新高考数学二轮复习提分练习05 数列经典题型精练（2份，原卷版+解析版）

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1、给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
2、在利用放缩法证明数列不等式时，要注意放缩的方向，在放缩方向明确之后，放大得太多，或者缩小得太多，可以适当进行调整，比如从第二项开始放缩或者第三项开始放缩.
3、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）.
【典型例题】
例1．（2023·上海·高三专题练习）已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，即，又数列各项均为正数，
∴当时，，
当时，
∴，即，
∴数列为首项为1公差为1的等差数列，
故；
（2）∵，
∴，
所以当时，，
当时，
∴；
（3）由题知，
令，则，
∴，
故单调递减，于是
∴要得不等式对一切都成立，则．
例2．（2023·浙江·高三开学考试）已知为数列的前项和，，，成等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）因为，，成等差数列，即，
当时，，两式相减得，
所以是公比为2的等比数列，
即，即．由，得，
所以的通项公式．
（2）由（1）知
，
又因为，，
故
，
∴．
例3．（2023·浙江·温州中学高三阶段练习）如图，已知曲线及曲线．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点．点的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求与之间的关系，并证明：；
（Ⅱ）若，求证：．
【解析】（Ⅰ）由已知，，从而有
因为在上，所以有
解得
由及，知，下证：
解法一：因为，所以与异号
注意到，知，
即
解法二：由可得，
所以有，即是以为公比的等比数列；
设，则解得，
从而有
由可得
所以，
所以
（Ⅱ）证明：因为
所以
因为，所以，所以有
从而可知
故
所以
所以
例4．（2023·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设出等差数列的公差，根据给定条件列式计算即可作答．
（2）由（1）的结论求出，借助裂项相消法求出，再探求成等差数列的m，n值即可作答．
（1）设等差数列的首项为，公差为（d>0），则，解得：，，
于是有，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
因此，．
假设存在正整数，，使得，，成等差数列，
则，即，整理得，
显然n+3是25的正约数，又，则或25，
当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意，
所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．
例5．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，求证：．
【解析】（1）两边同时除以，得，再利用等差数列的定义证明．
（2）由（1）得到，再利用数列通项与前n项和的关系求解；
（3）根据，得到证明．
（1）证明：两边同时除以，
得，
又，故是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
则．
当时，，
而符合上式，故．
（3）证明：因为，故，
且，
而，
故．
例6．（2023·浙江·无高三期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求证：．
【解析】（1）当，，时，分别求出通项公式，再综合即可；
（2）利用放缩法进行证明即可．
（1）当时，即
奇数项成等比数列
时，
当时，即①
当时，②
②-①得
化简得
即
等式两边同时除以得
等价于
即
由题知，当时，
故即
时，
综上，，
（2）由（1）知，
当时，
即，
，，
即
【过关测试】
1．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且.
(1)若，求的值；
(2)若，，求证：数列是等差数列，并求其前项和.
【解析】（1）中令得：，
因为数列的各项均为非零实数，所以，
因为，所以，即，解得：；
（2），即，
所以，，，……，，以上式子相乘得：
，
因为数列的各项均为非零实数，且，所以，
即，当时，，
所以，
因为，所以，
所以，，
故数列为等差数列，首项为，公差为，
数列为等差数列，首项为，公差为，
，所以，
所以，
，
故，所以，所以数列是等差数列，
其前项和.
2．（2023·全国·高三专题练习）若正项数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对于任意的，都有成立，求的最大值.
【解析】（1）时，，且，
解得，（舍去），
，，
化简可得时，，
，，，，，
累加可得，，
又，故时，，
当时，,上式也成立，
所以，
又因为，所以，所以，
，，
时，适合该式，
故.
（2）由（1）得
，
（此处不等关系是因为： ，
故，当且仅当时取等号，而，故上式中等号取不到），
，，
因为，
所以，
即，
所以，即，所以数列是递减数列，
所以，
因为，都有成立，
所以.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．
(1)证明：数列为等比数列，求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，
所以，.
4．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：.
【解析】（1），，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以
（2）由（1）知，
即（当且仅当时等成立），
令，则，所以，
而，故，
从而，，…，，
累加可得，命题得证.
5．（2023·全国·高三专题练习）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
(1)求、；
(2)若，求n的最小值；
(3)是否存在实数a、b、c，使得数列为等比数列？若存在，求a、b、c满足的条件；若不存在，说明理由．
【解析】（1）原数列有3项，经第1次拓展后的项数；
经第2次拓展后的项数；
（2）数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n次拓展后的项数为，
则经第次拓展后增加的项数为，
所以，所以，
由（1）得，，所以，
由，即，解得，
所以n的最小值为10；
（3）设第n次拓展后数列的各项为，，，，…，，，
所以，
因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以，
即，
所以，
得，
由，则，
若使为等比数列，则或，
所以a、b、c满足的条件为或．
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）证明：因为，，所以.
因为，所以，
又，则有，
所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.
所以当为偶数，且时，
；
当为奇数，且时，为偶数，
.
时，，满足.
所以，当为奇数，且时，有.
综上，.
7．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知为数列的前项和，，．
(1)求；
(2)若，证明：．
【解析】（1）①
时，②
则①-②得，
当时可整理得，
即，
由①当时，，得，
当时，，得，
，
，
又，，符合，
；
（2）由（1）得，
，
8．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和为．
【解析】（1）①,
当时，②，
①-②得，即，
又，得，
，
又不符合
；
（2）当时，
当时，，
当时，
，
又当时，，符合
.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设为的前项和，证明：
(1)数列单调递减；
(2)．
【解析】（1），即，
且，
又因为当时，，此时数列为常数列，不满足，
所以，故数列单调递减．
（2）．．
10．（2023·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列，其前项和分别为，且分别满足，.
(1)求数列，的通项公式.
(2)将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和.
【解析】（1）由条件： 知：
，
，
当 时， 符合，
所以；
， 是等比数列，
又 ；
（2）当 时， ，
当 时，
；
当 时， ，
当 时， .
11．（2023·山东滨州·高三统考期末）设公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足条件的正整数的最大值．
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
因为，且，，成等比数列，
所以，，
即，解得
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，易得，
则，
所以．
，
因为，
所以，
解得，
所以正整数的最大值为674．
12．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知数列的通项公式为，等比数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，的前n项和分别为，，求满足（）的所有数对．
【解析】（1）由，所以，故，
所以等比数列的公比为，
故，所以，即等比数列{}的通项公式为；
（2）由已知得：，
由（1）可知，
由，所以，
即，故，
因为m正整数，，所以，
，
故满足条件所有数对为．
13．（2023·福建·统考一模）已知正项数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．
【解析】（1）依题意，
当时，，解得，
由，
当时，有，
作差得：，
所以，
因为，
所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，，
又，同时，
所以
所以
．
所以的前50项和为2150．
14．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列的前n项积为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【解析】（1）由题意得，又，
所以，即，所以．
当n＝1时，，所以，解得＝3，
故是以3为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
所以，
所以．
15．（2023·湖北武汉·高三统考期末）已知数列满足，，，表示数列的前项和
(1)求证：
(2)求使得成立的正整数的最大值
【解析】（1）证明：由得
累加得
于是.
（2）由，，得：对任意，，
进而，故数列单调递增，
由（1）可知，故，
于是只需求使得最大的正整数，
从而只需求使得最大的正整数，
由，，列举得：，，，，，，，，，，，
结合数列单调递增，于是使得最大的正整数为11.
16．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列满足
(1)求证：为等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）由，可得
因此为等差数列，且公差为.
（2）又因为，所以 ，所以
所以
得
17．（2023·天津北辰·高三校考期末）已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，
∴，
若的公比为且，结合题设可得：，又，故，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
以上两式相减，得：，
∴.
（3）由题设，，要使任意恒有，
∴，则恒成立
当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
综上，存在实数，使得对任意的，恒有.
18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
已知正项数列的前n项和为，且______，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．
【解析】（1）选择条件①，因为，所以，
因为，所以，则，
当时，，
所以两式相减得：，即，则，
当时，，所以符合上式，
所以；
选择条件②，因为，
当时，，
所以两式相减得：，整理得，
因为，所以，
当时，，所以或（舍），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则；
选择条件③，因为，所以，
累乘得：，，
所以，，又符合式子，所以，，
当时，，
所以两式相减得：，即，
又符合上式，所以；
（2）由（1）得：，则，
所以
.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记的前项和为，若，均有，求实数的取值范围．
【解析】（1）由得：，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，即，
，又，
数列为常数列且，即，
，，
则由得：
令，
则；
当为奇数时，恒成立，则；
当为偶数时，，
单调递增，；
综上所述：单调递增，，
，解得：，即实数的取值范围为.
20．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知二项式的展开式的各项系数和构成数列数列的首项，前项和为，且当时，有．
(1)求和；
(2)设数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）令得，
由，得，
化简得，两边同除，
，
为公差的等差数列，，
，
（2），
，
，
通过得
．
，
恒成立，即对任意的恒成立．
分离参数得，令，
由，
得为单调递增数列，所以.
即．