新高考数学二轮复习易错题专练易错点15 概率与随机变量的分布列（含解析）

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易错点15 概率与随机变量的分布列
易错题【01】对“基本事件”概念不清致误
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2.确定基本事件个数的三种方法
(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．
(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．
(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．
易错题【02】误用公式
若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥，如果事件A与事件B互斥，则P(A+B)＝P(A)＋P(B)，若事件A与事件B不互斥，则P(A+B)＝P(A)＋P(B)，所以在利用时要判断事件A与事件B是否互斥。
易错题【03】利用古典概型求概率列举基本事件重复或遗漏
1.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
2.古典概型的概率公式
P(A)＝.
古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
3.求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，注意是无序还是有序．在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件是常见错误．
易错题【04】利用古典概型求概率考虑问题不全面
较复杂的古典概型概率计算，常会借助排列组合知识进行计数，在计数时如果考虑问题不全面，会出现计数错误。
易错题【05】混淆超几何分布与二项分布
1.如果随机变量的可能取值为0，1，2，…，n，且取值的概率(其中)，其随机变量分布列为

0
1
…
k
…
n



…

…

则称服从二项分布，记为.
2.在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝,k＝0,1,2,…,m,其中m＝min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布列.记为X～H(n,M,N).此时有.
3.超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个.超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.

01
(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 (　　)
A． B． C． D．
【警示】不理解基本事件，不会确定基本事件是本题失分的主要原因。
【答案】C
【问诊】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有5种排法，若2个0不相邻，则有10种排法，
所以2个0不相邻的概率为．故选C．
【叮嘱】注意任意两个基本事件是互斥的

1.(2021届陕西省西安市高三下学期质量检测)两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：
，
，
，
共36种情况，所得结果之积为：, , , , ,
所得之积能被整除的概率，故选D.
2. 以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为
B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为
C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
【答案】BCD
【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率，故A不正确；
B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含，则概率为，故B正确；
C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含，共5种，所以点数之和为6的概率，故C正确；
D.由题意可知取出的产品全是正品的概率，故D正确.
02
抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B)．
【警示】本题一种错误解法是：因为P(A)＝＝,P(B)＝＝,所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【问诊】事件A、B不是互斥事件,使用加法公式错误．
【答案】将A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件,记出现“1、2、3”为事件C,出现“5”为事件D,则C与D两事件互斥,所以P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
【叮嘱】在应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解概率问题时,一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以转化为互斥事件,再用公式．

1.(2021届广西南宁市高三5月考)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设元件1，元件2，元件3正常工作分别为事件A、B、C，
则；故该部件能正常工作的概率为.故选B
2.( 2021届宁夏银川市高三下学期二模)托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中称为的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记一个人得病为事件，检测结果为阳性为事件，
则，，，
所以，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为，故选C.
03
(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理))我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界
领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如
．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 (　　)
A． B． C． D．
【警示】在列举和等于30的数时出现遗漏或重复是本题失分的主要原因。
【答案】C
【问诊】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，故概率，故选C．
【叮嘱】求古典概型的概率的关键是正确列出基本事件，在列举基本事件空间时，要按照一定的标准列举，如用列举法，还要注意是无序还是有序．

1.对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为，第二次出现的数作为(一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，各数出现的可能性相同)，那么，这个方程有解的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记事件 “方程有实根”．由，得：
又基本事件共个，其中事件包含19个基本事件，列举如下：
，，，，，，,,，，，，
，，，，，，，
所以，故选C.
2. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________.
【答案】0.21
【解析】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C
则，则
04
箱子中有6件产品,其中4件正品,2件次品,每次随机取出1件检验,直到把所有次品检验出停止,求检验4次停止检验的概率.
【警示】本题的一种错误解法是：
【问诊】忽略前4次全是正品的情况
【答案】.
【叮嘱】如果基本事件个数比较多,可以利用两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)＝求概率,但要注意问题的所有可能情况.

1.中国足球队超级联赛的积分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某球队打完3场比赛，则该球队积分情况共有几种( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】(1)胜和负，无平：
①胜场，负场，共分；
②胜场，负场，共分；
③胜场，负场，共分；
④胜场，负场，共分；
(2)胜和平，无负：
①胜场，平场，共分；
②胜场，平场，共分；
③胜场，平场，共分；
④胜场，平场，共分；
(3)平和负，无胜：
①平场，负场，共分；
②平场，负场，共分；
③平场，负场，共分；
④平场，负场，共分；
(4)胜、平、负，各一场，
共分，
所以该球队积分情况共有种.故选B
2.《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数，
大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，
所以大夫、不更恰好在同一组的概率为
05
为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中,平均车速超过的有40人,不超过的有15人；在45名女性驾驶员中,平均车速超过的有20人,不超过的有25人.
(1)完成下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过的前提下认为“平均车速超过与性别有关”？
 
平均车速超过
平均车速不超过
总计
男性驾驶员
 
 
 
女性驾驶员
 
 
 
总计
 
 
 
附：,其中.














(2)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过的人中随机抽取2人,求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(3)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为,求的分布列和数学期望.
【警示】本题出错的主要原因是第(3)小题因用超几何分布而错误
【问诊】出错原因是混淆超几何分布与二项分布
【答案】(1)完成的列联表如下：

平均车速超过
平均车速不超过
合计
男性驾驶员
40
15
55
女性驾驶员
20
25
45
合计
60
40
100
,
所以在犯错误概率不超过的前提下,能认为“平均车速超过与性别有关”.
(2)平均车速不超过的驾驶员有40人,
从中随机抽取2人的方法总数为,记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件,
则事件所包含的基本事件数为,
所以所求的概率.
(3)根据样本估计总体的思想,从总体中任取1辆车,
平均车速超过且为男性驾驶员的概率为,
故.
所以；；
；.
所以的分布列为

0
1
2
3





(或).
【叮嘱】(1)超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个.
(2)超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型
(3)注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.

1. (2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电.某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量(千瓦时)时，按平价计费，每月用电量超过标准电量(千瓦时)时，超过部分按议价计费.随机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照，，…分成9组，制成了频率分布直方图(如图所示).

(1)求直方图中的值；
(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准(千瓦时)的值；
(3)在用电量不小于350(千瓦时)的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400(千瓦时)的有户居民，求的分布列.
【解析】(1)由题得
解得.
所以直方图中的值为.
(2)由频率分布直方图得月均用电量小于250(千瓦时)的居民家庭所占百分比为：
，
同理，的居民用电量小于300(千瓦时)
所以，
所以，解得(千瓦时).
所以若使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准(千瓦时)的值
(3)根据频率分布直方图，样本中用电量不小于350(千瓦时)的居民共有(户)，
不小于400(千瓦时)的有户居民(户)，
所以随机变量的可能取值为，
，，，
所以随机变量的分布列为：








2. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是红球，则可获得现金50元；若只有1个红球，则可获得20元购物券；若没有红球，则不获奖.
(1)若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金或购物券的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得现金为X元，求X的分布列和数学期望.
【解析】(1)根据题意，取出的小球没有白球，即获得现金或购物券的概率为.
(2)X的所有可能取值为150，100，50，0，
一次抽奖抽到两次均为红球的概率为，其他情况概率为，
∴，，
，.
∴X的分布列如下：
X
150
100
50
0
P




∴X的数学期望为：.

错
1．有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设两男两女分别为，则基本事件分别是，，，，基本事件总数n=12，其中第二个上车的是女生的基本事件共有m=6，所以概率，故选B．
11．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，基本事件总数n＝53＝125.其各位数字之和等于12包含的基本事件有：由2,5,5能组成3个满足条件的三位数，由4,4,4能组成1个满足条件的三位数，由3,4,5能组成6个满足条件的三位数，满足条件的三位数共有3＋1＋6＝10个，∴其各位数字之和等于12的概率为P＝＝.故选A.
3．(2022届广东省广州市高三上学期12月调研)2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有种排法，
当郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有种排法，
当郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有种排法，
当郑州安排4名专家，洛阳安排2名专家，则有种排法，
所以每地至少安排一名专家，共有种不同得排法，
若甲，乙被安排在不同地点工作，
当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有种排法，
当郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有种排法，
当郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有种排法，
当郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有种排法，
所以甲，乙被安排在不同地点工作，共有种不同得排法，
所以甲，乙被安排在不同地点工作的概率为.故选C.
4．(多选题)从1，2，3，4，5中随机选两个数，下列事件的概率为是( )
A．两数之差绝对值为2 B．两数之差绝对值为1
C．两数之和不小于6 D．两数之和不大于5
【答案】BD
【解析】由1，2,3,4,5中5个数字随机选2个数字，包含的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个基本事件，
其中两数之差绝对值为2的包含(1,3)，(2,4)，(3,5)共3个基本事件，所以两数之差绝对值为2的概率，故A不正确；两数之差绝对值为1包含(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)共4个基本事件，所以两数之差绝对值为1的概率，故B正确；两数之和不小于6包含(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共6个基本事件，所以两数之和不小于6的概率，故C不正确；两数之和不大于5包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，共包含4个基本事件，所以两数之和不大于5的概率，故D正确.故选BD
5．(2022届山东省潍坊高三上学期检测)已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则( )
A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为
【答案】ACD
【解析】对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；
对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；
对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；
对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率；故选ACD.
6．下列四个命题错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若，为两个事件，则
C．若事件，，彼此互斥，则
D．若事件，满足，则A，是对立事件
【答案】BCD
【解析】在A中，对立事件一定是互斥事件，故A正确；
在B中，若，为两个互斥事件，则，若，不为两个互斥事件，则，故B错误；
在C中，若事件，，彼此互斥，则，故C错误；
在D中，若事件，满足，则，有可能不是对立事件，故D错误；故选BCD.
7．(2022届天津市第一中学高三上学期月考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则________
【答案】
【解析】由题意可得：，
整理可得：，解得：
8．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P(X=k)=(k=0，1，2，(3)．所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，由(i)知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．
9．(2022届福建省广东省部分学校高三12月考)2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员对某高风险小区居民进行检测.
(1)若假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测样本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；
(2)若A，B为确诊患者，C，D为密切接触者，且C被A或B感染的概率均为，D被A或B或C感染的概率均为(D没有途径感染C)，则C，D中受感染的人数X作为一个随机变量，求X的分布列及数学期望.
【解析】(1)第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组，任取一组，若呈阳性则当前组记为Ⅰ组；若呈阴性则另一组记为Ⅰ组
第二步，将Ⅰ组的样本随机分为两组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组.
第三步，对Ⅱ组样本进行检测，若呈阳性，再任取这2人中的1人的样本对其进行检测即可得知患病人员，因此，共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次.
对Ⅲ组样本进行检测，若呈阳性，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次；若呈阴性，则从Ⅱ组样本中任取一人的样本进行检测，即可得知患病人员，因此，共检测3次.
综上，最多需做4次检测.
(2)由题意，的可能取值为0，1，2.
C被感染而D未被感染的概率，D被感染而C未被感染的概率，且，
∴，，
的分布列为

0
1
2




∴.
10．(2022届河北省衡水中学高三上学期模拟)某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
(1)求选手甲在射击中得0分的概率；
(2)设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望．
【解析】(1)记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为
事件、、，三次都没有击中目标为事件，则．
设选手甲在m处击中目标的概率为，则．
由m时，得，
所以，，
所以，．
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为
．
(2)由题设知，的可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
则的分布列为

0
1
2
3





所以数学期望为．