新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第18讲 证明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）（2份，原卷版+解析版）

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例1．设且，函数．
（1）若在区间有唯一极值点，证明：，；
（2）若在区间没有零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）证明：，
若，则在区间至少有，两个变号零点，故，
令，得，，其中，，仅当时，，
且在的左右两侧，导函数的值由正变负，
故时，在区间有唯一极值点，
此时，将代入得：
，
①当，即时，，
由不等式：时，知：
，
②当，即当时，，
，
由不等式知：，
由①②知，．
（2）①当时，，，
故，
由零点存在性定理知：在区间，上至少有1个零点，
②当时，，，，
，，，
由零点存在性定理知，在区间至少有1个零点，
③当时，，
令，则，
在区间上，，，递增，
在区间上，，即递减，即递减，，
故在上递增，在，上递减，
又，，即在上，，
故在区间上没有零点，满足题意，
综上，若在区间上没有零点，
则正数的取值范围是，．
例2．已知函数．
（1）若函数存在极小值点，求的取值范围；
（2）证明：．
【解析】解：（1）函数的定义域为，
，
①当时，得，
当时，，
当，时，，
是函数的极小值点，满足题意
②当时，令，，
令，解得，当时，当时，
，若，即时，恒成立，
在上单调递增，无极值点，不满足题意．
若，即时，
，
又在上单调递增，在上恰有一个零点，当时，，
当，时，，
是的极小值点，满足题意，
综上，．
（2）当时，，
若成立，则必成立，
①若，，则，，
成立，
成立
②若，令，
，
令’ ，，
，，
在上单调递增
（1），即，
在上单调递增，
（1），
时，成立，
时，成立．
例3．若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得（1），
所以（1）（1），即．
又（1），
所以．
（Ⅱ），
，
①时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）解：设，，
，
在，上为减函数，又（e），
当时，；当时，．
，，
在，上为增函数，又（1），
，时，，
在，上为增函数，
（1）．
①当时，，
设，
则，
在，上为减函数，
（1），
当，
，
，
比更接近．
②当时，，
设，则，，
在时为减函数，
（e），
在时为减函数，
（e），
，
比更接近．
综上：在且时时，比更接近．
例4．定义在上的函数满足，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ） 如果、、满足，那么称比更靠近．当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）（1），所以（1）（1），即．
又，所以（1），所以．
（Ⅱ），
，
．
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）解：设，
，
在，上为减函数，又（e），
当时，，当时，．
，，
在，上为增函数，又（1），，时，，
在，上为增函数，（1）．
①当时，，
设，则，
在，上为减函数，
（1），
，，，
比更靠近．
②当时，，
设，则，，
在时为减函数，
，
在时为减函数，
（e），
，
比更靠近．
综上：在，时，比更靠近．
例5．若定义在上的函数满足，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）试比较和的大小，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得（1），
所以（1）（1），即．
又，所以．
（Ⅱ），
．
，
①时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）大小关系：；
理由如下：
设，则，在，上为减函数，
又（e），
当时，；当时，．
令，分两种情况讨论：
①当时，，
则，
在，上为减函数，
（1），
；
②当时，，
设，则，，
在时为减函数，
，
在时为减函数，
（e），
．
【同步练习】
1．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
【解析】解：（1）当时，，
则，
，
故
则在上单调递减．
（2）当时，，
要证明对任意的，，．
则只需要证明对任意的，，．
设（a），
看作以为变量的一次函数，
要使，
则，即，
恒成立，①恒成立，
对于②，令，
则，
设时，，即．
，，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
则当时，函数取得最大值
，
故④式成立，
综上对任意的，，．
2．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
【解析】解：（1），，△，
①时，恒成立，
故函数在递增，无递减区间，
②时，或，
故函数在，，递增，在，递减，
综上，时，函数在递增，无递减区间，
时，函数在，，递增，在，递减，
（2），对，恒成立，
即，时，恒成立，
令，，则，
令，
则，在递减且（1），
时，，，递增，
当，，，递减，
（1），
综上，的范围是，．
（3）证明：当时，，
，不妨设，
下先证：存在，，使得，
构造函数，
显然，且，
则由导数的几何意义可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又为增函数，
，即，
设，则，，
①，
②，
由①②得，，
即．
3．已知函数，．
（1）证明：当时，；
（2）若，求．
【解析】解：（1）证明：，
，
，
考虑到，，
所以①当，时，，此时，
②当，时，，所以单调递增，
所以，
所以函数单调递减，，
③当，时，，所以单调递增，
所以，
所以函数单调递增，，
当，时，，
综上所述，当时，．
（2）构造函数，
考虑到，，
，
，
由（1）可知：在时恒成立，
所以在，上单调递增，
①若，则在，为负，为正，
在，单调递减，递增，
所以，
而当时，，
故满足题意．
②若，，
因为，
所以，
由零点存在定理，必存在，，使得，
此时满足时，，单调递减，
所以，矛盾，舍去；
③若，，
因为当时，，
所以当时，，
此时必存在，使得，
此时满足，时，，单调递增，
所以，矛盾，舍去，
而当时，当，
所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．
综上所述，．
4．青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．
已知函数，，若，则曲线在点，（1）处的曲率为．
（1）求；
（2）若函数存在零点，求的取值范围；
（3）已知，，，证明：．
【解析】（1）解：，若，则，
，，
因为曲线在点，（1）处的曲率为，
所以，
又，所以．
（2）解：由（1）可得，
若函数存在零点，则方程在上有解，
即在上有解，
，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），当且仅当时取等号，
从而，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时等号成立，
当时，，
所以，解得，
即实数的取值范围是，．
（3）证明：由（2）得，
则，则，
又，则，
所以．
5．已知函数，，其中，．
（Ⅰ）证明：是函数的唯一零点；
（Ⅱ）当且时，试比较和的大小，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）在恒成立，
在上是减函数，又（e），
当时，；当时，，
是的唯一零点．（4分）
（Ⅱ）当时，（6分）
设，则，
在，上为减函数，
（1），，，
（8分）
当时，（9分）
设，则，，
在上为减函数，，
在上为减函数，（e），
综上，当，时，（12分）
6．已知函数满足，，．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）当且时，求证：．
【解析】解：（1）根据题意，得（1），
所以（1）（1），即．
又（1），
所以．
（2），
，
①时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）设，，
，由得在，递减，
故当时，（e），
当时，，
而，，
故在，递增，（1），
则在，递增，（1），
①时，，
则，在，递减，
（1），
，
②时，，
，，
故（e），递减，（e），
，
综上，．
7．若定义在上的函数满足，
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）当且时，试比较和的大小，并说明理由．
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）（1），
所以（1）（1），即（1分）
又，所以（1），（2分）
所以（3分）
（Ⅱ），（4分）
（5分）
，，函数在上单调递增；．（6分）
令，得
函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为，．．（7分）
（Ⅲ）解：设，
，在，上为减函数，
又（e），当时，，
当时，（8分）
当时，
设，则，
在，上为减函数，（1），
，，（9分）
时，
设，则，
在时为减函数，，
在时为减函数，（e），
（11分）
综上：（12分）
8．已知函数，给出如下定义：若，，，，均为定义在同一个数集下的函数，且，，其中，3，4，，则称，，，，为一个嵌套函数列，记为，若存在非零实数，使得嵌套函数列满足，则称为类等比函数列．
（Ⅰ）已知是定义在上的嵌套函数列，若．
①求（2），（2），（2）．
②证是类等比函数列．
（Ⅱ）已知是定义在上嵌套函数列．
若，求证．
【解析】解：（Ⅰ）若．
①则（2），（2），（2）．
②证明：，
，
．
猜想：满足，
即是类等比函数列．下面用数学归纳法证明：
当时，显然满足条件；
假设时，满足条件；
则，
即，
则
，
即，
即时，满足条件，
故是类等比函数列．
利用数学归纳法证明：
，当且仅当时取等号．
依此类推可得：．
（1）当时，，．
．
（2）假设时，．
则．
当时也成立，
因此．