校级期末）记函数y＝3ax﹣8﹣1所过定点为P，若P位于幂函数f（x）的图像上，则f（﹣27）＝　 　．
12．（2022秋•浦东新区校级期末）幂函数f（x）的图像经过点（2，4），则解析式f（x）＝　 　．
13．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm（x≠0）是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m＝　 　．
14．（2022秋•普陀区校级期末）已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的单调减区间为　 　．
15．（2022秋•金山区期末）将a•化为有理数指数幂的形式为 　 　．
16．（2022秋•金山区校级期末）若m≠n，且m2﹣5m+1＝0，n2﹣5n+1＝0，则m2+n2的值为 　 　．
17．（2023春•宝山区校级期中）指数函数y＝（a﹣1）x在区间[0，2]上的最大值为4，则实数a的值是 　 　．
18．（2022秋•徐汇区期末）当α∈R时，函数y＝xα﹣2的图像恒过定点A，则点A的坐标为 　 　．
19．（2022秋•浦东新区校级期末）函数y＝ax+1的图象过定点　 　．
20．（2022秋•普陀区校级期末）如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1+t2＝t3；
其中正确的说法有　 　．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．

21．（2022秋•普陀区校级期末）已知a＝lg2，则lg50＝　 　（用a表示）．
22．（2022秋•金山区校级期末）若ln2＝a，ln3＝b，则＝　 　.（结果用a、b表示）．
23．（2021•徐汇区校级三模）已知函数f（x）＝，x∈[1，9]，g（x）＝f（x）•f（x2）的反函数是g﹣1（x），则g﹣1（x）的定义域为　 　．
24．（2021•浦东新区三模）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则an＝　 　．
25．（2021•崇明区二模）设f（x）＝lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为　 　．
八.刷压轴

一、单选题
1．（2022·上海普陀·统考一模）设函数（且）在区间上是单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海普陀·统考二模）已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：
①若，则；
②若，则．
其中正确的是（    ）
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
二、填空题
3．（2022·上海静安·统考二模）已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.
4．（2021·上海松江·统考一模）对于定义域为D的函数f(x)，若存在且，使得，则称函数f(x)具有性质M，若函数，具有性质M，则实数a的最小值为__．
5．（2021·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）设为，的反函数，则的最大值为_________.
6．（2020·上海金山·统考二模）我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足
，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________
三、解答题
7．（2021·上海·统考一模）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数.
（1）判断，与，是否是非 减函数?
（2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围；
（3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值.

8．（2020·上海杨浦·统考二模）已知，其中是实常数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；
（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.





9．（2021·上海·统考一模）已知函数.
（1）解不等式；
（2）设均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数及的值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（3）设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，且，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域.









10．（2021·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）已知，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.