新高考数学二轮复习提分练习17 圆锥曲线压轴小题（2份，原卷版+解析版）

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1、求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③几何法：寻找几何关系，将问题转化
④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解
2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
【典型例题】
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测），，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设直线方程为，则，解得，即，即，
设关于直线对称的点为，则，解得，即，，
同理可得：
点关于直线的对称点为，
点关于直线的对称点为，
如图所示：
利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；
所以点之间为点的变动范围，
因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而，
所以，即.
故选：D
例2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E，F，与轴的交点为.若，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】设直线方程，，
，，
，
，
由得，，
，
，
，
，
由解得或，
或(舍)，
故选:C
例3．（2023春·全国·高三竞赛）设圆的圆心为，点，，为直线上一点．若圆上存在两点A，B，使得点满足，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意如图所示：
因为，
所以，
所以，
因为为圆上两点，且圆的圆心半径为，
所以，
所以，
因为为直线上一点，所以设，且
所以有，
解得：，
又，所以，
所以，
所以点到直线的距离为：
，
因为，所以，
又，
所以
所以，
面积的取值范围为：.
故选：A.
例4．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线上，且满足.若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以PH是的角平分线，
又因为点H在直线上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，
设的内切圆与轴的切点为，
根据三角形内切圆的知识可知，则是双曲线的右顶点，
所以的内切圆圆心在直线，即点H是的内心，
如图，作出，并分别延长HP、、至点，使得
，可知H为的重心，
设，由重心性质可得，
即，
又H为的内心，所以，因为，
则，所以双曲线C的离心率.
故选：C
例5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以a得，解得 ，
因为 ，所以，
所以该离心率的取值范围是
故选：D.
例6．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______．
【答案】．
【解析】设，，，不妨设在轴上方，
时，，，所以切线的方程为，
代入得，又，∴，
得，同理可得．
因此直线的方程为，直线过定点，
，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，
由已知，，∴的最大值为，最小值为，
时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．
所以的范围是．
故答案为：．
例7．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆，过圆上一点作圆的切线交双曲线的渐近线于，两点（在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线离心率为______.
【答案】
【解析】
如图，为圆的切点，连接，，，故，，又，过作渐近线的垂线，交渐近线于点，则，又由渐近线的性质，可得，根据勾股定理，可得，又因为，得到，得到，，
，且，
，得到，整理得，
，
，
，整理得，
，，解得
故答案为：.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为_____________
【答案】
【解析】设直线交轴于点，如图，
设的外接圆半径为，由，
有，
故，所以直线过的内心，
设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、，
由切线长定理可得，，，
所以，，
结合图形可得，所以，，
故的内心的横坐标为，
因为点在直线上，所以点为的内心.
由可得，
所以，，记，
设，则，所以，，
所以，点在直线上，又因为，故点与点重合，
且有，
由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等，
故，同理可得，
令，则，且，
故.
则双曲线的离心率.
故答案为：.
例9．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为______．
【答案】
【解析】设，，，
则直线AP的斜率为，BP的斜率为，
由题知，两式相减得，
即，即，即，
又，则，即，
即，则，所以，
即，则椭圆C的离心率为.
故答案为：
例10．（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若在右支上存在一点，使得点到直线的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是_____．
【答案】
【解析】如图，过点且与渐近线平行的直线为，
依题意，只需到直线即的距离大于a即可，
即，
∴，∴
所以双曲线的离心率的取值范围是
故答案为：
例11．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）过抛物线的焦点的直线与交于两点.设为线段的中点，，点，若直线轴，且，则__________.
【答案】4
【解析】易知的焦点为，直线斜率不存在时不符合题意；
设过的直线的斜率为，则，
将代入，得，
即.
设，，则，
所以，又因为点，轴，
所以点纵坐标为1，即，即
所以
，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，
所以，
即或（舍）
故答案为：4
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.
【答案】
【解析】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
由题可知：．
设，，
则，
由①②得，，，
代入③整理得，，
两边同时除以得，，
即，
即，
解得，即．
故答案为：
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率___________．
【答案】
【解析】如图所示，由椭圆定义可得，，
设的面积为，的面积为，因为，
所以，即，
设直线，则联立椭圆方程与直线，可得
，
由韦达定理得：，
又，即
化简可得，即，
即时，有.
故答案为：
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，过斜率为的直线与椭圆相交于、两点，若，则椭圆的离心率______．
【答案】
【解析】因为直线过且斜率为，所以直线为：，
与椭圆：联立消去，得，
设，则
因为，可得，代入上式得
消去并化简整理得：，
将代入化简得：，解得，
因此，该双曲线的离心率.
故答案为：.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知为坐标原点， 是抛物线上的动点，且，过点作，垂足为，下列各点中到点的距离为定值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：设直线方程为，
联立直线和抛物线方程整理得，
所以
又，即，所以可得，即；
则直线 过定点D（4,0）因为，则点H在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD中点（2,0）），故（2,0）到H的距离为定值
故选：B
法二：设直线方程为，
联立直线和抛物线方程整理得，
所以
又，即，所以可得，即；
又因为，所以的方程为，解得
对于A，到点的距离为不是定值；
对于B，到点的距离为为定值；
对于C，到点的距离为不是定值；
对于D，到点的距离为不是定值.
故选：B
2．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：，
联立直线与椭圆方程，
消去可得，
所以，
即，
设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以，
所以，即，所以，
当椭圆的切线斜率不存在时，此时，，也满足上式，
所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又因为A为椭圆上顶点，所以，
当点位于圆的上顶点时，，
当点位于圆的下顶点时，，
所以，
故选:D
3．（2023·江西·校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，的延长线交双曲线于点，若双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为双曲线的离心率为，即，令，则，
所以，，
不妨设点在双曲线的右支上时，如图，
记，则由双曲线的定义得，
所以，
在中，，则，
即，整理得，
解得或（舍去），故，，
在中，，则，
即，整理得，
解得，则，，
所以；
故选：B.
4．（2023·湖南永州·统考二模）如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取中点，连接，
，
，
，则，恒成立，
，又，，
设，由得：，
根据双曲线定义可知：，，
，即，，
，，又，，
，则离心率.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆C：的左，右焦点，过且倾斜角为的直线交椭圆C于点P，Q（P在第一象限），与的平分线分别交直线于点M，N，则M，N纵坐标比（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】A
【解析】由题可知，如图所示，，
过且倾斜角为的直线方程为
联立直线和椭圆方程整理得，解得或
又因为P在第一象限，所以，，
所以直线的方程为，又因为点在的平分线上，
即点到直线与直线（轴）的距离相等，
又点直线上，设
所以，即，
解得或（舍）；
同理，直线的方程为，
设，点到直线与直线（轴）的距离相等，
，即，
解得或（舍）；
所以
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②③C．①②D．①③
【答案】C
【解析】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正确；
就是平面 与轴线的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知点满足，且点Q恒在在以、为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
由题意可知，，设，则，，
由椭圆定义可得，，
在中，由勾股定理可得，
即，即，
因为点在椭圆内，则，
又因为，所以，，
令，则在上单调递增，
若方程在内有实根，则，
所以，，所以，，
因为点在椭圆内，且，则，即，
所以，，，因此，.
故选：C.
二、多选题
8．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．四边形面积的最大值为2
B．四边形周长的最大值为
C．为定值
D．四边形面积的最小值为32
【答案】ABD
【解析】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：，直线，与坐标轴不垂直，
因为，，则四边形为矩形，有，
当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A正确；
因为，则，
当且仅当时取等号，因此四边形周长的最大值为，B正确；
设直线方程为：，，由消去y得：，则，
，同理，
因此，C错误；
四边形面积，
当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确.
故选：ABD
9．（2023春·浙江·高三开学考试）已知F为双曲线的右焦点，P在双曲线C的右支上，点．设，，，下列判断正确的是（ ）
A．最大值为B．
C．D．存在点P满足
【答案】BCD
【解析】A：设，于是，
设，得，
于是（其中），
所以，解得，即，A错误；
B：,，
,
，令，
则，当，即时，，B正确；
C：，而，所以，C正确；
D：当P纵坐标接近0时，很小而很大，当P纵坐标很大时，接近而很小，故必存在点P满足，D正确.
故选：BCD．
10．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为
B．若点，则的面积为
C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆
D．的最小值为
【答案】AB
【解析】A:由，，则其中点为，所以，
则圆的标准方程为，化为一般式方程为①，
又圆的一般式方程为②，
而，
①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；
B：由直线的方程为，则点到直线的距离，．故B正确；
C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为，
则满足椭圆定义，
故圆心的轨迹为椭圆．故C错误；
D：设，
，
则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，
所以的最小值为，
故．故D错误.
故选：AB.
11．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别是，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有四个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点，则的最小值为5
【答案】ABCD
【解析】对于A，由题意可知，，设则直线的斜率为
，
令，
，
令在单调递减，
对.
对于B，当，则满足条件的有两个；
当，则满足条件的有两个，
易得不存在满足，
满足为等腰三角形的有4个，B对.
对于C，渐近线：即，
，C对，
对于D，根据双曲线的定义，，所以，
所以，
当三点共线时，有最小值，
此时，D对，
故选：ABCD.
12．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，过双曲线：右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于，两点，交轴于点，、分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点，使，且，则双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】先求双曲线上一点，的切线方程：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由，得，所以，
则在，的切线斜率，
所以在点，处的切线方程为：，
又有，化简即可得切线方程为：．
不失一般性，设，是双曲线在第一象限的一点，
，是切线与渐近线在第一象限的交点，
，是切线与渐近线在第四象限的交点，
双曲线的渐近线方程是，
联立：，解得：，
联立：，解得：，
则，
又因为，所以，即，C错误；
由，
可知，是，的中点，所以，B正确；
易知点的坐标为，
则，
当点，在顶点时，仍然满足，A正确；
因为，所以，，
因为，则，解得，即，
代入，得，
所以，
，
所以，
所以，，所以离心率，D正确．
故选：ABD．
13．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．存在使得D．存在使得
【答案】ABD
【解析】对于选项A. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物线交于 , 两点,
联立方程组 , 整理可得: , 则 ,
由抛物线的定义: , 故A正确.
对于选项B. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物线交于 , 两点,
联立方程组 , 整理可得: ，则 , 则 ,
所以 ，由抛物线的定义:
又因为直线 与抛物线的准线 交于点 ,
则，即 ，故B正确.
对于选项C. 设过抛物线 的焦点 的直线方程为: 与抛物线交于 两点,联立方程组 , 整理可得:
则 ,
，
所以 .若 , 则, 故不存在，使得 ,故C不正确.
对于选项D. 设过抛物线 的焦点 的直线 方程为: 与抛物线交于 两点,
联立方程组 , 整理可得 : ,则 ，
,
若 , 因为,, 即 ,
则 , 即: ,可得: ,
即: , 则 , 解得: , 解得: .
故存在使得 , 故D正确;
故选：ABD.
三、填空题
14．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线的焦点为F，若在抛物线C上，且满足，则的最小值为______.
【答案】9
【解析】抛物线的焦点为，依题意，不妨设直线的倾斜角为，且，
由抛物线定义得：，即，
同理，
，
因此，
令，，令，
，由得或，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，此时，
于是得，所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
15．（2023·四川凉山·统考一模）如图，已知椭圆，．若由椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向椭圆引切线和，若两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率__________．
【答案】
【解析】由题可知，，
设切线，，
由，可得，
所以，
整理可得，
由，可得，
所以，
整理可得，
又两切线斜率之积等于，
所以，即，
所以，又，
所以.
故答案为：.
16．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）平面二次曲线方程的一般形式为．已知曲线表示中心在坐标原点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆上，则该矩形面积的最大值为______.
【答案】
【解析】由表示中心在坐标原点的椭圆，
故设椭圆焦点为，
根据椭圆定义可得，
移项平方去根号，化简可得：
，
对应可得：
，
解得，，
所以焦距，，，
所以该矩形面积的最大值.
故答案为 ：
17．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知F为抛物线的焦点，由直线上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则与（为坐标原点）的面积之和的最小值是_________.
【答案】
【解析】根据题意直线AB斜率存在，设其方程为，设，，
由，得，求导得，
则抛物线在点A处的切线方程为，整理得：，
同理得抛物线在点B处的切线方程为，
则由，解得，即两切线的交点，
由消去y整理得，
则，，则，
点P在直线上，则，
则直线AB的方程为，过定点，
且，
设，则，
则，
，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
则与的面积之和的最小值为.
故答案为：.
18．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
【答案】①②
【解析】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，
所以，
从而，
即，因为点在直线上运动，所以，
则，
①当时，点三点共线，由于，
所以，所以，
由题意知，所以，故①正确；
②当时，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正确；
③若是等腰直角三角形，
则或或为直角，
因为，
当时，则，得，
此时，不是等腰直角三角形，
由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；
当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，
此时，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
19．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______．
【答案】
【解析】
由点A在椭圆C上，且，设点，且，，
则
，
同理，
设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知
，
，
，解得，，得．
可得直线．进而可得，
由，可得，
设中点为M，则．，
点差法的结论，证明如下：
设，，，为中点，
故，两式作差得，，
又由，，可整理得，，
最后化简得，，
进而得到，，
得．
因为，所以，
联立，解得，
所以，故，解得．
故答案为：．
20．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与的两条渐近线分别交于点，.若线段的中点为，，则的离心率______.
【答案】
【解析】由题意可知，双曲线的两条渐近线方程为
过点且斜率为2的直线方程为，
不妨设直线与渐近线交于点，与渐近线交于点，如下图所示：
联立可得，
同理得，所以的中点为
设过点且斜率为2的直线的倾斜角为，即，可得
所以，
由余弦定理可得
即，
整理可得，
即，解得或（舍）
所以双曲线离心率为.
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________.
【答案】
【解析】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，
设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形，
根据椭圆的定义，且，则，
所以，
又由离心率的公式得，
由，则，
所以，即椭圆的离心率的最大值为.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为______.
【答案】10
【解析】由题设圆，故圆心，半径为，
所以到的距离，故直线与圆相离，
故圆上点到直线的距离范围为，
圆上任意的点，直线上总存在不同两点、，使，
即以为直径的圆包含圆，至少要保证直线上与圆最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆，
所以.
故答案为：10
23．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，是双曲线上的任意一点，过作双曲线的两条渐近线的平行线分别与渐近线交于，过作双曲线的两条渐近线的平行线分别与渐近线交于，若，（为坐标原点），则双曲线的离心率最小值为___________.
【答案】
【解析】由双曲线的性质，到两条渐近线的距离之积为定值，
根据平行线的角度及三角关系有，
，对于
设，
联立，同理
故 ，
.
故答案为：.