新高考数学三轮冲刺易错题讲练专题12 计数原理（2份，原卷版+解析版）

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易错点一 求解“至少”问题计数重复
注意：不同元素的分配问题,一般是先分组,再排列
例1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·湖北·高三校联考期中）（多选）在50件产品中，有47件合格品，3个不合格，从这50件产品中任意抽取4件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽取的4件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种
B．抽取的4种产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
C．抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
D．抽取的4件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
易错点二 与实数个数有关的问题,忽略实数相等的情况
注意：与实数个数有关的问题要注意运算结果是否相同
例3．（2022·高三课时练习）从集合中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到________个不同的对数值
例4．（2022·全国·高三专题练习）若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有_______条？
易错点三 分组问题混淆“均分”与“非均分”
注意：对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的,位置也应是不同的；③分堆时要注意是否均匀
例5．（2023春·湖北襄阳·高三宜城市第一中学校联考期中）某高校有名志愿者参加月日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排人，最多安排人，则当天不同的排班种类为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）某校环保小组共有8名成员，该环保小组计划前往该市3个不同的景区开展环保活动，要求每个景区至少有2人，且每个人只能去一个景区，则不同的分配方案有（ ）
A．490种B．980种C．2940种D．5880种
易错点四 计数时混淆有序与定序
注意：“定序”是指元素的相对顺序固定,定序问题可看作组合问题
例7．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡肉、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种B．12种C．36种D．72种
例8．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考期中）（多选）某校计划安排五位老师（包含甲、乙）担任周一至周四的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是（ ）
A．若周一必须安排两位老师，则不同的安排方法共有60种
B．若甲、乙均值班且必须排在同一天值班，则不同的安排方法共有48种
C．若五位老师都值班一天，则不同的安排方法共有240种
D．若每天恰有一位老师值班，且如果甲乙均值班，则甲必须在乙之前值班的不同的安排方法共有84种
易错点五 忽视排列数组合数公式的隐含条件致误
例9．（2023·高三课时练习）不等式的解集为________．
例10．（2023秋·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）若，则__________
易错点六 忽略二项展开式的通项是第项不是第项
注意：求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求,解出项数,代回通项公式即可
例11．（天津市河北区2022-2023学年高二下学期期中数学试题）二项式的展开式中，第2项的系数为（ ）
A．4B．C．6D．
例12．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中，第7项为常数，则______，最大的二项式系数是______．
易错点七 混淆二项式系数与系数
注意：二项展开式中二项式系数的最大项只与有关,若n为偶数,正中间一项的二项式系数最大,若n为奇数,正中间项的二项式系数最大；
求系数的最大值一般是分别确定第的系数,再由确定符合条件的.
例13．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第四十一中学校考期中）（多选）展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．偶数项二项式系数和为B．奇数项的系数和为
C．第8项与第9项的二项式系数相等D．第9项的系数最大
例14．（2023秋·甘肃天水·高三统考期末）（多选）在的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
A．二项式系数之和为128B．各项系数之和为1
C．常数项为15D．的系数为-48
易错点八 三项式转化不合理
注意：三项式转化成二项式的时候，要注意字母的限制条件，要做到不重不漏
例15．（2018·北京·高三强基计划）的展开式中的常数项为____________．
例16．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）的展开式中项的系数为______.
一、单选题
1．（2023春·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（ ）
A．64B．56C．53D．51
2．（2023·全国·高三专题练习）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（ ）
A．36种B．14种C．22种D．8种
3．（2023春·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）满足关系式的正整数组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）展开式中的常数项为（ ）
A．70B．C．16D．64
二、多选题
6．（湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题）现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A．个空位全都相邻的坐法有种
B．个空位中只有个相邻的坐法有种
C．个空位均不相邻的坐法有种
D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种
7．（2023春·山东枣庄·高三统考期中）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（ ）
A．若不选择政治，选法总数为种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种
8．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（ ）
A．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法
B．九本书内容都不一样，分给三位同学有种不同的分法
C．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法
D．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有种不同的分法
9．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法
D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种
10．（2023春·湖北·高三湖北省鄂州高中校联考期中）在的二项展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．常数项为第三项
B．展开式的二项式系数和为729
C．展开式系数最大项为第三项
D．展开式中系数最大项的系数为240
三、填空题
11．（2023春·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有______种．
12．（2023春·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）若，则x的值为_______
13．若在的展开式中，第4项是常数项，则______________．
14．（2023·全国·模拟预测）设，则______．
易错点一
求解“至少”问题计数重复
易错点二
与实数个数有关的问题,忽略实数相等的情况
易错点三
分组问题混淆“均分”与“非均分”
易错点四
计数时混淆有序与定序
易错点五
忽视排列数组合数公式的隐含条件致误
易错点六
忽略二项展开式的通项是第项不是第项
易错点七
混淆二项式系数与系数
易错点八
三项式转化不合理