(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题14 复数(讲义)（2份，原卷版+解析版）

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1.复数的有关概念
2．复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点eq \(□,\s\up1(01))Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
(4)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))所对应的复数．
②复数减法的几何意义：复数z1－z2是eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))即eq \(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数．
4.模的运算性质：①|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2＝z·eq \(z,\s\up6(－))；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|).
5.实系数的一元二次方程：
设一元二次方程为（、、且）。
因为，所以原方程可以变形为。
配方得，，即
。
（1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根
；
（2）若，即，此时方程有两个相等的实数根；
（3）若，即，方程没有实数根。
因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根
。
因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。
特别地，当时，实系数一元二次方程（、、且）在复数集中有一对互相共轭的虚数根
。
注：虚根成对定理
若虚数是实系数一元（）次方程
（）
的根，那么也是这个方程的根。
6.复数的三角表示式
记向量的模，由上图可以得到（由三角函数定义得），
所以
其中，，.
这样，我们就用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角表示了复数.
（1）.复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注：代数形式是唯一的.三角形式不唯一.例如.
（2）.辐角与辐角主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.
通常记作，即.
（3）.复数代数形式和三角形式的转化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
（4）.复数相等的三角形式
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
一、单选题
1．已知的实部与虚部相等，则实数（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】由题可得，即得.
【解析】由题可知，
解得.
故选：D．
2．复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的乘方化简计算．
【解析】．
故选：B．
3．设集合，，，则，，间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．
【解析】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数．
因此只有B正确．
故选：B．
4．若，是虚数单位，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数相等可得，，进而即得.
【解析】因为，
所以，，即，，
所以．
故选：D．
5．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【解析】∵，
所以该复数对应的点为，在第三象限.
故选：C.
6．若复数满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
【答案】D
【分析】利用复数的除法求复数及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.
【解析】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；
由在复平面内对应的点为，所以，D正确.
故选：D
7．在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对称求得点的坐标，从而求出对应的复数
【解析】由题意，得，，
所以向量对应的复数为
所以向量对应的复数的共轭复数为，
故选：C．
8．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设方程为，根据韦达定理分别将用表示，即可得出答案.
【解析】解：设方程为，
则，所以，
，所以，
则方程为，
故只有B选项符合题意.
故选：B.
9．设关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根为､，则下列结论中恒成立的是（ ）.
A．和互为共轭复数B．，
C．D．
【答案】B
【分析】关于实数系一元二次方程根与系数的关系，选项B正确，选项C中，所以不正确，选项A两个复数根不一定是共轭复数.选项D当两根均为虚根，不成立.
【解析】两根为不相等实数时，选项A两个复数根不是共轭复数.实数系一元二次方程根与系数的关系，选项B正确，选项C中两根为虚数时，所以不正确.若两根均为虚根，选项D不成立.
故选：B.
10．复数在复平面内对应的点为，将点绕坐标原点逆时针旋转一定的角度，得到点，对应的复数为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义表示出旋转后对应的点的坐标即可求出.
【解析】由题意知点的坐标为，
设射线是角的终边，则有，，
旋转后所得的射线为角的终边，设，
则，
，
∴，
故选：C．
11．已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据辐角的定义得到方程组，解得即可；
【解析】解：设，
因为的辐角为，所以
因为的辐角为，所以
解得，所以
故选：B
12．设，则复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【解析】解：，
因为，
所以，所以，
所以该复数的辐角主值为．
故选：B.
13．复数的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案.
【解析】设复数的辐角为，
则，
所以，，
因为，
所以当时，满足要求，
所以辐角主值为.
故选：A
14．欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为B．
C．D．的共轭复数为
【答案】D
【分析】对于A，由，其虚部为1，可判断A；对于B，，判断B；对于C， ，判断C；对于D,求得，结合共轭复数的概念即可判断.
【解析】对于A，，其虚部为1，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D, ，故的共轭复数为，D正确，
故选：D
15．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解.
【解析】由，得，
即，故，0，1，2，4，5，
因此集合.
当时，同理得，
此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，
同理可知，时，也不满足题意，故ACD错；
当时，得：
，
当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确.
故选B.
16．在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【解析】由题意，得当时，，，
∴
．
∵，
∴，
故选：D
二、填空题
17．已知，则复数________．
【答案】##
【分析】直接根据复数的运算法则即可
【解析】，可得：．
故答案为：
18．的周期性：当是整数时，______，_______，______，_______．
【答案】 1
【分析】由及指数幂的运算性质依次对，，，变形即可得到答案.
【解析】由及指数幂的运算性质得：，
，，，.
故答案为：；；；1.
19．若是纯虚数，则复数z的实部与虚部的和是______________．
【答案】
【分析】根据纯虚数的定义可得，即可求解的值，再根据复数实部与虚部的概念求解即可.
【解析】解：因为z是纯虚数，所以,解得，
从而复数z的实部与虚部分别是0和，其和是．
故答案为：-2.
20．若复数，，则________（填“>”“