新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题20 极值点偏移问题（2份打包，原卷版+解析版）

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若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.
2.函数极值点偏移问题的题型及解法
极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：
若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，
求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，
求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝eq \f(x1＋x2,2)，求证：f′(x0)>0；
(4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝eq \f(x1＋x2,2)，
求证：f′(x0)>0.
3.极值点偏移问题的一般解法
3.1对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 SKIPIF 1 < 0 )，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)构造函数，即对结论 SKIPIF 1 < 0 型，构造函数 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)对结论 SKIPIF 1 < 0 型，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，通过研究 SKIPIF 1 < 0 的单调性获得不等式．
(4)判断单调性，即利用导数讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性．
(5)比较大小，即判断函数 SKIPIF 1 < 0 在某段区间上的正负，并得出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系．
(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，进而得到所证或所求．
3.2．差值代换法（韦达定理代换令 SKIPIF 1 < 0 .）
差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用 SKIPIF 1 < 0 表示)表示两个极值点，即 SKIPIF 1 < 0 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数问题求解．
3.3．比值代换法
比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用 SKIPIF 1 < 0 表示)表示两个极值点，即 SKIPIF 1 < 0 ，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的函数问题求解．
3.4．对数均值不等式法
两个正数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的对数平均定义： SKIPIF 1 < 0
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： SKIPIF 1 < 0 （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．
3.5指数不等式法
在对数均值不等式中，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据对数均值不等式有如下关系： SKIPIF 1 < 0
专项突破练
1．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得x＝1，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，故函数 SKIPIF 1 < 0 的减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得证．
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 是增函数，即 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
(2)不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，故应有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
要证明 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 成立.
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的极大值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是两个不相等的正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是两个不相等的正数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上连续，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明: SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减； SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 由（1）可知，此时 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，因此不妨令 SKIPIF 1 < 0 要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证： SKIPIF 1 < 0 ①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立；②当 SKIPIF 1 < 0 时先证 SKIPIF 1 < 0 此时 SKIPIF 1 < 0 要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 即： SKIPIF 1 < 0 ①令 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴①式得证.∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）．
(1) SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程．
(2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(3)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 的定义域为(0，+∞)， SKIPIF 1 < 0 .
当a<0时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在(0，+∞)上单调递减；
当a>0时， SKIPIF 1 < 0 .在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递减；在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
(3)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由(2)知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 .
欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.综上x1+x2>2e.
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)求证：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实数根 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根，所以 SKIPIF 1 < 0 .不妨设 SKIPIF 1 < 0 .
由（1）知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .①
同理由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .②
由①②，得 SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .
法二：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根，所以 SKIPIF 1 < 0 .不妨设 SKIPIF 1 < 0 .
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只要证 SKIPIF 1 < 0 ，只要证： SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，只要证： SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，只要证 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故原结论得证.
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，求a的取值范围，并证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在定义域内不单调；
由 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，不符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，在 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．不妨设 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
8．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数），方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
由方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，
欲证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 得证．
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有三个零点 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
(2) SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 为函数的一个零点，设为 SKIPIF 1 < 0 ；
设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
由已知， SKIPIF 1 < 0 必有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，下证： SKIPIF 1 < 0 ．
设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，该函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)因为函数 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，即方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等的实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，命题得证．
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2)由（1）不妨设 SKIPIF 1 < 0
由题知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
两式相减整理可得： SKIPIF 1 < 0
所以要证明 SKIPIF 1 < 0 成立，只需证明 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以只需证明 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则只需证明 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
记 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
易知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以，原不等式 SKIPIF 1 < 0 成立.
12．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性.
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
综上所述，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的两个零点，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 得证.
13．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实数根 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，满足条件；综上， SKIPIF 1 < 0 取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴只需证 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴只需证 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
14．设函数 SKIPIF 1 < 0 ，已知直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条切线.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值，并讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
【解析】(1)设直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
(2)由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则只需证 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立；
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，原不等式得证.
15．已知函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极小值，也是最小值，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以先保证必要条件 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时，易知， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0
由以上可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点.
(2)由题意，假设 SKIPIF 1 < 0 ，要证明 SKIPIF 1 < 0 ，只需证明 SKIPIF 1 < 0 .只需证 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 .
即只需证 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0
所以原命题成立.
16．已知 SKIPIF 1 < 0 是实数，函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个相异的零点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
(2)由（1）可知，要想 SKIPIF 1 < 0 有两个相异的零点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，等价于 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以等价于证明 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是等价于证明 SKIPIF 1 < 0 成立，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，结论得证.
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不相等的零点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
综上：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
(2)∵ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不相等的零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不相等的实根，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
只要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0
即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
18．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
(2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
(2)依题意， SKIPIF 1 < 0 ，相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
欲证 SKIPIF 1 < 0 成立，只需证 SKIPIF 1 < 0 成立，即证 SKIPIF 1 < 0 成立，
即证 SKIPIF 1 < 0 成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内递减，在 SKIPIF 1 < 0 内递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 成立，故原不等式成立.
19．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 取等的条件不同，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)由题知 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ③，
② SKIPIF 1 < 0 ①得 SKIPIF 1 < 0 ④.
③ SKIPIF 1 < 0 ④得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
20．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两个不相等的正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，且极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极小值.
（2）证明：易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
21．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是减函数， SKIPIF 1 < 0 是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.
（2）由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，即
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则即证 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的单调性知， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
下证： SKIPIF 1 < 0 .
（i）当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为减函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 单调递减，从而， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
显然， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以及 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 .
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的极值：
(2)令函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则上述函数变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以若存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则存在对应的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
使得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的唯一极小值点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的单调性可知 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
23．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：由（1）可知，由 SKIPIF 1 < 0 的极值点为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象，如图所示；
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，
由图象知： SKIPIF 1 < 0 ， 又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为n， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 .
24．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 有两个零点， SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 无零点，不合乎题意，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，列表如下：
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，如下图所示：
且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 也有两个实根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故原不等式成立.
25．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)证明：构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)证明：先证明对数平均不等式 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
本题中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，不合乎题意，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由对数平均不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
26．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间和极值；
(2)若存在 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间和极值；
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值；
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间和极值；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；极小值为 SKIPIF 1 < 0 ，无极大值.
(2)不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
极值点x0
函数值的大小关系
图示
极值点不偏移
x0＝eq \f(x1＋x2,2)
f(x1)＝f(2x0－x2)
极值点偏移
左移
x0峰口向上：f(x1)< f(2x0－x2)
峰口向下：f(x1)> f(2x0－x2)
右移
x0>eq \f(x1＋x2,2)
峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2)
峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
增
极大值 SKIPIF 1 < 0
减