新高考数学二轮复习导数压轴解答题精选精练第28讲 零点差问题（2份，解析版）

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（1）如果在处取得最小值，求的解析式；
（2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和的值（注：区间，的长度为
【解答】解：（1）．
，
由题意，知，解得，
所以．
（2），因为的单调递减区间的长度是正整数，
所以存在两个不相等的实数根，，不妨设，△，，
又因为，所以，或，．
2．已知关于的函数，与，在区间上恒有．
（1）若，，，求的表达式；
（2）若，，，，求的取值范围；
（3）若，，，，，，求证：．
【解答】解：（1）由得，
又，，所以，
所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，
经检验：，符合任意，
（2），
设，设，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（1），
所以当时，，
令
所以，得，
当时，即时，在上单调递增，
所以，，
所以，
当时，即时，
△，即，
解得，
综上，，．
（3）①当时，由，得
，
整理得，
令△，
则△，
记，
则，恒成立，
所以在，上是减函数，则（1），即，
所以不等式有解，设解为，
因此．
②当时，
，
设，
则，
令，得，
当时，，是减函数，
当，时，，是增函数，
，（1），
则当时，，
则，因此，
因为，，，所以，
③当时，因为，为偶函数，因此也成立，
综上所述，．
3．已知函数．
（1）如，求的单调区间；
（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
故
当或时，；
当或时，．
从而在，单调增加，在，单调减少；
（Ⅱ）．
由条件得：（2），即，故，
从而．
因为，
所以．
将右边展开，与左边比较系数得，，．
故．，
又，即．由此可得．
于是．
4．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．
【解答】（1）解：当时，，
，，
令，可得，令，可得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：函数的定义域为，，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以，是函数的两个零点，
，
，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以，，
由，可得，
因为，所以，
所以要证，即证，只需证（2），
因为，
所以（2），
所以，得证．
5．已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，横坐标分别为，，且．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若，函数的图象在点，处的切线互相垂直，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ），
时，，时，，时，，
的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
时，有极小值，无极大值；
（Ⅱ）当时，．
由已知，，
故
，
，，
，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为．
6．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：函数存在单调递减区间，，并求出单调递减区间的长度的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）点在函数上，由；
得：；
故切线方程为：；
（Ⅱ）由；
得：，
令，
△，，
在上一定存在两个不同的实数根，
函数在上必有两个不等实数根，，
即的解集为，
由根与系数的关系知：，，
，
由可得：，，
函数存在单调减区间，，函数的递减区间长度的取值范围是，．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
当时，，
所以在上单调递增．
当时，令，
所以在上，，，单调递增，
在，上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，则，
令，则，
在上单减，
，
又，
，
又，
，即；
要证，由（1）可知，只需证，即证，
又，
只需证，即证，
令，则，，，
所以上述不等式等价于，即，亦即，
令，则，
在上单调递减，即（1），即得证．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解答】解：（1）由题意可知，的定义域为，
因为，所以，
当时，，则在上单调递增；
当时，当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：原不等式等价于，
因为①，②，
由②①，可得，故，
则等价于，
因为，所以，
即证明③，
等价于证明，
令，设，即证明，
因为，
则在上单调递增，且（1），
因此；
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为有两个不相等的实数根，且（e），
则且，
因为对于，，恒成立，
则对于恒成立，
所以，
因为，所以，
又因为，△，
所以或，
因为且，所以，
因为，所以，
所以．
9．设函数，其中且．
（1）证明恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明：．
【解答】证明：（1）由已知条件得，
令，由，可知在内单调递减，
又（1），且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为．
则，当时，，所以在内单调递增；
当，时，，所以在，内单调递减．
所以是的唯一极值点．
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，（1），所以，
从而．
又因为（1），所以在，内有唯一零点，
又因为在内有唯一零点1，从而在内有两个零点．
（2）由题意，，即，从而，
即，因为时，，又，故．
两边取对数，得，
于是，，整理得．
10．已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：．
【解答】解：（1），令，则，
则，为方程的两个不同实根，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在上递增，在上递减，
故的极大值为，
如图示：
结合图象知，且，
故；
（2）要证，只须证，即，
即证，由（1）知，故，
令，
只需证在上成立，
因为，
所以在上递增，，得证．
（3）令，
则，，，
所以在递增，则，
所以在递增，故，
所以在递增，所以，
所以不等式在上成立，
所以
且在上递增，上递减，
令，为方程的两个实根，
即的两个实根，其中，
如图示：
由于，即，
所以
，
原命题得证．
11．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若曲线在点，处的切线方程为，求的最小值．
（2）当常数时，若函数在，上有两个零点，，证明：．
【解答】解：（1），曲线在点处的切线方程为，即，
，
，
设，则，
易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，即的最小值为；
（2）证明：由得，，
又，，
当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
，
又（1），，
，
又，（1），
存在，使得，
由知，当时，，
存在，，使得，
，
，即；
当时，，，
令，，则，
设，，则，
在上单调递增，
（2），
在上恒成立，
在上单调递增，
（2），
当时，，
又，在，上单调递增，
；
综上，．
12．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当常数时，函数在，上有两个零点，，证明：．
【解答】（1）解：当时，，．
由，解得或．
当或时，，
的单调递增区间为，．
当时，，的单调递减区间为．
（2）证明：由，解得或．
当时，，在上单调递增；
当时，，在，上单调递减．
的最小值为．
函数在，上有两个零点，，．
由，（1），可知．
，当时，，在上单调递增．
．．
，．
13．已知函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：函数有两个零点，，且．
【解答】解：（Ⅰ）（1分）
①当时
当时，，故单调递增
当时，，故单调递减
在，上单调递减，在，上单调递增（3分）
当时，，故在上单调递增（4分）
当时
当时，，故单调递增，
当时，，故单调递减，
在上单调递减，在，上单调递增，
综上所述，当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，故在上单调递增
当时，在上单调递减，在，上单调递增（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上单调递减，在，上单调递增
至多有两个零点
（1），又，
由零点定理知，在上有一个零点（7分）
又在上单调递减，在，上单调递增，
当时，取最小值，
，（8分）
设（a），
则（a），故（a）在上单调递增，
当时，（a）（e），
，
由零点定理知，在上有一个零点，
有且仅有两个零点，，且（11分）
，即
．（12分）
14．已知函数，．
（1）求证：函数的图象恒在函数图象的上方．
（2）当时，令的两个零点，．求证：．
【解答】证明：（1）构造函数 ．
则 ，
令，得．所以时，时，
所以在为减函数，在为增函数，所以（1），
即．
故函数的图象恒在函数图象的上方．
（2）由 有两个零点，
当时．
则在为增函数，且（1），
则当时，为减函数，当时，为增函数，
所以（1）．
又，
（e）．
所以在和上各有一个零点，，故．
15．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点，求证：．
【解答】解：（1）的定义域为，且，
①当时，，的单调递减区间为；
②当时，由得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）证明：有两个零点，由（1）知且，，
要证原不等式成立，只需证明，只需证明，
只需证明．
一方面，，
，，
且在单调递增，故；
另一方面，令，，
则，当时，；当时，；
故，故即时恒成立，
令，
则，于是，
而，
故，且在单调递减，故；
综合上述，，即原不等式成立．
16．已知函数，为的导函数，且．证明：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），，，．
，令，则．
当时，；当时，．
（1）．
在中，，．
（2）由（1）可得：在，上单调递减．
．
．
由（1）得，当且仅当时取等号．
．即，当且仅当时取等号．
又时，．因此．
时，，又．
，
由在上单调递减，且，，．
即．
17．已知函数为自然对数的底数，．
（Ⅰ）若关于的方程有三个不同的解，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若实数，满足，其中，分别记：关于的方程在上两个不同的解为，；关于的方程在上两个不同的解为，，求证：．
【解答】（Ⅰ）解：，．
当，，时，，当时，．
的增区间为，，减区间为．
在处取极大值为，在处取极小值．
又时，，时，．
当时，关于的方程有三个不同的解；
（Ⅱ）证明：记，
下面证明：．
令，
则．
当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增．
又，，即．
不妨设，，
则有．
又，，在上单调递增．
，同理．
又，，在上单调递减，
．
，则，命题成立．
18．设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
【解答】解：（Ⅰ），
①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
此时在单调递减，在单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）注意到时，，当时，，
由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，
对任意均成立，
令，则，即，即，即，
对任意均成立，
记，则，
令（b），得，
①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，
此时（b），不合题意；
②当，即时，易知（b）在，单调递减，
此时，
故只需，即，则，即；
综上，实数的取值范围为，；
（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，
易知，
有两个零点，不妨设为，，且，
由，可得，
要证，只需证，只需证，
而，则，
要证，只需证，只需证，
而，
，即得证．