新高考数学三轮冲刺易错题讲练专题13 概率、随机变量及其分布列（2份，原卷版+解析版）

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易错点一 “基本事件”概念不清致误
注意：解题时要充分理解古典概型的定义,验证基本事件的有限性及等可能性．
例1．（2022春·重庆·高三校联考期中）一袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中随机任取2个，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022春·湖南邵阳·高三统考期末）袋子中有5大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球都是黄球的概率为__________.
易错点二 互斥和对立事件概念不清致误
注意：互斥和对立事件研究的是两个事件之间的关系;
互斥事件：事件A与事件B不能同时发生
对立事件：事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生所研究的两个事件是在一次试验中涉及的
例3．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一本政治与都是数学B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学D．恰有1本政治与恰有2本政治
例4．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）（多选）将，，，这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（ ）
A．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为对立事件
B．“甲得到卡片”与“乙得到卡片”为互斥但不对立事件
C．甲得到卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到卡片的概率为
易错点三 忽略了概率非负的性质
注意：每个概率大于0，并且注意概率和为1
例5．（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考阶段练习）若随机事件互斥，发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数的取值范围为___________.
例6．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（ ）
A．B．C．D．
易错点四 使用概率加法公式没有注意成立条件
注意：概率加法公式是指当事件为互斥事件时，则有，否则只能使用一般的概率加法公式
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A与事件相互独立，且，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022秋·高三单元测试）（多选）下列四个命题中，假命题有（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若为两个事件，则
C．若事件彼此互斥，则
D．若事件满足，则是对立事件
易错点五 条件概率应用错误
注意：样本空间不同，在中，事件成为样本空间;在中，样本空间仍为，因而有
例9．（2023春·福建福州·高二福州三中校考期中）已知A，B，C为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
易错点六 混淆互斥事件与相互独立事件致误
注意：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生;
两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响，满足;
例11．（2023春·全国·高三专题练习）已知，，，则事件与的关系是（ ）
A．与互斥不对立B．与对立
C．与相互独立D．与既互斥又独立
例12．（2023秋·吉林·高三吉林一中校考阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．与B互斥B．C．与相互独立D．
易错点七 对超几何分布理解不到位，分类不全面
注意：在形式上超几何分布的模型常由较为明显的两部分组成
例13．（2023·河南洛阳·校联考三模）某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽查了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计锻炼时长的平均数（同组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)从锻炼时长分布在，，，的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
例14．（2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
易错点八 混淆超几何分布与二项分布
注意：（1）超几何分布的特点是： = 1 \* GB3 ①整体一般由两部分组成,比如 “男生、女生”“正品、次品”等； = 2 \* GB3 ②总体一般是有限个.
（2）超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型
（3）注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.
例15．（2022秋·内蒙古·高三校考期末）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．
例16．（2023春·高三课时练习）袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为，求的分布列和期望；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列和期望.
一、单选题
1．（2023·河南郑州·统考一模）一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）从甲、乙等名专家中任选人前往某地进行考察，则甲、乙人中至少有人被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
A．两两不互斥B．
C．与B是相互独立事件D．
4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往①社区”；B表示事件“志愿者乙派往①社区”；C表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（ ）
A．事件A、B同时发生的概率为
B．事件A发生的条件下B发生的概率为
C．事件A与B相互独立
D．事件A与C为互斥事件
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（2022秋·高三课时练习）（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（ ）
A．P和R是互斥事件
B．P和Q是对立事件
C．Q和R是对立事件
D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件
7．（2023·山东聊城·统考模拟预测）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
三、填空题
8．（2022秋·高三课时练习）若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____．
9．（2022·高三课时练习）若离散型随机变量的分布列是：
则常数的值为__________．
四、解答题
10．（浙江省宁波三锋教研联盟2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
(1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．
11．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
12．（2023春·北京·高三校考阶段练习）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.
13．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，这2人中在的人数设为随机变量，请求出随机变量的分布列与数学期望.
易错点一
“基本事件”概念不清致误
易错点二
互斥和对立事件概念不清致误
易错点三
忽略了概率非负的性质
易错点四
使用概率加法公式没有注意成立条件
易错点五
条件概率应用错误
易错点六
混淆互斥事件与相互独立事件致误
易错点七
对超几何分布理解不到位，分类不全面
易错点八
混淆超几何分布与二项分布
X
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2
3
4
P
0
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