高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式第2课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册条件概率与全概率公式第2课时导学案及答案，共6页。学案主要包含了概率的乘法公式，互斥事件的条件概率等内容，欢迎下载使用。
一、概率的乘法公式
问题1 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”， 事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？P(B|A)与P(B)有什么关系？
知识梳理
概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝____________.
例1 (1)某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．
(2)一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求：
①第一次取得白球的概率；
②第一、第二次都取得白球的概率；
③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
反思感悟 应用乘法公式求概率的关注点
(1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．
(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·
P(B|A)P(A)．
跟踪训练1 10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率．
二、互斥事件的条件概率
问题2 在必修第二册中，我们已经学习了概率的基本性质，基本性质包括什么？
知识梳理
条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝____________.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝____________.
(3)设eq \x\t(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝_____________.
例2 (1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________．
(2)在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
反思感悟 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
跟踪训练2 抛掷两颗质地均匀的骰子各一次．
(1)两颗骰子向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？
(2)两颗骰子向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？
1．知识清单：
(1)概率的乘法公式．
(2)互斥事件的条件概率．
2．方法归纳：公式法、正难则反．
3．常见误区：判断两个事件是否是互斥事件．
1．设A，B为两个事件，已知P(A)＝eq \f(2,3)，P(B|A)＝eq \f(1,2)，则P(AB)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,9) D.eq \f(2,3)
2．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72
3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(C|A)＝eq \f(1,4)，则P(B∪C|A)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,10) D.eq \f(7,12)
4．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
参考答案与详细解析
问题1 不会，事件A与事件B是相互独立事件；有放回地抽取奖券时，乙也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此P(B|A)＝P(B)．
知识梳理
P(A)P(B|A)
例1 (1)0.4
解析 由题意，记“射中第一个目标”为事件A，
“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，
∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4.
即这个选手过关的概率为0.4.
(2)解 设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则eq \x\t(A)＝“第一次取得黑球”，由题意，得
①P(A)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
②P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(6,10)×eq \f(5,9)＝eq \f(1,3).
③P(eq \x\t(A)B)＝P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15).
跟踪训练1 解 记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签，则
(1)P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,9)＝eq \f(2,15).
(3)P(eq \x\t(A)B)＝P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(3,5)×eq \f(4,9)＝eq \f(4,15).
问题2 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，
有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
知识梳理
(1)1 (2)P(B|A)＋P(C|A) (3)1－P(B|A)
例2 (1)eq \f(1,3)
解析 相当于周一到周六，值班一天，则周六晚上或周五晚上值班的概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
(2)解 方法一 设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝eq \f(1,10)，P(AB)＝eq \f(1×2,10×9)＝eq \f(1,45)，P(AC)＝eq \f(1×3,10×9)＝eq \f(1,30).∴P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,45),\f(1,10))＝eq \f(10,45)＝eq \f(2,9)，
P(C|A)＝eq \f(PAC,PA)＝eq \f(\f(1,30),\f(1,10))＝eq \f(1,3).
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(2,9)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,9).
∴所求概率为eq \f(5,9).
方法二 ∵n(A)＝1×Ceq \\al(1,9)＝9，
n(B∪C|A)＝Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)＝5，
∴P(B∪C|A)＝eq \f(nB∪C|A,nA)＝eq \f(5,9).
∴所求概率为eq \f(5,9).
跟踪训练2 解 (1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”，则P(B)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，P(AB)＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)，所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(1,3).
(2)记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”．
因为P(N)＝eq \f(30,36)＝eq \f(5,6)，P(M4N)＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)，P(M6N)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9)，
所以P(M|N)＝P(M4∪M6|N)＝P(M4|N)＋P(M6|N)＝eq \f(PM4N,PN)＋eq \f(PM6N,PN)＝eq \f(\f(1,18),\f(5,6))＋eq \f(\f(1,9),\f(5,6))＝eq \f(1,5).
随堂演练
1．B [由概率的乘法公式，可得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3).]
2．D [记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.]
3．D [因为B，C是互斥事件，所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＝eq \f(7,12).]
4.eq \f(6,7)
解析 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥．
又P(A)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(7,10)，P(AB)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,1),C\\al(2,5))＝eq \f(1,5)，
P(AC)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(2,5)，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝eq \f(PAB,PA)＋eq \f(PAC,PA)＝eq \f(6,7).