新高考数学一轮复习考点分类提升 第18讲 导数的最值（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点分类提升 第18讲 导数的最值（讲义）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点分类提升第18讲导数的最值讲义原卷版doc、新高考数学一轮复习考点分类提升第18讲导数的最值讲义解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
1.函数的最值
(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；
若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2.恒成立问题：
(1)恒成立；恒成立．
(2)恒成立；恒成立．
(3)恒成立；恒成立；
(4)，，．
3.常用结论
(1)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
考点一：利用导数求解函数的最值
例1．函数的最小值是（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】利用导数讨论单调性并求最值.
【详解】由题意可得，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是．
故选:C.
例2．函数在区间上的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意得，
当时，，，
所以在区间单调递减，故函数最大值为，
故选：B
考点二：利用导数解决恒能成立问题
例3．函数，若恒有，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可知的最小值大于等于0，利用导数求函数的最值即得.
【详解】由题可得，
由，可得，此时单调递减，
由，可得，此时单调递增，
∴，
∴.
故选：C.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先将题意转化为对，，都有，构造函数得到在为减函数，从而得到，恒成立，再利用导数求出最小值即可得到答案.
【详解】因为对，，都有成立，
所以对，，都有.
设，则在为减函数.
，
等价于，恒成立，
即，恒成立.
设，，
所以，，为减函数，
，，为增函数，
所以，所以，即.
故选：C
考点三：利用导数证明不等式
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】构造函数，
在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
例6．以下不等式在时不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对 分别构造函数，利用导数一一研究其单调性和最值，即可判断，对于取特值即可判断.
【详解】对于，令，则，当，单调递增，当，单调递减，，即，因此正确.
对于，令，当时，恒成立，在单调递增，，即，因此正确.
对于，令，令，则，不满足，因此不正确.
对于，令，当时，恒成立，在单调递增，，即，因此正确.
故选：C.
一、单选题
1．在区间上的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】先求出函数在区间上的极值，然后比较极值和区间端点的函数值大小，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
令，解得，或，
当变化时，的变化情况如下表所示，
因此，当时，有极大值，并且极大值为，
又由于，
所以函数在区间上的最小值是-2.
故选：B
2．函数在上的最大值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】求导得到导函数，根据函数的单调区间得到最值.
【详解】，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故.
故选：B
3．函数在上的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可求得最小值.
【详解】∵，
∴，
当时，
∴函数在区间上单调递增，
∴当时，函数取得最小值，，
∴函数在上的最小值为.
故选：A.
4．设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先不等式恒成立转化为，然后利用导数求函数的最大值，即可求解.
【详解】，令，得或.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，所以
因为对任意的有恒成立，所以，即.
故选：C
5．已知函数，存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，－3）
C．（－∞，1]D．[3，＋∞）
【答案】C
【分析】将问题转化为有解，令利用导数求出其最大值即可.
【详解】存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，
即有解，即，
令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，转化为对任意时，求出可得答案.
【详解】设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，
不等式对任意恒成立可转化为对任意时，所以，解得.
故选：C.
7．已知命题；命题.则（ ）
A．是假命题B．是真命题
C．是假命题D．是真命题
【答案】D
【分析】构造函数，证明对恒成立得命题为真命题，再根据命题为假命题，判断各选项即可得答案.
【详解】解：令，，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，，故对恒成立，
所以，命题为真命题；
由于，故命题为假命题.
所以，，，为真命题，为假命题.
故选：D
8．已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，举反例得到A错误；根据函数单调性得到B错误；计算得到C错误；设，，根据函数单调性计算最值得到D正确，得到答案.
【详解】，故，
对选项A：取，，，错误；
对选项B：，故，错误；
对选项C：即，不成立，错误；
对选项D：，设，，即，设，恒成立，函数单调递增，，故，正确.
故选：D
二、解答题
9．已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用导数与切线斜率的关系求解即可；
(2)利用导数讨论函数在区间上的单调性即可求解.
【详解】（1）当时，，，
所以切点为，
，则，
所以切线方程为，即.
（2），，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，不满足题意；
若，令，解得，令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
若， 则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，解得，不满足题意，
综上，.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值.
【答案】-7
【分析】对求导，得出的单调性，可求出函数在上的最大值为，可求出的值，进而求出函数在上的最小值
【详解】，则，
令，得，
和的变化情况如下表：
因为，
所以函数在上的最大值为，
所以，解得，
所以，
由上面可知在上单调递增，在上单调递减；
又因为，
所以函数在上的最小值为.
11．已知函数在处取得极小值-2.
(1)求实数的值；
(2)若，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得，求解即可.
（2）问题等价于，利用导数法求得的最大值和最小值，从而可以求解.
【详解】（1），
因为函数在处取得极小值-2，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极小值，
所以，.
（2）由（1）可知，，则
令，解得或，
而，所以当，时，单调递增；
当时，单调递减.
又
所以当时，.
若，都有成立，
只需，所以.
故实数的取值范围为.
12．已知函数.
(1)若，求的最值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
【答案】(1)最小值为，无最大值
(2)
【分析】（1）当时，求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调性，求出极值，在分析最值即可求解；
（2）根据题意，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）当时，，
则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在处取得极小值，也是最小值为，无最大值.
（2）由，
得，
由（1）可知，当时，
函数，
设，
则在上恒成立，
在上单调递增，
，
即的取值范围为.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
13．（2023·广西南宁·统考一模），
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)证明对于任意正整数，都有.
【答案】(1)，在上单调递增；，在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数分类讨论求解单调区间即可.
（2）根据的单调性得到，即可证明.
（3）当且时，有，从而得到，即可得到，再化简即可证明.
【详解】（1）的定义域为，
①若，当时，，所以在上单调递增；
②若，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即证.
（3）由（2）知当且时，，
对于任意正整数，令得，
所以
.
即证：.
14．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解.
【详解】（1）由题可知函数的定义域为 ，
，
即，
(i)若，
则在定义域上恒成立，
此时函数在上单调递增；
(ii) 若，
令，即，解得,
令，即，解得,
所以在上单调递减，上单调递增.
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，上单调递增.
（2）当时，，
要证明，只用证明，
令，，
令，即，可得方程有唯一解设为，且，
所以，
当变化时，与的变化情况如下，
所以，
因为，因为，所以不取等号，
即，即恒成立，
所以，恒成立，
得证.
考点一
利用导数求解函数的最值
考点二
利用导数解决恒能成立问题
考点三
利用导数证明不等式
0
+
0
-
单调递增
2
单调递减
2
0
极小值
单调递减
单调递增