新高考数学一轮复习考点分类提升 第15讲 导数的几何意义（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率k，即.
2.基本初等函数的导数公式
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
(3).
4.复合函数的导数
(1)定义:一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
(2)求导法则:一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为.
5.常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
(2)导数是奇函数，则原函数是偶函数；反之，导数是偶函数，则原函数不一定是奇函数.
(3).
考点一：利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围
例1．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．[0，B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果.
【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以，
故选：D.
例2．函数的图象在点处切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】，，
即在处切线的斜率为，则其倾斜角为.
故选：B.
考点二：“在”与“过”，求曲线的切线方程
例3．（2023·全国·模拟预测）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，由此确定与坐标轴的交点坐标，进而得到围成的三角形面积.
【详解】记，则，
，又，
曲线在处的切线方程为：，即，
令，解得：；令，解得：；
该切线与坐标轴围成的三角形面积为.
故选：A.
例4．曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．B．C．9D．3
【答案】B
【分析】结合导数的几何意义求出切线方程，从而令即可求出结果.
【详解】因为，所以，
即切线的斜率，
则切线方程为，即，
令，可得，
故选：B．
考点三：利用导数值求参数值
例5．已知，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用导数法则及基本初等函数的导数公式，结合函数导数值即可求解.
【详解】由，得，
又因为，
所以，解得.
故选：B.
例6．曲线，在点处的切线方程为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义列式求解.
【详解】∵，则，
∴，，
切线的斜率，且过点
由题意可得，解得.
故选：C.
一、单选题
1．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，利用导数的几何意义及三角函数的诱导公式，结合三角函数的齐次式的解决方法及同角三角函数的商数关系即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，解得，
所以
由题意可知，，
所以.
故选：B.
2．曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据导数的计算公式以及导数的几何意义进行求解.
【详解】因为，所以，
，
所以曲线在处的切线的斜率为.故A，C，D错误.
故选：B.
3．直线过坐标原点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出切点坐标，求导得切线斜率，表示出切线方程，代入切点坐标解出，由斜率即可求解.
【详解】设切点，，则直线的斜率为，直线方程为，代入点，得，
解得，则斜率为1，故倾斜角为.
故选：B.
4．函数在处的导数为-2，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，
所以，解得，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即.
故选：C．
5．若，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，取，解得，则，求得，可得切点坐标和切线斜率，利用直线方程的点斜式得答案.
【详解】，，
令，解得.
所以，则.
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：.
6．已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，则，而，
因此，即，
所以的图象在处的切线方程为：.
故选：A
7．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.
【详解】由函数，可得，
设切点坐标为，可得切线方程为，
把原点代入方程，可得，即，
解得，所以切线方程为，即.
故选：A.
8．若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为（ ）
A．1，1B．，1C．1，D．，
【答案】A
【分析】利用切点处的导数等于切线斜率，结合切点在切线上可得.
【详解】解：因为，所以
曲线在点处的切线的斜率为1，
，
又切点在切线上，
．
故选：A．
9．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
10．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】∵，∴，
∴曲线在点处的切线的斜率，
∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，
∴.
故选：C.
11．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a值.
【详解】因为，
所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，
由切线与直线l垂直知，即，解得．
故选：C．
12．如图，已知函数f(x)的图像在点处的切线为l，则（ ）
A．-3B．-2C．2D．1
【答案】D
【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算.
【详解】由图像可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：D.
13．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
二、填空题
14．已知函数，则该函数的图象在处的切线的倾斜角为__________.
【答案】
【分析】对函数求导数，计算时的斜率，得倾斜角.
【详解】因为，
所以，
所以，
即切线的斜率为-1，倾斜角为.
故答案为：.
15．曲线在点处的切线斜率为_________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】由可得，
所以当时，，
所以由导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率为，
故答案为：
16．函数在处的切线与直线平行，则a＝______．
【答案】1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.
【详解】因为，所以，
所以函数在处的切线斜率为，
因为该切线与直线平行，故，解得
故答案为：1
17．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
【答案】
【分析】先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案.
【详解】已知，则,
因为曲线在处的切线与直线相互垂直，
所以，解得.
故答案为：.
18．设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 __．
【答案】
【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
【详解】由已知得，
由得．
故答案为：．
19．（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】根据求导法得出点处切线的斜率，再根据点的坐标，由点斜式得到该切线方程.
【详解】，
，
，又，
所求的切线方程为，即，
故答案为：.
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f'(x)=0
f(x)=xα(α∈Q，α≠0)
f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x
f'(x)=cs x
f(x)=cs x
f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0，且a≠1)
f'(x)=axln a
f(x)=ex
f'(x)=ex
f(x)=lgax(a>0，且a≠1)
f(x)=ln x
f'(x)=
考点一
利用导数求直线的倾斜角或倾斜角范围
考点二
“在”与“过”，求曲线的切线方程
考点三
利用导数值求参数值