新高考数学三轮冲刺通关练习09 圆锥曲线大题（易错点+六大题型）（2份打包，原卷版+解析版）

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目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：解题规范
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】极点、极线
【题型二】 自极三角形与调和点列
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
【题型四】 定比点差法
【题型五】 定点、定值
【题型六】 求轨迹方程型
圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系，这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。
一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。
易错点：解题规范
圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。
例（2023 年全国乙卷）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，证明：线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为定点．
变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 分别与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．圆 SKIPIF 1 < 0 上恰有一个点到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 B．直线 SKIPIF 1 < 0 恒过点 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 D．四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【题型一】极点、极线
二次曲线的极点极线
（1）.二次曲线 SKIPIF 1 < 0 极点 SKIPIF 1 < 0 对应的极线为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （半代半不代）
（2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程 SKIPIF 1 < 0
①极点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆外， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0
则极线为切点弦 SKIPIF 1 < 0 ；
②极点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆的切线 SKIPIF 1 < 0 ，
则极线为切线 SKIPIF 1 < 0 ；
③极点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆内，过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆的弦 SKIPIF 1 < 0 ，
分别过 SKIPIF 1 < 0 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.

【例1】过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【例2】已知点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点．过点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 运动时，直线 SKIPIF 1 < 0 过定点，该定点的坐标是________．
【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．

【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与短轴的一个端点 SKIPIF 1 < 0 构成一个等腰直角三角形，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作互相垂直且与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合的两直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．

(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程；
(3)直线 SKIPIF 1 < 0 是否过 SKIPIF 1 < 0 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 分别为左、右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 不过点 SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上（除 SKIPIF 1 < 0 外）任意一点，求直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 的两条直线 SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)证明直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【题型二】 自极三角形与调和点列
一、调和点列的充要条件
如图，若 SKIPIF 1 < 0 四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多）
SKIPIF 1 < 0
二、调和点列与极点极线的联系
如图，过极点 SKIPIF 1 < 0 作任意直线，与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ，与极线交点 SKIPIF 1 < 0 则点 SKIPIF 1 < 0 成调和点列，若点 SKIPIF 1 < 0 的极线通过另一点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的极线也通过 SKIPIF 1 < 0 ．一般称 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互为共轭点．
三、自极三角形
如图, 设 是不在圆雉曲线上的一点, 过 点引两条割线依次交二次曲线于 四点, 连接对角线 交于 , 连接对边 交于 , 则直线 为点 对应的极线. 若为圆雉曲线上的点, 则过点的切线即为极线.
同理, 为点对应的极线, 为点所对应的极线. 因而将称为自极三点形. 设直线交圆锥曲线于点两点, 则, 恰为圆锥曲线的两条切线.
从直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 向椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点 SKIPIF 1 < 0 引两条割线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【例1】已知A、B分别为椭圆E： SKIPIF 1 < 0 （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， SKIPIF 1 < 0 ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 SKIPIF 1 < 0 ．证明：直线HN过定点．
【变式1】（2024江南十校联考）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，其中一条渐近线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求C的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取一点E满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点E在一条定直线上.
【变式2】设椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）当过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于两不同点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取点 SKIPIF 1 < 0 ，满足
SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 总在某定直线上．
【变式3】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点，其中 SKIPIF 1 < 0 也是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在第二象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 .

（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程;
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，在线段 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，满足: SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ).求证:点 SKIPIF 1 < 0 总在某定直线上.
【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如 称为二次齐次式， f中每一项都是关于x，y的二次项.与圆锥曲线相关的问题以大运算量著称，齐次化引入圆锥曲线有时会极大地缩减运算量.
1：“齐次化”方法使用场景
题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和 或斜率乘积 为定值时，优先考虑使用齐次化的技巧.
2： 用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为 再联立即可.
3: 方程为 的直线，可以表示不过原点 (原点坐标不适合方程)的所有直线 (讨论m.n与0的关系)
【例1】如图，椭圆 经过点. 且 离心率为
(1):求椭圆E的方程;
(2)：经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q (均异于点A),
【例2】已知椭圆 的离心率为 且过点A(2,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2) 点M,N在椭圆C上, 且. D为垂足.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，过原点且斜率存在的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足到直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离都等于 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积；
(2)当点P在C上运动时， SKIPIF 1 < 0 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 （不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合）与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)若过原点的两条直线分别交曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是否为定值？若为定值，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积；若不为定值，请说明理由．
【题型四】 定比点差法
直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差.
一般地,设椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点 SKIPIF 1 < 0 ,若定点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则得到 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 .
把 SKIPIF 1 < 0 代人,得 SKIPIF 1 < 0 ,化简得 SKIPIF 1 < 0 .
特别地,如果 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 ),则可以得到方程组 SKIPIF 1 < 0 继而能相对快捷地求出交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是一种降维处理.此外,当 SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点即转化为中点弦问题.
【例1】直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 .如果 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的两个三等分点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 ．
【例2】设 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上.
若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 ．
【例3】已知点 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆 SKIPIF 1 < 0 上两点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 横坐标的绝对值最大.
【变式1】已知 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐进线分别交于点 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 ．
【变式2】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1) 若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【变式3】如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 .过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点，且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .试判断直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的位置关系.
【题型五】 定点、定值
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标.
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的左焦点与点 SKIPIF 1 < 0 连线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．试问：直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【例2】（2023·河南焦作·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴为4，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)记 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 轴右侧的点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上方），求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【例3】（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是坐标原点， 过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)过圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别与曲线 SKIPIF 1 < 0 切于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两 点，求证： SKIPIF 1 < 0 ；

(3)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合）.记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， 当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是定值.

【变式1】（2024·上海崇明·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的上顶点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上不同于点 SKIPIF 1 < 0 的两点．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆下顶点， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点.若 SKIPIF 1 < 0 有一个内角为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 轴上的点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程．
(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率不为0的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．问：在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为 SKIPIF 1 < 0 的椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程．
(2)记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为定值．
(3)试问：是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值？若存在，求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，说明理由．
【题型六】 求轨迹方程型
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意列出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 SKIPIF 1 < 0 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是椭圆的顶点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为1，求弦 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
(3)若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为2，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，说明理由．
【例2】（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 ，称 SKIPIF 1 < 0 为点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 之间的“ SKIPIF 1 < 0 距离”，其中 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 中较大者．
(1)计算点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 之间的“ SKIPIF 1 < 0 距离”；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是平面中一定点， SKIPIF 1 < 0 ．我们把平面上到点 SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 距离”为 SKIPIF 1 < 0 的所有点构成的集合叫做以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的“ SKIPIF 1 < 0 圆”．求以原点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的“ SKIPIF 1 < 0 圆”的面积；
(3)证明：对任意点 SKIPIF 1 < 0 ．
【例3】（2024·河南开封·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对于平面内一动点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴于点M，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程．
【变式1】（2024·广东韶关·二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，长轴长为4， SKIPIF 1 < 0 是其左、右顶点， SKIPIF 1 < 0 是其右焦点．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 的角平分线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；
②若 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等差中项．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 按向量 SKIPIF 1 < 0 平移后得到曲线 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点M，N的连线交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点）为锐角，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果 SKIPIF 1 < 0 时，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 处的切线的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 在一条定直线上．
【变式3】（2024·山西吕梁·二模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 作垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线与线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 同向，直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .
（i）证明：点 SKIPIF 1 < 0 在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 时，试把 SKIPIF 1 < 0 表示成 SKIPIF 1 < 0 的函数.概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
极点、极线