新高考数学三轮冲刺易错题讲练专题10 圆锥曲线（2份，原卷版+解析版）

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易错点一 忽视圆锥曲线定义中的限制条件
注意：椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)；
双曲线的定义：面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)；
平面内到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹不是双曲线；当定长时,表示的只是双曲线的一支
例1．（2023·湖南邵阳·统考二模）（多选）已知点为定圆上的动点，点为圆所在平面上的定点，线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是（ ）
A．一个点B．直线C．椭圆D．双曲线
【答案】ACD
【分析】根据分类讨论思想，分点A在圆内、圆上、圆外三种情况，结合椭圆、双曲线的定义，可得答案
【详解】分以下几种情况讨论：设定圆的半径为，
①当点在圆上，连接，则，所以点在线段的中垂线上，由中垂线的性质可知．
又因为点是线段的中垂线与的公共点，此时点与点重合，
此时，点的轨迹为圆心；故A正确；
②当点在圆内，且点不与圆心重合，连接，由中垂线的性质可得，
所以，，
此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为的椭圆，故C正确；
③当点在圆外：连接，由中垂线的性质可得，
所以，，
此时，点的轨逬是以点A，O为焦点，且实轴长为的双曲线．故D正确．
故选：ACD．
例2．（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是_________
（1）椭圆；
（2）双曲线；
（3）抛物线；
（4）两条射线；
（5）一条直线.
【答案】（2）（4）（5）
【分析】设两定点分别为、，动点为，则为定值.分、、三种情况讨论，分析出三种情况下点的轨迹的形状，可得出结论.
【详解】设两定点分别为、，动点为，则为定值.
①若，则，此时点的轨迹为线段的垂直平分线，（5）满足；
②若，则点的轨迹是以、为焦点的双曲线，（2）满足；
③若，则点的轨迹是直线上去除线段（不含端点）的两条射线，（4）满足.
故答案为：（2）（4）（5）.
易错点二 求标准方程时忽视“定位”分析
注意：在中心为原点的前提下，需要确定焦点在哪个坐标轴上
例3．（2023春·陕西西安·高三交大附中分校校考期中）椭圆关于坐标轴对称，焦距为，离心率等于，则椭圆的标准方程为_________.
【答案】或
【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出方程作答.
【详解】令椭圆长短半轴长分别为，半焦距为c，则，而离心率，则，，
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为，当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为，
所以椭圆的标准方程为或.
故答案为：或
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（ ）
A．2B．1C．D．4
【答案】D
【分析】根据椭圆的方程，结合椭圆的几何性质，列式求解.
【详解】由条件可知，，，且，解得：.
故选：D
例5．（2023·高三课时练习）渐近线互相垂直，且的双曲线的标准方程是______．
【答案】或
【分析】根据题意，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论求解即可.
【详解】当双曲线焦点在轴上时，设方程为
所以，其渐近线方程为，
因为渐近线互相垂直，
所以，，即，
因为，，
所以，，即方程为；
当双曲线焦点在轴上时，设方程为
所以，其渐近线方程为，
因为渐近线互相垂直，
所以，，即，
因为，，
所以，，即方程为；
综上，所求双曲线方程为或
故答案为：或
易错点三 求离心率考虑不全面致误
注意：对圆锥曲线上点的特殊位置(如顶点)不能忽略,综合考虑所有可能情况求离心率范围
例6．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意分析可得，根据数量积的坐标表示结合椭圆的性质运算求解.
【详解】设椭圆的半焦距为c，
由题意可得：，
可得：，
由图可得：∠APB即为的补角，
若∠APB为钝角，即为锐角，
由图可知，故原题意等价于，
整理得，且，解得，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：D.
例7．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考期中）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用定义化简条件可得，根据建立不等关系，化简可得a，c关系，由此可求离心率范围.
【详解】设双曲线的半焦距为，
对于直线，令，解得，即，
∵A为右支上的一点，则，即，
则，整理得，
注意到，可得，整理得，
由双曲线可知，所以的离心率的取值范围为.
故答案为：.
易错点四 忽略判别式致误
注意：用点差法求直线方程时,只是承认了直线与曲线相交,而事实上,存在不相交的可能,所以在求出直线方程后,应利用判别式判断直线与曲线是否相交．
例8．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）已知点，，曲线C上存在M点，满足，则曲线C可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】先求得线段的垂直平分线的方程，再将该直线分别与椭圆，双曲线，抛物线的方程联立，利用判别式判断二者的位置关系，有公共点则满足要求，进而判断选项ABC；利用直线与圆的位置关系判断选项D，有公共点则满足要求.
【详解】由，，可得,中点坐标为，
又由，可得M点在直线上.
选项A：由整理得，
则，
则直线与椭圆有公共点，
则椭圆上存在M点满足.判断正确；
选项B：由整理得，
则，
则直线与双曲线没有公共点，
则双曲线上不存在M点满足.判断错误；
选项C：由整理得，
则，
则直线与抛物线有公共点，
则抛物线上存在M点满足.判断正确；
选项D：圆的圆心坐标为，半径为2，
由，
可得直线与圆相交，
则圆上存在M点满足.判断正确.
故选：ACD
例9．（2022秋·山西朔州·高三校考期末）已知椭圆的焦距为 ，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.直线与椭圆交于 ，两点，点为的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)用表示点的坐标.
(3)设点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)或.
【分析】（1）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式可得点的坐标；
（3）利用两直线垂直的条件，可求得k的值，即可得直线方程．
【详解】（1）由椭圆的定义可得，，
解得，，
所以，
所以椭圆C的方程为．
（2）由，得，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，得，
设，
则，
，
点为的中点，所以中点坐标.
（3）因为，，即，
所以，
解得，满足，
所以直线l的方程为或.
【点睛】关键点睛：解答第3问求直线的方程，关键是根据直线的垂直，利用两直线斜率之积为，列出方程求得直线的斜率，即可求解.
易错点五 轨迹问题中的常见错误
注意：注意一些轨迹问题中包含的隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围
例10．（2023春·四川广元·高三四川省剑阁中学校校考阶段练习）已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程;
【答案】(1)；
【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解；
【详解】（1）如图，.
，，
即 ，当互换位置时，，
当直线 与轴重合时无法作出，故不在轴上，
点在以为焦点的双曲线上，且，
故点的轨迹的方程为；
例11．（2023秋·山东德州·高三统考期末）如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.
【详解】由，，是相应半椭圆的焦点，
可得，，，
所以，，，
故所求周长为；
设，
联立直线与，得，
即点，
联立直线与，得，
即点，且不重合，即，
又为中点，
所以，
即，，整理可得，，
故答案为：，.
易错点六 忽略椭圆中的取值范围致误
例12．（2022秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（ ）
A．[3,5]B．（0,5]C．[4,5]D．[16,25]
【答案】C
【分析】由已知可得动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且从而可得实数r的取值范围.
【详解】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5].
故选：C.
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点，可得或，且有，求得，设，利用二次函数的基本性质求得函数在上的值域，进而求解.
【详解】设点，则或，且有，可得，
则，，
所以，
令，其中或，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
当时，函数单调递减，此时；
当时，函数单调递增，此时.
综上所述，函数在上的值域为.
因此，的最小值是.
故选：B.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆C: 上的动点，，求的最小值.
【答案】
【分析】首先得出的表达式，再对其分类讨论求最小值即可解决.
【详解】设，则
则
==，
当时，，在时取最小值，
当时，，在时取最小值，
当时，，在时取最小值
综上，
易错点七 设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在
注意：设直线的点斜式方程或斜截式方程要先判断斜率是否存在,若有可能不存在,要讨论
例15．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足．
(1)求的值；
(2)若，求直线AB的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可得，设直线AB：，与抛物线的方程联立，写出韦达定理，代入即可求出；
（2）将转化成向量运算进行处理，，利用向量的坐标运算表示出，抛物线的焦半径公式表示出，通过解方程即可求得直线AB的方程．
【详解】（1）显然直线的斜率不为0，设直线AB：，，，
联立，得，
显然，，，
则，
由可得，可得，得．
（2）由（1）可知拋物线方程为，，
此时AB；，，．
，
．
由，解得，
因此直线AB的方程为，即．
例16．（2023春·广西南宁·高三南宁三中校考期中）已知椭圆，四点中恰有三点在上.
(1)求的方程；
(2)若圆的切线与交于点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进而求出结果；
（2）先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.
【详解】（1）由两点关于轴对称，可得经过两点.
与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上，
则解得
故的方程为.
（2）证明：当切线的斜率不存在时，得.
当时，可得.
，则.
当时，同理可证.
当切线的斜率存在时，设.
因为与圆相切，所以圆心到的距离为，即.
联立得.
设，则.
由，得，则.
综上，若圆的切线与交于点，则.
易错点八 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置
注意：求与抛物线有关的最值问题，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错
例17．（2023秋·四川凉山·高二统考期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值.
【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，
如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.
故选：C
例18．（2023秋·天津·高三校联考期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________．
【答案】2
【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解.
【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知,
所以,要使最小，只需要最小即可，
由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为，
故答案为：2
一、单选题
1．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知双曲线的焦点分别是、，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为4B．的最大值为2
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】D
【分析】设出点的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】根据题意，的坐标为，设点的坐标为，则，
故，
又，故，
又，故当时，取得最小值，且其没有最大值，
故的最小值为，无最大值.
故选：D
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，若，则（ ）
A．12B．13C．15D．16
【答案】B
【分析】当直线l的斜率不存在时，易知不成立，故直线l的斜率存在，设直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，根据抛物线的定义以及韦达定理，可求出，即可求出结果.
【详解】抛物线的焦点为，设，.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，，，，，，与矛盾.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入，得，则，，
由抛物线的定义知，，，
于是，
所以，
.
故选:.
3．（重庆市2023届高三第二次联合诊断数学试题（康德卷））已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．无数条
【答案】A
【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，验证直线是否满足题意，在直线的斜率存在时，可知直线与双曲线的渐近线平行，由此可得出结论.
【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.
故选：A.
4．（2023春·湖北武汉·高二武钢三中校考阶段练习）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．
【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，
抛物线的焦点为，
设，则，，
由可得：，
整理可得：，
，
，
，
则：，
由可得：.
故选：B.
5．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得是与的等比中项，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的第二定义表示与长，在根据椭圆的定义建立不等式求解即可.
【详解】设椭圆上存在一点，由椭圆的第二定义，可得：，，
是与的等比中项，可得，
即，
即，，，，
解得，
所以椭圆的离心率的取值范围为：
故选：．
6．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）设抛物线的焦点为F，l为准线，P为C上一动点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】A
【分析】过点，作与直线垂直，垂足为，结合抛物线的定义可知.结合图象可知，当共线时，距离和取得最小值，根据点到直线的距离，即可得出答案.
【详解】由已知，可得，过点P作，垂足为.
由抛物线的定义，点到准线的距离等于点到焦点的距离.
过点，作与直线垂直，垂足为，
则，
当三点共线，且点位于线段上时，等号成立.
此时的最小值等于点到直线的距离.
故选：A.
7．（2023·全国·校联考二模）已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，结合点A在椭圆内的条件，列出不等式组求解作答.
【详解】依题意，，设C的左焦点为，则，
因为，且，则，即，
于是，解得，而，点为椭圆C内一点，
即有，，整理得，又，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
二、多选题
8．（2022秋·山东青岛·高二统考期末）已知双曲线，点，在上，的中点为，则（ ）
A．的渐近线方程为B．的右焦点为
C．与圆没有交点D．直线的方程为
【答案】CD
【分析】对于AB，利用双曲线的性质即可求解；对于C，联立双曲线与圆的方程即可；对于D，利用点差法出直线的方程，再检验即可求解.
【详解】对于AB，由双曲线可得，
所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确；
对于C，联立消可得，代入，解得无实数根，
所以与圆没有交点，故正确；
对于D，设，则，，
两式相减，得，
因为的中点为，所以等式可得，
易得直线的斜率存在，故可得，
则直线为即，
联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，
此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，
故直线l的方程为，故正确.
故选：CD
9．（湖北省孝感市2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，关于点的轨迹，下列命题正确的是（ ）
A．若是圆内的一个定点（非点）时，点的轨迹是椭圆
B．若是圆外的一个定点时，点的轨迹是双曲线的一支
C．若与点重合时，点的轨迹是圆
D．若是圆上的一个定点时，点的轨迹不存在
【答案】AC
【分析】根据椭圆定义可判断A；根据双曲线定义可判断B；根据圆的定义可判断C；垂直平分线的定义可判断D.
【详解】如下图，若是圆内的一个定点（非点）时， ，，的轨迹是以为焦点的椭圆，所以A项正确；
如下图，若是圆外的一个定点时，，，的轨轨迹是以为焦点的双曲线，所以项错误；
如下图，若与点重合时，的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以项正确；
如下图，若是圆上的一个定点时，点的轨迹为点构成的集合，所以项错误
.
故选：AC.
三、填空题
10．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知点M为抛物线上的动点，点N为圆上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为______..
【答案】
【分析】利用抛物线的定义可得点到y轴的距离即为点到焦点的距离减去，进而利用圆的性质即得.
【详解】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为，
圆的圆心坐标为，半径为，
故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和，
根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.
故答案为：.
11．（2022春·上海普陀·高二校考期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为__．
【答案】12
【分析】根据椭圆方程求出，方法一：分类讨论求，进而求的面积，分析运算；方法二：设出的坐标，将的面积用表示，利用的最大值可求出结果.
【详解】由椭圆，得，，．
方法一：
当轴时，为椭圆的短轴，；
当与轴不垂直时，设直线，
由，得，解得，得，
设，不妨取，
所以；
综上所述：的面积的最大值为12．
方法二：设点，则，
故的面积.
故答案为：12.
【点睛】关键点点睛：
方法一：联立方程求点的坐标，进而求的面积，注意分类讨论直线的斜率是否存在；
方法二：根据几何性质可得，再结合的范围分析运算.
四、解答题
12．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，且经过点，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当轴时，．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使成立，证明直线PQ过定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）由已知可推得，又点在椭圆上，可得，联立两方程，即可求出的值；
（2）设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得出，由韦达定理得出坐标关系，求出直线的斜率.根据已知，列出，代入的表达式，整理得出，解出或，代入直线方程，舍去不合适的值，即可得出定点坐标.
【详解】（1）当轴时,方程为，
由，可得与椭圆两交点为，
则.
由于，所以.
又因为椭圆经过点，
所以有.
联立，解得 ，
所以椭圆的方程为.
（2）
由（1）可得，椭圆的右焦点.
因为，所以直线与的斜率同号，
所以直线不垂直于轴，
故可设，设，，
联立直线与椭圆的方程可得，
.
由韦达定理可得，，
所以.
又，
所以有.
因为，，，
所以，
所以，
整理可得，，
所以，
整理可得，，
所以或.
当时，满足，此时直线方程为过点，舍去；
当时，由可得有解，此时直线方程为过定点.
所以直线经过定点.
【点睛】思路点睛：设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得出一元二次方程，由韦达定理得出坐标，求出直线的斜率.根据已知，代入的表达式，整理得出的关系，代入直线方程，即可得出定点坐标.
13．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆的上､下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足.
(1)证明：是定值，并求出该定值；
(2)求动点的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据两点斜率公式以及点在椭圆上，即可代入化简求解，
（1）根据垂直关系求解斜率关系，联立直线方程得交点坐标即可求解.
【详解】（1）由题意可知,
设点，显然
，为定值.
（2）设点,
由于，
的方程：①.
的方程：②
由①②联立可得：，
代入①可得，
即点
点满足：，
代入可得点的轨迹方程为：
14．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知曲线C上的每一个点到的距离减去它到y轴的距离的差都是2.
(1)求曲线C的方程；
(2)过F作直线交曲线C于A、B两点，点，求△ABD面积的最小值.
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）设点是曲线上任意一点，利用已知条件列方程，化简求得曲线的方程.
（2）设出直线的方程，通过联立方程组以及根与系数关系、弦长公式、二次函数的性质等知识求得正确答案.
【详解】（1）设点是曲线上任意一点，
则.
当时曲线的方程为，
当时，曲线方程为.
故曲线方程是
（2）由题意得，直线的方程为，要与曲线有两个交点，
则曲线方程为，
设.由，得.
，
所以.，
故当时，.
所以三角形ABC面积的最小值是16.
易错点一
忽视圆锥曲线定义中的限制条件
易错点二
求标准方程时忽视“定位”分析
易错点三
求离心率考虑不全面致误
易错点四
忽略判别式致误
易错点五
轨迹问题中的常见错误
易错点六
忽略椭圆中的取值范围致误
易错点七
设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在
易错点八
求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置