新高考数学三轮冲刺易错题讲练专题08 立体几何和空间向量（2份，原卷版+解析版）

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易错点一 混淆斜二测画法
注意：直观图还原原图时注意长度有变有不变:与轴平行(重合)的线段长度不变:与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半
例1．（2023春·河南开封·高三校考期中）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（ ）
A．12B．C．5D．10
例2．（2022春·山东青岛·高三校考期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A．B．C．D．
易错点二 空间点、线、面位置关系不清
注意：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，
例3．（2023春·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知a，b为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A．，
B．，
C．，且
D．，，
4．（上海市浦东新区2023届高三下学期期中数学试题）在空间中，下列命题为真命题的是（ ）．
A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；
C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；
D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
易错点三 在直线与平面平行中,忽视直线是否在平面内的多种情况
注意：直线与平面内的一条直线平行,也可能.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤
例6．（2023春·全国·高三专题练习）已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，，则
易错点四 错误认为无数等于所有
例7．（2023·河北保定·统考一模）设，是两个不同的平面，则“内有无数条直线与平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例8．（2023·全国·高三专题练习）直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（ ）
A．无数条B．0条C．1条D．以上均不对
易错点五 忽略异面直线所成角的范围
注意：异面直线所成角的范围
例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥M－EFG中，，EF=FG=2，平面平面EFG，则异面直线ME与FG所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2020秋·云南昭通·高二校考阶段练习）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点.
(1)求该圆锥的侧面积与体积；
(2)求异面直线AB与CD所成角的正切值.
易错点六 证明垂直问题推理不严谨
例11．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．
(1)证明：平面ABE；
(2)若，，，求三棱锥的体积．
例12．（2023春·上海虹口·高三统考期中）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
易错点七 利用空间向量求线面角的问题
注意：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围
例13．（2023春·上海杨浦·高二上海市控江中学校考阶段练习）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．
(1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．
例14．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，平面⊥侧面，且.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
易错点八 利用表面展开图求多面体表面上的最短距离考虑不全面
注意：多于多面体来说,其展开方式可能有多种
例15．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm.一只蚂蚁从A点到点沿着表面爬行的最短路程是多少？
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为（ ）
A．45°B．30°C．60°D．90°
2．（2022秋·云南昭通·高三校考期中）下列命题不正确的个数是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆心和圆上两个点确定一个平面；
③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；
④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（浙江省宁波市金兰教育合作组织2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知斜二侧画法下的直观图是边长为的正三角形（如图所示），则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·重庆·高三西南大学附中校考期中）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·浙江宁波·高三宁波市第二中学校联考期中）是从点P出发的三条射线，每两条射线夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2023届高二20
下学期4月教学质量检测（二模）数学试题）已知，为两个平面，，为两条直线，平面，平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，为异面直线，则与相交
C．若与相交，则，相交D．若，则
7．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知是两两异面的三条直线，，，直线d满足，，，，则c与d的位置关系可以是（ ）
A．相交B．异面C．平行D．垂直
8．（2023·全国·高三专题练习）已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条
B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条
C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条
D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条
三、填空题
9．（2023春·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）已知表示水平放置的的直观图，且的面积是，则的面积是__________.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为_______．
11．在直三棱柱ABC－中，AB＝BC＝，＝2，ABC＝，E、F分别为、的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________
四、解答题
12．（山东省德州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）如图，已知直角梯形，，，，，四边形为正方形，且平面⊥平面．
(1)求证：⊥平面；
(2)点M为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
13．（2022秋·山东日照·高三校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.
(1)求证平面
(2)求直线与平面所成的角的大小
14．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）如图，平面平面，，，分别为的中点，，．
(1)设平面平面，l与AC交于O，若直线，证明：为中点；
(2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．
15．（浙江省宁波市2023届高三下学期4月模拟（二模）数学试题）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，，，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为，求BC的长．
易错点一
混淆斜二测画法
易错点二
空间点、线、面位置关系不清
易错点三
在直线与平面平行中,忽视直线是否在平面内的多种情况
易错点四
错误认为无数等于所有
易错点五
忽略异面直线所成角的范围
易错点六
证明垂直问题推理不严谨
易错点七
利用空间向量求线面角的问题
易错点八
利用表面展开图求多面体表面上的最短距离考虑不全面