新高考数学二轮复习提分练习02 三角函数的范围与最值（2份，原卷版+解析版）

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一、三角函数中的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为周期加半周期的整数倍，即；
4、在区间内单调且
5、在区间内不单调内至少有一条对称轴，
6、在区间内没有零点且
7、在区间内有个零点．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．16B．24C．25D．36
【答案】A
【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）
A．11B．13C．15D．17
【答案】C
【解析】由题意，是的一条对称轴，所以，即①
又，所以②
由①②，得，
又在区间上有最小值无最大值，所以
即，解得，要求最大，结合选项，先检验
当时，由①得，即，又
所以，此时，当时，，
当即时，取最小值，无最大值，满足题意.
故选：C
例3．（2023·高一课时练习）如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考查的所有运算结果，则
A．有最小值，有最大值B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值D．有最小值，有最小值
【答案】B
【解析】依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为.
，所以，所以，当时，有最小值为.故选B.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，
所以的最大值为.
故选: D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
求导
由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，
且，，故在内必有唯一零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
令，解得或2，可作出函数的图像，
令，即，在之间解得或或，
作出图像如下图
数形结合可得：，
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
例7．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
例8．（2023·上海·高三专题练习）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】延长交于，如下图所示：
为的重心，为中点且，
，，；
在中，；
在中，；
，，
即，整理可得：，为锐角；
设为钝角，则，，，
，，解得：，
，，
由余弦定理得：，
又为锐角，，即的取值范围为.
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练习）设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9]B．(3，9]
C．(5，9]D．(7，9]
【答案】D
【解析】因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有

故选：D.
例10．（2023·上海·高三专题练习）某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为O的圆，已知圆O的半径为100米．为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形为亲水木平台区域（四边形是矩形，A，D分别为的中点，米），亲水玻璃桥以点A为一出入口，另两出入口B，C分别在平台区域边界上（不含端点），且设计成，另一段玻璃桥满足．
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米？请说明理由；（附：）
(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值．（玻璃桥总长为，宽度、连接处忽略不计）．
【解析】（1）由题意，，则，设．
若C，P重合，，得，
∴，
而，
∴，当（符合题意）时取等号，又，
∴可以修建70米长廊．
（2），则．
设，则，即．
，由（1）知，而，∴使且，即，
∴，当且仅当时取等号．
由题意，，则玻璃桥总长的最小值为米，
∴铺设好亲水玻璃桥，最少需万元．
例11．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【解析】(1)，由正弦定理得：
，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，
因为，所以，
其中，
所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，
由题意得：，
所以.
(2)由（1）知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，
故，
面积为
故面积的取值范围是.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，设函数，，若当对恒成立时，的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，因为的最大值为，所以时，必取到最值，
当时，根据余弦函数对称性得，此时
或者，此时
由，
设时 对应解为，
由上分析可知
当，或，时，满足的最大值为，
所以，即，所以.
或，即或，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，
在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，，
，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又锐角，且，，，解得，，，
，，，，，，
的取值范围为．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.
5．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，
，令，解得：；或要满足②，，
令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【解析】由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）函数在有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在不存在，使得
B．函数在仅有1个最大值点
C．函数在上单调进增
D．实数的取值范围是
【答案】D
【解析】对于A,在上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 ，
所以在上存在 ，且 ，使得，故A错误；
由图象可知，函数在可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 ，
则函数的零点为 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： ，
函数在有且仅有3个零点，
所以 ，解得 ，故D正确；
由对选项D的分析可知，的最小值为 ，
当 时， ，
但不是的子集，
所以函数在上不是单调进增的，故C错，
故选：D.
8．（2023·上海·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选：.
二、多选题
9．（2023秋·山东济南·高三统考期中）在中，内角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若面积为1，则三条高乘积平方的最大值为
D．若为边上一点，且，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以，
则由正弦定理得，
则，
因为，所以，故，
又，所以，故A错误；
对于B，由余弦定理得，
因为，即，代入上式得，
整理得，解得或（舍去），则，
所以，故B正确；
对于C，设边上的高分别是，
则由三角形面积公式易得，则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
此时，得，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
可得，
整理得，故，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，即的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
10．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的最大值是
C．在上单调递增
D．若函数在区间上恰有个极大值点，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】，
A选项：，A选项正确；
B选项：设，则，
解得，，即，即的最大值为，B选项正确；
C选项：因为，所以在上不单调，C选项错误；
D选项：，
令，解得，即或，，
当，时，，函数单调递减，
当当，时，，函数单调递增，
所以函数的极大值点为，，，，
又函数在区间上恰有个极大值点，则，即，D选项正确；
故选：ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：
（当且仅当时取等号）.
令，，故，
因为，且，
故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得，
又，故可得，
当且仅当，，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，故选项B错误；
对于选项C，由，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
因为，所以，，
所以的周长为，故选项C正确；
对于选项D，由C可知，为直角三角形，且，，，，，所以的内切圆半径为，
所以的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
12．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】AD
【解析】在中，由正弦定理可将式子化为
，
把代入整理得，
，
解得或，即或(舍去).
所以.
选项A正确.
选项B：因为为锐角三角形，，所以.
由解得，故选项B错误.
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围.故选项C错误.
选项D：
.
因为，所以， .
令，，则.
由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.
又，，所以.
即的取值范围为.故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
【答案】4或10
【解析】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
14．（2023·全国·高三专题练习）函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
【答案】5
【解析】因为函数，，
所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，
所以，
所以
或，
所以或，
即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调，
所以，所以，而，
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，舍去；
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，所以，函数在单调，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______
【答案】15
【解析】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
16．（2023·全国·高三对口高考）在中，，则面积的最大值是____________
【答案】
【解析】
，
当时等号成立.此时，即时，满足题意.
故答案为：.
17．（2023·高一课时练习）用表示函数在闭区间I上的最大值．若正数a满足，则a的最大值为________．
【答案】
【解析】①当时，，
若，则，此时不成立；
②当时，，
若，则，又，解得；
③当时，，
若，则，又，解得；
④当时，，，，不符合题意.
综上所述，，即a的最大值为.
故答案为：
18．（2023·上海·高三专题练习）在中，角的对边分别为，已知，，，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】在中，因为，，
所以，
所以
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以由正弦定理得，
所以，
所以角为钝角，角为锐角，
所以要取最大值，则取最大值，取最小值，从而取最小值．
又，
由，得，
，
由取最大值时，，
此时由余弦定理可得，
从而求得，即最大值为．
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】，因为为边的中点，，故，故求的最大值.设，，则由余弦定理，，，因为，故，即，又，故，即，此时，故，当且仅当时取等号.即的最小值为
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．
【答案】
【解析】因为△ABC的面积为1，所，可得，
由，可得
，
设，其中，
因为表示点与点（csA，sinA）连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，
在直角△OAP中，，可得，
所以斜率的最小值为，
所以m的最大值为，所以，所以，即BC的最小值为，
故答案为：．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是___
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意，
的终边要落在图中阴影部分区域
（其中），
必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴，
∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数,使得，即，，
同时，
∴的最小值为,
故答案为：.
22．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
【答案】
【解析】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】∵，
∴，即，
∵又，且都为锐角，故，，
因为锐角三角形，所以
所以
所以所以，
又因为
所以
所以，解得或(舍去)
故.
故答案为：.
24．（2023·全国·高三专题练习）若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因函数在内单调递增，则，，
即，整理得，
当时，则成立，，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
综上得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
25．（2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，
作出与的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为，最长区间长度为，
∴，解得．
故答案为：．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】，
∴上，没有极值点，
∴或，
∴或，而且得：，
∴，或.
故答案为：
27．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I（区域ACD），区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC=θ，中植花卉总造价记为，现某同学已正确求得：，则___________；种植花卉总造价最小值为___________.
【答案】
【解析】，
在单调递减，在单调递增，故
故答案为：；
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意都有，若在上的取值范围是，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，其中，
因为函数对任意，都有，
所以的最大值为，所以，即，，所以，
所以，
因为，所以，
若在，上的值域为，
所以
结合正弦函数的性质可知，，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别为锐角的三个内角，，的对边，若，且，则的周长的取值范围为__________．
【答案】
【解析】解:因为,所以
由余弦定理可得
同理可得:,即.消去,
可得
即,可得
由正弦定理,可得,即
因为为锐角三角形,且,所以
即,所以,即．
又因为,即
所以的周长为
由二次函数性质可得, 的周长的取值范围为:．
故答案为:．
30．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是_______;
【答案】
【解析】设，，对运用正弦定理，得到
，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组
，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，
所以
，结合bc的范围，代入，得到的范围为
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（m，且）上恰好有10个零点，求的最小值；
【解析】（1）∵的最小正周期为，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
当时，，
由，
的对称中心为；
当时，，
由，
的对称中心为；
综上所述，的对称中心为或.
（2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
∴.
又∵是的一个零点，
，即，
∴或，，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，则
即或，，解得或，；
若函数在（）上恰好有10个零点，故
要使最小，须m､n恰好为的零点，故.
32．（2023·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．
（1）求角的大小；
（2）设点是的中点，若，求的取值范围．
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，可得，
即，即，可得，
又因为，所以．
（2）如图，延长到，满足，连接，
则为平行四边形，且，
在中，由余弦定理得，
即，可得，即，
由基本不等式得：，即，
即，可得，（当且仅当取等号号）
又由，即，
故的取值范围是 .