(新高考)高考数学三轮冲刺大题优练4《随机变量及其分布》(2份打包，解析版+原卷版)

例1．在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主5年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在2016年对A地区购买新车的400名车主进行跟踪调查，并将他们5年以来的新车花费统计如下表所示：

（1）求这400名车主5年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）；

（2）以频率估计概率，假设A地区2016年共有100000名新车车主，若所有车主5年内新车花费可视为服从正态分布，，分别为（1）中的平均数以及方差，试估计2016年新车车主5年以来新车花费在的人数；

（3）以频率估计概率，若从2016年A地区所有的新车车主中随机抽取4人，记花费在的人数为，求的分布列以及数学期望．

参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】（1）平均数为8，方差为8；（2）81850人；（3）分布列见解析，．

【解析】（1）依题意，整理表格数据如下：

依题意，，

．

（2）由（1）可知，，，，

，

故所求人数为人．

（3）依题意，，

；；

；；

，

则．

例2．袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球．

（1）若甲一次性抽取4个球，求甲至多抽到一个黑球的概率；

（2）若乙共抽取4次，每次抽取1个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，52．

【解析】（1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}，

，

，

所以甲至多抽到一个黑球的概率为．

（2）解法一：

乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，

所以抽取4次{4个白球，3个白球1个黑球，2个白球2个黑球，1个白球3个黑球，4个黑球}，

对应的取值有，而每次抽到白球、黑球的概率分别为，，

设4次取球取得黑球次数为，则的可能取值0，1，2，3，4，

，即可得分布列如下：

．

解法二：

设4次取球取得黑球数为，则，且，

．

例3．已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数．

（1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求的概率；

（2）求X的分布列与数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望．

【解析】（1）“第i次验血结果呈阳性”，，表示的对立事件．

若发生，则需从2只患病小白鼠中选择1只排在第一位，其他位置可随意排，

故符合条件的排列顺序共有种，

若与同时发生，则2只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置，

其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有种，

所以概率为．

（2）随机变量X的可能取值为，

可得；

；

，

故，

故X的分布列是

数学期望．

1．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染．拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，

（1）求这两种方案检测次数相同的概率；

（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．

【答案】（1）；（2）乙方案，理由见解析．

【解析】由题意可设甲方案检测的次数是X，则，

记乙方案检测的次数是，则．

（1）记两种方案检测的次数相同为事件A，

则，

所以两种方案检测的次数相同的概率为．

（2）由，，

所以；

，，则，

因为，所以采用乙方案．

2．某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．

方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．

方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．

（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率；

（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．

【答案】（1）；（2）选择方案一更划算．

【解析】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件，则．

∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为．

（2）若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为360，480，600．

则，，．

故的分布列为

∴（元）；

若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则．

由已知，可得，故，

∴（元），

由上知：，故小勇选择方案一更划算．

3．受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业的线上招聘方式分资料初审､笔试､面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲､乙､丙三名大学生报名参加了企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，；丙通过笔试、面试的概率与乙相同．

（1）求甲､乙､丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率；

（2）求甲､乙､丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率；

（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：

记甲､乙､丙三人获得的所有补贴之和为元，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，数学期望．

【解析】（1）设事件表示“甲被企业正式录取”，事件表示“乙被企业正式录取”，事件表示“丙被企业正式录取”，

则，，

所以甲､乙､丙三人中恰有一人被企业正式录取的概率

．

（2）设事件表示“甲、乙、丙三人都没有被企业正式录取”，

则，

所以甲､乙､丙三人中至少有一人被企业正式录取的概率．

（3）的所有可能取值为300，500，700，900，

，，

，．

所以的分布列为

．

4．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表．

（1）求这1000份试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

（2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为，以样本估计总体，假设有的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？

（3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望．

参考数据：若，则，，．

【答案】（1）；（2）分；（3）分布列见解析，数学期望为．

【解析】（1）由频数分布表

．

（2）由题意得，且，

又，

故市教育局预期的平均成绩大约为分．

（3）利用分层抽样的方法抽取的6份试卷中成绩在内的有4份，成绩在内的有2份，

故的所有可能取值为0，1，2，

且，，，

所以的分布列为

数学期望．

5．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为，得到的不合格零件成为废品．

（1）求得到一件合格零件的概率；

（2）合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，

假如每件产品是否合格相互独立，记为生产一件零件获得的利润，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，380（元）．

【解析】（1）设事件：“一次性成型即合格”，设事件：“经过技术处理后合格”，

则，，

所以得到一件合格零件的概率为．

（2）若一件零件一次成型即合格，则，

若一件零件经过技术处理后合格，则，

若一件零件成为废品，则，

所以可取700，600，，则，

，

．

的分布列为

的数学期望为（元）．

6．为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是．

（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；

（2）若现在是小明6：2的比分领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】（1）恰好打了7局小明获胜的概率是，

恰好打了7局小亮获胜的概率为，

∴比赛结束时恰好打了7局的概率为．

（2）的可能取值为2，3，4，5，

，，

，

，

或．

∴的分布列如下：

．

7．2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：

（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩(精确到整数)；

（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩服从正态分布，其中近似等于样本的平均数，近似等于样本的标准差s，并已求得．用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在之外的人数为，求的值(精确到)．

附：（1）当时，，；（2）．

【答案】（1）(分)；（2）．

【解析】（1）

（分）．

（2）由题意知，且，，

所以，，

所以，

所以或，

所以，

所以．

8．中国悠久文化之一“石头，尖刀，布”游戏，留传至今，仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式．“石头”即拳头，“尖刀”即食指和中指，“布”即手掌，“石头”胜“尖刀”，“尖刀”胜“布”，“布”胜“石头”．现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负、假定每个人每次伸出什么手势是随机的并且是均等的（一次游戏，可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负．不分胜负即三人手势均相同或互不相同）

（1）若进行一次“石头，尖刀，布”游戏，求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率；

（2）若进行一次“石头、尖刀、布”游戏，仅一人获胜时，获胜者得5分，失败者各得分－2分；有2人同时获胜时，获胜者各得3分，失败者得－2分；不分胜负时，各得0分．现在进行两次“石头、尖刀，布”游戏，用X表示甲所得的总分数，求X的分布列和期望．

【答案】（1），（2）分布列见解析，．

【解析】（1）设甲获胜的为事件，两人同时获胜为事件．

，．

（2）X的可能取值为，

；；

；；

；；

；；

，

的分布列如下：

．

9．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．

（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中．小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中．两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由．

【答案】（1）；（2）小明的盈利多，详见解析．

【解析】（1）设这个小球掉入5号球槽为事件，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，

所以，

所以这个小球掉入5号球槽的概率为．

（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12．

；

；

；

，

一次游戏付出的奖金，

则小红的收益为；

小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9．

；

；

；

，

一次游戏付出的奖金，

则小明的收益为，

显然，，所以小明的盈利多．