新高考数学二轮复习《导数》压轴题突破练第15讲 证明不等式之虚设零点（2份，原卷版+解析版）

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例1．已知函数，．
（1）当时，求函数的单减区间；
（2）若存在极小值，求实数的取值范围；
（3）设是的极小值点，且，证明：．
【解析】解：（1）时，，的定义域是，
，
令，，
在递增，而（1），即，
故时，，时，，
故在递减；
（2）函数，．
，．
令，
则，
在上是增函数．
又当时，，当时，．
当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；
当时，的值域为，必存在，使．
当时，，，单调递减；
当，时，，，单调递增；
存在极小值点．
综上可知实数的取值范围是．
证明：（3）由（1）知，即．
，
．
由，得．
令，由题意在区间上单调递减．
又（1），由，得，
令，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，函数取最小值（1），
，即，即，
，，
，
．
例2．已知函数，．
（1）讨论函数的零点个数；
（2）设，证明：当时，．
【解析】解：（1）当时，，
当时，，即，
设，
，
当且时，，即在，上单调递减，
当时，，即在上单调递递增，
当时，（1），
当时，，当时，，
分别画出与的图象，如图所示，
结合图象可得，当时，与的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，
当时，与的图象没有只有交点，即函数没有零点，
当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点．
（2）证明：当时，，此时取任何数都成立，
当时，要证当时，，只要证，即证，
，
只要证，，
只要证，即证
设，，
，
令，，
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
，
，（1），（2），
存在，使得，
当时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
，
成立，
即当时，，
综上所述：时，当时，．
例3．已知函数，函数的图象在点，（1）处的切线方程为．
（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；
（Ⅱ）若，且在，上的最小值为，证明：当时，．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，．
显然当时，恒成立，无零点．
当时，取，
则，即单调递增，
又（a），，
所以导函数存在唯一零点．
故当时，存在唯一零点，当时，无零点．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，单调递增，所以，所以．
因为，函数的图象在点，（1）处的切线方程为，
所以，所以．
又，所以，所以．
根据题意，要证，即证，只需证．
令，则．
令，则，
所以在上单调递增．
又，，
所以有唯一的零点．
当时，，即，单调递减，
当，时，，即，单调递增，
所以．
又因为，所以，所以，
故．
例4．设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为
（1）求的解析式；
（2）证明：．
【解析】解：（1）因为，所以（1），所以
又点，（1）在切线上，所以，所以
所以的解析式为．．（4分）
（2）令，
因为所以当时，
所以在区间内单调递减，
所以
所以等价于．．（6分）
我们如果能够证明，即即可证明目标成立．
下面证明：对任意，．
由（1）知，令
则，所以在内单调递增，
又（1），（2），所以存在使得．
当时，即，此时单调递减；
当时，即，此时单调递增；
所以．由得
所以．
令，则
所以在区间内单调递减，所以（1）
所以．
综上，对任意，．．（12分）
例5．设函数，曲线在点，（1）处的切线为．
（Ⅰ）求的解析式
（Ⅱ）证明：．
【解析】（Ⅰ）解：函数的导数，
（1），即，
又点，（1）在切线上，
，即，
的解析式为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
又在内单调递增，
且（1），（2），
存在使得．
当时，，递减；
当时，，递增．
．
由得，
．
令，则，
在区间内单调递减，所以（1），
．
综上，对任意，．
例6．设函数，曲线在点，（1）处的切线与直线垂直．
（1）求的解析式；
（2）求证：．
【解析】解：（1）函数的定义域是，
，
切线的斜率为（1），
因为切线与直线垂直，所以，即，
则的解析式为；
（2）证明：由（1）知，，
又在内单调递增，
且（1），（2），
存在，使得，
当时，，当时，，
．
由得，
，
令，则，
在区间内单调递减，所以（1），
．
综上，对任意，．
【同步练习】
1．设函数．
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）证明：当时，．
【解析】解：（1）函数的定义域，，
当，恒成立，没有零点，
当时，在上单调递增，
又因为时，，时，，
故只有1个零点；
（2）令，则，，
由（1）知，当时，只有1个零点，设为，则，
，，
故，
当，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，函数取得最小值，
．
2．设函数．
（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时，．
【解析】解：（Ⅰ）方法一：的定义域为，
．
当时，恒成立，故没有零点，
当时，为单调递增，单调递增，
在单调递增，
又（a），
假设存在满足时，且，（b），
故当时，导函数存在唯一的零点，
方法二：，，
讨论的零点个数，即讨论与直线在的交点个数，
，
，
，单调递增，，且不能取到，
，时，与无交点；
时，与有一个交点，
，时，无零点；时，有一个零点
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数在上的唯一零点为，
当时，，
当，时，，
故在单调递减，在，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
由于，
所以．
故当时，．
3．已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
参考数据：，．
【解析】解：（1）解法，
函数在递增，
，得，
设，则，
令，解得：，
当时，，
当时，，
故函数在递减，在递增，
故时，取得最小值，
故，
故的范围是；
解法2：由，
设，则，
令，解得：，
当时，，
当时，，
故函数在递减，在递增，
故时，取得最小值，
函数在递增，故，
由于，则，解得：，
故的范围是；
（2）证明：若，则，得，
由（1）知函数在递减，在递增，
又，（1），，
则存在，使得，即，
当时，，当，时，，
则函数在递减，在，递增，
则当时，函数取最小值，
故当时，，
由，得，
则
，
由于，
则
，
故时，．
4．已知函数．
（1）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围；
（2）证明：若，，则．
【解析】（1）解：因为在，上单调递增，
所以恒成立．
令，问题转化为在，上恒成立，
当，时，，在，上单调递增，
所以，得，
即实数的取值范围是，．
（2）证明：由（1）可知，在，上单调递增，
当时，，，
由零点存在定理可知，存在，，使得，所以，
当时，，即，所以在上单调递减，
当，时，，即，所以在，上单调递增，
所以，
因为，，所以，所以，，
所以，即成立，命题得证．
5．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）当时，设函数，若是在上的一个极值点，求证：是函数在上的唯一极大值点，且．
【解析】解：（1），，，
故所求切线方程为：；
（2）证明：，，，，
，，时，，
故在，递减，
令，，
，
时，，故在递减，
，，
，由零点存在性定理知：在上有唯一零点，
即在上有唯一零点，该零点即为，
时，，即，
，时，，即，
又，时，，故在递增，在，递减，
，，
，，
故是函数在上的唯一的极大值点，且．
6．已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）当时，设函数，若是在上的一个极值点，求证：是函数在上的唯一极小值点，且．
【解析】（1）解：由已知得，而，，
故在处的切线方程为，即．
（2）证明：当时，由题意得，则，，
所以在上单调递增，
（1），，
，使，
时，，即在上单调递减，时，，即在，上单调递增
在上有唯一极小值点且，
，
又知在上单调递增，
，
，
综上：．
7．已知函数有两个极值点，，设的导函数为．（其中是自然对数的底数）
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）证明：．
【解析】解：（1）当时，，则，
（1），（1），切线方程为；
（2）证明：的导函数为，，
则，单调递增，
，
，
存在，使得，
易知，在上单调递减，在，上单调递增，
，
有两个极值点，，
，即．
8．已知函数，且．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且．
【解析】解：．，
化为：．，
令．．
．
时，，函数在上单调递减，而（1），时，，不满足题意，舍去．
时，，可得时，函数取得极小值，，
令（a），．
（a），可得时，（a）取得极大值即最大值，，
因此只有时满足题意．
故．
证明：由可得：，．
．
．
可得时，取得极小值，．
时，；时，（1），时，．
函数存在唯一的极大值点，且．
满足，可得．
令，．
，．
．
，．
令，．
，
可得时，函数取得极大值，且．
．
存在唯一的极大值点，且．
9．已知函数，，为自然对数的底数），若对于恒成立．
（1）求实数的值；
（2）证明：存在唯一极大值点，且．
【解析】（1）解：对于恒成立，
即，，化为：，
令，
，
时，对于不恒成立，舍去．
时，令，解得．
可得时，取得极小值即最小值，．
令，．
，
可得时，函数取得极大值，（1）．
只有时，，满足恒成立．
故．
（2）证明：由（1）可得：．
，
．
令．
在上单调递增，
存在唯一零点，使得，即．．
可得：函数在上单调递减，在上单调递增．
又，．
可得存在唯一极大值点．．
．
令，．
．
10．已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
【解析】解：（1）因为，
则等价于，求导可知．
则当时，即在上单调递减，
所以当时，（1），矛盾，故．
因为当时、当时，
所以，
又因为（1），
所以，解得；
另解：因为（1），所以等价于在时的最小值为（1），
所以等价于在处是极小值，
所以解得；
（2）由（1）可知，，
令，可得，记，则，
令，解得，
所以在区间上单调递减，在，上单调递增，
所以，又，所以在上存在唯一零点，
所以有解，即存在两根，，
且不妨设在上为正、在，上为负、在，上为正，
所以必存在唯一极大值点，且，
所以，
由可知；
由可知，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以；
综上所述，存在唯一的极大值点，且．