新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第17讲 证明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，．
（1）若恰为的极小值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求在区间上的零点个数；
（2）若，，
又由泰勒级数知：，．证明：．
【解析】解：（1）证明：（ⅰ）由题意得：，
因为为函数的极值点，所以，
令，则，在上单调递增，
因为，
所以在上有唯一的零点，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知：，，，
①当时，由，，，得：，
所以在上单调递减，，
所以在区间上不存在零点；
②当时，设，则，
若，令，则，
所以在上单调递减，因为；
所以存在，满足，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
若，令，则，
所以在区间上单调递减，所以，
又因为，
所以，在上单调递减；
若，则，在上单调递减；
由得，在上单调递增，在单调递减，
因为，，
所以存在使得，
所以当时，，在上单调递增，，
当时，，在上单调递减，
因为，，所以在区间上有且只有一个零点；
综上，在区间上的零点个数为2个；
（2）因为①
对，
两边求导得：，
，
所以②
比较①②式中的系数，得：
所以．
例2．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
【解析】解：（1），，△，
①时，恒成立，
故函数在递增，无递减区间，
②时，或，
故函数在，，递增，在，递减，
综上，时，函数在递增，无递减区间，
时，函数在，，递增，在，递减，
（2），对，恒成立，
即，时，恒成立，
令，，则，
令，
则，在递减且（1），
时，，，递增，
当，，，递减，
（1），
综上，的范围是，．
（3）证明：当时，，
，不妨设，
下先证：存在，，使得，
构造函数，
显然，且，
则由导数的几何意义可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又为增函数，
，即，
设，则，，
①，
②，
由①②得，，
即．
例3．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，，．
（1）证明：当时，；
（2）设，若区间，满足当定义域为，时，值域也为，，则称为的“和谐区间”，
（ⅰ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ⅱ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：由已知当时，，
得，
所以当时，．
（2）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在，单调递增，
于是，即，是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，
令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在和谐区间．
时，假设存在，则由知，
若，，则由，，，知，与值域是，，矛盾，
故不存在和谐区间，
同理，，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，
此时的定义域为，，值域为，，符合题意．
若，当时，同理可得，，舍去，
当时，在，上单调递减，
所以，于是，
若即，则，故，，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的和谐区间，．
例4．给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数
一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作，．
②若，定义．
③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，
我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的3阶泰勒展开式，并直接写出在点处的3阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的3阶泰勒展开式，证明：时，．
【解析】（1）解：因为，则，，，
所以，，，
故，即，
同理可得，；
（2）解：由（1）可知，，，
令，则，
则，，
所以在上单调递增，又，
故当时，，故单调递减，
当时，，故单调递增，
所以的最小值为，所以，
故在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
（3）证明：令，则，
所以．则在上单调递增，又，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
因为在点处的3阶泰勒展开式为：，
所以，
又在处的3阶泰勒展开式为：，
当时，，
所以当时，，
故．
例5．利用拉格朗日（法国数学家，插值公式，可以把二次函数表示成的形式．
（1）若，，，，，把的二次项系数表示成关于的函数，并求的值域（此处视为给定的常数，答案用表示）；
（2）若，，，，求证：．
【解析】（1）解：由题意，
又，所以，
当时，，则的值域是；
当时，，所以的值域是，，．
（2）证明：因为，，，，
所以，
，
因为，，，，
所以，，
所以，
所以，
，
因为，，，，
所以，，
所以，
所以，
综上，原不等式成立．
例6．用拉格朗日中值定理证明不等式：．
【解析】证明：设，，
则符合拉格朗日中值定理的条件，即存在，
使，
因为，由，，
可知，，，
即，
可得，
即有，
令，可得，
即有．
例7．已知函数、，的图象在，（2）处的切线与轴平行．
（1）求，的关系式并求的单调减区间；
（2）证明：对任意实数，关于的方程：在，恒有实数解；
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间，上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．
【解析】解：（1）因为，（1分）
由已知有（2），所以即（2分）
即，由知．
当时得或，的减区间为；（3分）
当时得：，的减区间为和；（4分）
综上所述：当时，的减区间为；
当时，的减区间为和；（5分）
（2），（6分）
，
可化为，令（7分）
则，，
即又因为，所以，，即，（8分）
故在区间，内必有解，
即关于的方程在，恒有实数解（9分）
（3）令，，（10分）
则符合拉格朗日中值定理的条件，即存在，
使（11分）
因为，由，可知，（12分）
即，
（14分）
例8．已知，，
（1）若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；
（2）如图所示，若函数的图象在，连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．
【解析】解：（1），（1分）
依题意，有，即．（2分）
，．
令，得或，（5分）
从而的单调增区间为：及；（6分）
（2）；，（7分）
（9分）．（12分）
由（2）知，对于函数图象上任意两点、，在、之间一定存在一点，（c），使得（c），又，故有（c），证毕．（14分）
【同步练习】
一、单选题
1．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，（其中，，，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为,
则,
当时，则有,
又 ,
则
,
故选∶C．
2．公元1715年英国数学家布鲁克·泰在他的著作中陈述了“泰勒公式”，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数.泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：，其中，，试用上述公式估计的近似值为（精确到0.001）（ ）
A．1.647B．C．D．1.646
【答案】B
【解析】由题意可知，结果只需精确到0.001即可，
令，取前6项可得：
所以的近似值为，
故选：B.
3．计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确．运用上述思想，可得到的近似值为（ ）
A．0.50B．0.52C．0.54D．0.56
【答案】C
【解析】由题意可得，，
故.
故选：．
二、填空题
4．英国数学家泰勒(1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们得到(其中e为自然对数的底数，)，其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项不超过时，正整数n的最小值是_____
【答案】6
【解析】依题意得，即，，，所以的最小值是6．
故答案为：6
三、解答题
5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
6．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.
(1)分别求，，在处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：.（其中为虚数单位）；
(3)若，恒成立，求a的范围.（参考数据）
【解析】（1）因为函数在处的泰勒展开式为（其中表示的n次导数），
所以，，在处的泰勒展开式分别为：
，
，
；
（2）证明：把在处的泰勒展开式中的替换为，可得
，
所以，即；
（3）由在处的泰勒展开式，先证，
令，
，易知，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，易得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以 恒成立，
当时， ，所以成立，
当时，令，，易求得，
所以必存在一个区间，使得在上单调递减，
所以时，，不符合题意.
综上所述，.
7．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知当时，，
得，
所以当时，.
（2）（i）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在单调递增，
于是，即是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.
（ii）时，假设存在，则由知
若，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在“和谐区间”，
同理，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.
若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，所以
，于是，
若即，则，故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”.
8．计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如
，
，
其中.
英国数学家泰勒（B．Taylr，1685―1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的和的值也就越精确.例如，我们用前三项计算，就得到.
像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的.
试用你的计算器计算，并与上述结果进行比较.
【解析】用计算器计算得，
和数值比较发现，
通过计算的答案只能精确到小数点后第3位.
9．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
【解析】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，.
（3）令，则，
，在上单调递增，又，
在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，
①由（2）知：当时，，
当时，；
②由（2）知：当时，，
，
令，则，
在上单调递减，，即当时，，
，；
综上所述：.
10．已知函数，.
（1）若恰为的极小值点.
①证明：；
②求在区间上的零点个数；
（2）若，，又由泰勒级数知：，证明：
【解析】（1）①由题意得：，
因为为函数的极值点，所以，，
令，则，在上单调递增.
因为，，
所以在上有唯一的零点，所以；
②由①知：，，，
（i）当时，由，，，，得，
所以在上单调递减，，
所以在区间上不存在零点；
（ii）当时，设，则.
（a）若，令，则，
所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，满足，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
（b）若，令，，
则，所以在区间上单调递减，
所以，
又因为，
所以，在上单调递减；
（c）若，则，在上单调递减.
由（a）（b）（c）得，在上单调递增，在单调递减，
因为，，
所以存在使得，
所以，当时，，在上单调递增，，
当时，，在上单调递减，
因为，，
所以在区间上有且只有一个零点.
综上，在区间上的零点个数为个；
（2）因为，（*）
对，
两边求导得：，
，
所以，（**）
比较（*）（**）式中的系数，得
所以.
11．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中.这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.比如，用前三项计算，就得到.试用你的计算工具计算，并与上述结果比较.
【解析】依题意，用前5项计算，即
．
与用前三项计算的结果比较可以发现，用前5项计算的结果精确度更高，同时可知，当取的项数足够多时，可以达到更高的精确度，甚至达到任意精确度的要求．
四、双空题
12．记为函数的阶导数且，若存在，则称阶可导．英国数学家泰勒发现：若在附近阶可导，则可构造（称为次泰勒多项式）来逼近在附近的函数值．据此计算在处的3次泰勒多项式为=_________；在处的10次泰勒多项式中的系数为_________
【答案】 330
【解析】∵，∴，，
∴，∴；
∵，∴，，，…，，，
∴，，，…，，，
∴．
故的系数为．
故答案为：；330.