人教A版 (2019)选择性必修 第三册分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时导学案，共6页。学案主要包含了组数问题，抽取与分配问题，涂色与种植问题等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数．
一、组数问题
例1 用0,1,2,3,4五个数字．
(1)可以排出多少个不同的三位数字的密码？
(2)可以排成多少个不同的三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
反思感悟 常见的组数问题及解题原则
(1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等．
(2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数．
跟踪训练1 (1)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
(2)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
二、抽取与分配问题
例2 (1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．360种 B．420种 C．369种 D．396种
(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为________．
反思感悟 抽取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
跟踪训练2 (1)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )
A．11 B．10 C．9 D．8
(2)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )
A．280种 B．240种 C．180种 D．96种
三、涂色与种植问题
例3 (1)如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有( )
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
(2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有________种不同的种植方法．
反思感悟 涂色与种植问题的四个解答策略
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算．
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算．
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．
(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．
跟踪训练3 (1)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为________．
(2)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．
1．知识清单：
(1)两个计数原理的区别与联系．
(2)两个计数原理的应用：组数问题、抽取与分配问题、涂色与种植问题．
2．方法归纳：分类讨论、正难则反．
3．常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题．
1．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为( )
A．11 B．30 C．56 D．65
2．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A．15 B．12 C．10 D．5
3．甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．5种 C．6种 D．12种
4.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种．
参考答案与详细解析
例1 解 (1)三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故共可排成
5×5×5＝125(个)不同的三位数字的密码．
(2)三位数的百位不能为0，但可以有重复数字，
首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，有5种排法，
因此，共可排成4×5×5＝100(个)不同的三位数．
(3)能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4，
因此，可以分两类，一类是个位数字为0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是个位数字不为0，则个位有2种排法，即2或4，再排百位，因0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，
则有2×3×3＝18(种)排法．
故共有12＋18＝30(种)排法，
即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
跟踪训练1 (1)B [由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种“奇偶奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位有2种情况，共12种；如果是第二种“偶奇奇”的情况，个位有3种情况，十位有2种情况，百位不能是0，只有一种情况，共6种，因此总共有12＋6＝18(个)奇数．]
(2)B [0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．]
例2 (1)C [方法一 (直接法)
以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：
第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；
第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；
第四类，有一个班级去甲工厂，其他三个班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)．
综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)．
方法二 (间接法)
先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．]
(2)2
解析 不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种)．
跟踪训练2 (1)C [方法一 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．
方法二 让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．]
(2)B [由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案．]
例3 (1)B [按A→B→C→D的涂色顺序分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法．
由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4×3×2×2＝48(种)．]
(2)18
解析 方法一 (直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．
方法二 (间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法．
跟踪训练3 (1)420
解析 按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：
第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法．
第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法．
根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．
(2)72
解析 ①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3种颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2×2＝12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48(种)．
②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区域，有2种着色方法．由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种)．
综上，共有48＋24＝72(种)．
随堂演练
1．B [先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30(种)不同的组队方法．]
2．D [分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成三位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．]
3．C [若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有3＋3＝6(种)不同的传法．]
4．72
解析 先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72(种)．