新高考数学二轮复习解答题提优训练专题1.3 数列（常规型）（2份，原卷版+解析版）

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1．证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，
d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
2．数列求和的常用方法：
①对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
③对于结构，利用分组求和法；
④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，
利用裂项相消法求和．
3．数列求和的常用方法：（设数列是等差数列，是等比数列）
①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
②错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
③裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相
间等特征时可能用并项求和法；
⑤倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
4．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破
这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
；② ；
③；④
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
5．数列求和的方法技巧
①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
1．（2023·广东深圳·统考一模）记为数列的前n项和，已知，．
(1)求，并证明是等差数列；
(2)求．
【解题思路】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列；
（2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得.
【解答过程】（1）解：已知，
当时，，；当时，，，所以．
因为①，所以②．
②－①得，，整理得，，
所以（常数），，
所以是首项为6，公差为4的等差数列．
（2）解：由（1）知，，，．
当n为偶数时， ；
当n为奇数时， ．
综上所述，.
2．（2023·全国·联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列为等差数列，建立方程求出公差，从而可得的通项；
（2）利用错位相减法计算即可.
【解答过程】（1）∵，∴，则，所以为等比数列，
又，得，所以，
由知是等差数列，且，，
∴，得，．∴.
（2）因为，，所以，
所以
则
上面两式作差得
，
∴.
3．（2023·广东广州·统考一模）已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.
【解题思路】（1）根据证明为定值即可；
（2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解.
【解答过程】（1）由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
所以，
则，
由，
得，
即，
令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
由，
，
则当时，，
所以若，正整数的所有取值为.
4．（2023·海南·校考一模）已知为等差数列，前项和为，若，
(1)求
(2)对，将中落入区间内项的个数记为，求的和．
【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式列方程组求解即可；
（2）先根据及可得，进而得，再由分组求和和等比数列的前项和公式求解即可.
【解答过程】（1）设的公差为，
所以，
，
解得，，
所以
（2）由题意可得，即，
因为，所以，
所以，，
所以
.
5．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列中，，在数列中，.
(1)求证数列成等差数列并求；
(2)求证：.
【解题思路】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可；
（2）由累乘法求得的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明.
【解答过程】（1）由知，
故，
即，数列成等差数列，
所以，所以；
（2）由，得，
于是
所以，
，
所以.
6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，在数列中，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求的最值．
【解题思路】（1）利用累加法和等差数列的通项公式可求，由及可求；
（2）利用错位相减法求出，分情况讨论可得答案.
【解答过程】（1）由己知得，当时
.
∴
当时，，也满足上式．所以
当时，，∴
当时，，符合上式
当时，，所以，也符合上式，综上，
∴，.
（2）由（1）可得：，
∴，
，
两式相减：
，
∴，
当n为奇数时，不妨设，则
，
∴单调递减，，
当n为偶数时，不妨设，则
，
∴单调递增，，
∴的最小值为，最大值为1.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·校考一模）已知递增等差数列满足：，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解题思路】(1)由已知可得，然后联立求解即可得;
(2)把的通项公式代入 ，然后再利用裂项相消法求和即可得.
【解答过程】（1）设递增等差数列的公差为d, d>0
,，，成等比数列,,
，解；
∴
（2）由（1）可得，
8．（2023·河南·联考一模）已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据题意，由与的关系即可得到数列是等比数列，从而得到结果；
（2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.
【解答过程】（1）①因为①，
当时，，得.
当时，②，
①-②得：，即，
所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以.
（2）由（1）知，，
令，
则③.
所以④.
③-④得：，
整理得：
所以.
9．（2023·广东茂名·统考一模）已知为数列的前n项和，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，为数列的前n项和.求，并证明：.
【解题思路】（1）根据题设，利用的关系可推得，判断数列为等差数列，即可求得答案；
（2）由（1）求得的表达式，利用裂项求和求得，结合的的单调性，可证明结论.
【解答过程】（1）当时,，,则,
当时，，则,
两式相减得：
即
即
∵，∴,
∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴.
（2）由（1）得，，
，
∵，∴，∴
又∵，∴随着n的增大而减少，从而随着n的增大面增大，
∴，
综上所述，.
10．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）设数列的前n项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足，，求数列的前14项的和．
【解题思路】（1）根据已知得出，结合前项和与通项的关系将已知与得出的式子两式做减，再化简即可得出，即可证明；
（2）根据（1）得出，结合已知即可得出当为偶数时，即，将数列的前14项从第2项开始两两分组，再结合等比数列求和公式即可得出答案.
【解答过程】（1），
则，
，得，即，
，即
令中，得，解得，则
是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，则，
，且，
当为偶数时，，即，
，
，
．
11．（2023·安徽安庆·校考一模）数列中，，且满足
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)设，是否存在最大的；正整数，使得对任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）令，，可得，，解方程即可求出，由题意知数列为等差数列，即可求出数列的通项公式；
（2）根据的取值得到的符号，然后去掉绝对值后可得所求的；
（3）由（1）求得，然后利用裂项相消法求出，并进一步求出的最小值．再根据恒成立得到，求得的范围后可得所求．
【解答过程】（1）令，，令，，
解得：,
由知数列为等差数列，
设其公差为，则.
故
（2）由，解得.故
当时,
当时,.
（3）由于
从而
故数列是单调递增数列，又因是数列中的最小项，
要使恒成立，故只需成立即可，
由此解得，由于，
故适合条件的的最大值为7.
12．（2023·山东泰安·统考一模）已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.
(1)求；
(2)求.
【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，解之即可求出首项和公差，进而即可求解；
（2）结合（1）的结论求出，然后利用裂项相消法即可求解.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，，
，即
整理得，
解得，或（舍）
所以
故，
（2）由（1）知，，所以，
所以，
则，
.
13．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知数列是等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据等差数列列出方程求出，平方即可得解；
（2），裂项后相加相消即可得解.
【解答过程】（1）设，等差数列的公差为，
其中，，∵即，∴
∴，即
故数列的通项公式为.
（2）
∵
∴
∴.
14．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足．
(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；
(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，求得，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围；
（2）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，由于，
所以，解得，
所以，
若数列为单调递减数列，则对于恒成立，
所以在上恒成立，
则，所以，又数列为递增数列，所以，即，
故的取值范围为；
（2）若，则，
根据题意数列为：
第一组为：1，；
第二组为：，，；
第三组为：，，，；
……
第组为：，，，，…，；
则前组一共有项，当时，项数为.
故相当于是前组的和再加上这五项，即：
设，则可看成是数列的前项和
所以.
15．（2023·山西临汾·统考一模）已知数列，，满足，，.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，证明：.
【解题思路】（1）由的递推公式，得的递推公式，证明为等比数列，得数列的通项公式；
（2）由（1）得的通项公式，裂项求和，证明不等式.
【解答过程】（1）证明：因为，，
所以，即，即，
又因为，所以是首项为1，公比为3的等比数列，
所以的通项公式为.
（2）证明：因为，
所以，
所以，
所以，
即，
所以.
16．（2022·广东·高二期中）已知等差数列满足，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由题意可得到，化为基本量和的关系，即可求解；
（2）根据错位相减法求和即可.
【解答过程】（1）等差数列的首项，公差设为，
由，，成等比数列，则，
即，
即，解得，
所以.
（2）由题意，，设数列的前项和为，
则，
，
两式相减得
即，
化简得.
17．（2023·河南焦作·统考模拟预测）在数列中，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为．若，求正整数的值．
【解题思路】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】（1）解：因为，，且，
所以，
当时，
当时
，
又时也符合上式，
所以.
（2）解：由（1）可知，所以，
所以，
所以，
则，解得.
18．（2023·吉林·统考二模）已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）首先根据等差数列的定义得到的通项公式，即可得到，再根据计算可得；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.
【解答过程】（1）解：∵，∴，
又∵数列为以为公差的等差数列，
∴，即，
∵时，，
∴时，符合上式，
∴数列的通项公式为.
（2）解：由（1）可得
所以
，
∴数列的前项和.
19．（2023·四川南充·校考模拟预测）已知数列是递增的等比数列，并且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)若是数列的前项和，证明：
【解题思路】（1）设数列的公比为由可求出，进一步可得.
（2）利用裂项相消求和法可求出数列的前项和，得证.
【解答过程】（1）设数列的公比为
由 得，两式相除，得,
即，解得或，且、为递增等比数列，
，，
.
（2），则，
，
，
而，所以，即.
20．（2023·天津河北·校考模拟预测）已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项．
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和；
(3)求证：．
【解题思路】（1）根据题意，由与的关系，即可得到数列的通项公式，然后再由等比数列的通项公式得到数列的通项公式；
（2）根据题意，设的前项和为，的前项和为，分别求得即可得到结果.
（3）由题意可得，，然后再结合等比数列的求和公式，即可得到结果.
【解答过程】（1）因为数列的前项和为，且，
当时，；
当时，，当时也满足；
所以；
又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，
所以，则，则.
（2）由（1）可得，，
令①，
所以②，
②可得，
，
所以，
令，
即，
令，
则
，
则；
（3）设，则，
则
.