(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题17 数列(讲义)（2份，原卷版+解析版）

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一、数列的概念
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
常用结论：
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
二、等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
常用结论：
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
三、等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
常用结论：
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
4.三个数成等比数列，通常设为eq \f(x,q)，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
四、数列求和
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
常用结论：
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂项求和常用的三种变形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
一、填空题
1．在数列中，，，则______．
2．已知等差数列的前项和为，则数列的前2017项和___________.
3．记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为__________．
4．已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
5．已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____．
6．已知数列的前n项和，则的取值范围为_______．
7．已知数列的各项为正，记为的前项和，若，，则__________.
8．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________．
9．已知数列的前n项和为，且，则_____________．
10．已知数列满足奇数项成等差数列，公差为，偶数项成等比数列，公比为，且数列的前n项和为，，，，．若，则正整数m=__________．
11．已知等比数列的前项和为，若，且.数列满足，若存在常数，使不等式恒成立，则的最小值为___________.
12．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是___________．
13．给出下列命题：
①已知数列，，则是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列，…的一个通项公式是；
③已知数列，，且，则；
④已知，则数列为递增数列．
其中正确命题的个数为______．
14．公差不为0的等差数列中，前n项和为，若，且，，成等比数列，数列的前n项和为，若对任意，均成立，则实数t的取值范围是______．
15．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为______．
16．若项数为的数列满足：我们称其为项的“对称数列”．例如：数列，，，为4项的“对称数列”；数列，，，，为项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，，是公差为的等差数列，数列的最大项等于．记数列的前项和为，若，则___________．
二、单选题
17．已知等比数列{}为递增数列，是它的前项和，若＝，且与的等差中项为，则＝（ ）
A．B．
C．D．
18．己知在等比数列中，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
19．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
20．已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
21．在等差数列中，，，其前n项和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
22．已知为等差数列，公差为黄金分割比（约等于0.618），前项和为，则（ ）
A．B．C．16D．4
23．在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
24．已知数列满足，则下列有可能成立的是（ ）
A．若为等比数列，则
B．若为递增的等差数列，则
C．若为等比数列，则
D．若为递增的等差数列，则
三、解答题
25．已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.
(1)求与的通项公式；
(2)求的前项和.
26．已知数列和满足：，，，，且是以为公比的等比数列.
(1)证明：；
(2)若，求数列的通项公式及其前项和.
27．已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
28．已知为数列的前n项和，是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
29．已知等差数列和等比数列满足，，，．
(1)求数列，的通项公式：
(2)设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
30．已知数列为等差数列，为其前项和，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为q的等比数列，，，，求的前2022项和T．
31．已知数列的各项均为正数，前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求；
(3)设（为非零整数，），是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
32．数列中，，，数列满足，：
(1)若数列是等差数列，求数列的前6项和；
(2)若数列是公差为2的等差数列，求数列的通项公式；
(3)若，，求数列的前项的和．
33．若数列的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
34．若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.
35．已知有穷数列，，，，，若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．
对于数列，定义如下操作过程从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列，记作（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程．得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．
(1)设，，，，请写出的所有可能的结果．
(2)求证：对数列实施操作过程后得到的数列仍是数列．
(3)设，，，，，，，，，，，求的所有可能的结果，并说明理由．
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列