湖南省永州市新田德恒高级中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省永州市新田德恒高级中学2024-2025学年高一下学期3月份月考数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共40分）
1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 在中，若，则该三角形一定（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 不能确定
5. 若在三角形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（ ）
A. 25B. 7C. 5D.
8. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A. 最大值为，图象关于直线对称B. 在上单调递增
C. 最小正周期为D. 图象关于点对称
二、多选题（共18分）
9. 心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压，t为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 收缩压为
C. 舒张压为D. 每分钟心跳80次
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若在上的投影向量是，则
11. 已知连续奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ）
A 有三个零点B. C. D.
三、填空题（共15分）
12. 计算：_____.
13. 已知定义域为偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为______.
14. 已知，，则__________.
四、解答题（共77分）
15. 已知全集为R，集合，或.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
16. 计算：
（1）
（2）．
17. 已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）求在区间上的单调递减区间.
18. 已知，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角大小；
（2）若，，求的面积.
19. 已知函数的图象经过点，
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域和值域；
（3）判断函数的奇偶性并证明．
德恒高级中学2025年高一3月份月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共40分）
1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到，根据交集结果得到答案.
【详解】，，
因为，所以，故.
故选：B
2. 在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为作基底，即可得出结论．
【详解】对于A，，所以，共线，不能作为基底；
对于B，，所以，共线，不能作为基底；
对于C，，所以，共线，不能作为基底；
对于D，，所以，不共线，可以作为基底．
故选：D．
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由可得，
由已知且，若，则，所以，，则，矛盾
若，则，从而，合乎题意.
综上所述，“”是“”的充要条件.
故选：C.
4. 在中，若，则该三角形一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果.
【详解】因为，
所以由余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，
故选：A
5. 若三角形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由线性运算表示，，最后再表示.
【详解】因为，所以点是中点，
，
所以.
故选：B
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法求出函数的解析式，然后代值计算可得出的值.
【详解】由题意，，令，则，
所以函数解析式为，
所以，则．
故选：B.
7. 已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（ ）
A. 25B. 7C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知条件求得模长的平方，进而求得结论.
【详解】因为平面向量，为单位向量，且向量向量，的夹角为，
所以，
故.
故选：D
8. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法不正确的是（ ）
A. 最大值为，图象关于直线对称B. 在上单调递增
C. 最小正周期为D. 图象关于点对称
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换求得，然后根据三角函数的最值、对称性、单调性、最小正周期等知识确定正确答案.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度，
得到.
A选项，的最大值是，
，所以直线不是的对称轴，所以A选项错误.
B选项，，
所以在上单调递增，B选项正确.
C选项，最小正周期，C选项正确.
D选项，，
所以图象关于点对称，D选项正确.
故选：A
二、多选题（共18分）
9. 心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压，t为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 收缩压为
C. 舒张压为D. 每分钟心跳80次
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦型函数的图像，即可求出周期与最值，进而求出频率，即可判断正误.
【详解】由题图知，，所以，可得，故选项A不正确；
所以，由题图知在一个周期内最大值为120，最小值为70，
所以收缩压为，舒张压为，故选项BC正确；
每分钟心跳数为频率，故选项D正确.
故选：BCD.
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若在上的投影向量是，则
【答案】AB
【解析】
【分析】选项A：利用向量与向量平行求解即可，选项B：利用向量与向量垂直求解即可，选项C：利用遇到向量的模即平方求解即可，选项D：利用投影向量的求法求解即可，
【详解】对于A，因为，所以，所以，A正确；
对于B，因为，所以，所以，B正确；
对于C，因为，所以，整理得，
此方程无实根，C错误；
对于D，在上的投影向量为，若在上的投影向量是，则则则D错误.
故选：AB.
11. 已知连续奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ）
A. 有三个零点B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先通过函数为奇函数，判断出函数单调性，其中A利用零点存在性定理以及奇函数的性质判断；BC利用函数的单调性来判断；D利用奇函数的性质求出值来判断.
【详解】由已知函数在上单调递减，上也单调递减，，
由，得
对于A，在上单调递减，且，，故有且只有一个，使，同理在上单调递减，且，，故有且只有一个，使，又，所以有三个零点，A正确；
对于B，因为在上单调递减，所以，B正确；
对于C，因为在上单调递减，，C错误；
对于D，，，D正确；
故选：ABD.
三、填空题（共15分）
12. 计算：_____.
【答案】9
【解析】
【分析】利用指数运算和对数运算法则得到答案.
【详解】.
故答案为：9.
13. 已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】由偶函数和函数的单调性可得出，可得出，解之即可.
【详解】因为定义域为的偶函数在区间上严格减，
则，
所以，即或，解得或，
即所求解集为.
故答案为：.
14. 已知，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：.
四、解答题（共77分）
15. 已知全集为R，集合，或.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果；
（2）先求出，再根据，可得，求解不等式即可
【小问1详解】
解：当时，或，
又，所以；
【小问2详解】
因为或，所以，
又，所以，解得，即.
所以实数m的取值范围.
16. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可.
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
17. 已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）求在区间上的单调递减区间.
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2），.
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的性质结合条件即得；
（2）利用正弦函数的单调性结合条件即得.
【小问1详解】
由可得,，
当得即时，函数取得最大值，
当得即时，函数取得最小值，
即在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
∵时单调递减，
∴时单调递减，
当时，；
当时，；
∴的单调递减区间是，.
18. 已知，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角即可求解.
（2）利用（1）的结论及余弦定理求出，再由三角形面积公式计算即得.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
而，即，因此，即有，又，
所以.
【小问2详解】
由余弦定理，得，
又，则，
所以面积.
19. 已知函数的图象经过点，
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域和值域；
（3）判断函数的奇偶性并证明．
【答案】（1）；
（2）的定义域为R ，值域为；
（3）奇函数，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）把函数图象经过的点的坐标代入函数式，计算作答.
（2）利用指数函数的定义，结合不等式性质求解作答.
（3）利用奇偶函数的定义计算判断作答.
【小问1详解】
依题意，函数的图象过点，则有，解得，
所以a的值是1.
【小问2详解】
由（1）知函数，因，所以的定义域为R，
而，所以的值域为.
【小问3详解】
函数是R上的奇函数，
因的定义域为R，且，所以是奇函数.