（暑假班）苏教版新高一数学暑假讲义第5章 函数概念与性质综合测试（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数，
，
．
故选：．
2．若奇函数在区间上是增函数，且最大值为6，则在区间上是（ ）
A．增函数，且最小值为B．增函数，且最大值为
C．减函数，且最小值为D．减函数，且最大值为
【答案】A
【解析】若奇函数在区间上是增函数，且最大值为6，即，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故在是增函数，且最小值为，
因为，
故在区间上是增函数，且最小值为
故选：A
3．对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数是增函数
B．若，则函数不是减函数
C．若，则函数是偶函数
D．若，则函数不是奇函数
【答案】B
【解析】函数单调递增，需要变量大小关系恒成立，故A错误，
若，则函数一定不是减函数，故B正确，
若恒成立，则是偶函数，故C错误，
当时，也有可能是奇函数，故D错误，
故选：B．
4．已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动．设点经过的路程为．的面积为．则与的函数图象大致为图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当动点P在正方形ABCD边上沿运动时，
则的面积为；
当动点P在正方形ABCD边上沿运动时，
则的面积为；
当动点P在正方形ABCD边上沿运动时，
则的面积为；
综上所述：，可知B、C、D错误，A正确.
故选：A.
5．函数满足，且在区间上的值域是，则坐标所表示的点在图中的（ ）.

A．线段AD和线段BC上B．线段AD和线段DC上
C．线段AB和线段DC上D．线段AC和线段BD上
【答案】B
【解析】函数满足，
故函数的图象关于直线对称，且开口向上下，
所以，，.
再根据，，画出函数的图象，
如图所示：

故有，.
且当时，；时，，
故坐标所表示的点在图中的线段AD和线段DC上，
故选：B.
6．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，
所以在上也是单调递增，且，，
所以当时，；当时，，
所以由，可得或，
即或，解得，
得的取值范围为.
故选：A．
7．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
又函数的定义域为，且在定义域内是增函数，
所以有，解得.
故选：C
8．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数,
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C；
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D.
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．中文“函数.（functin）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是（ ）

A．与表示同一函数
B．函数的定义域是
C．已知函数，则在区间的值域为
D．上图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像
【答案】AC
【解析】对于A，与的定义域都为，且解析式一样，
所以与表示同一函数，A对；
对于B，，解得且，所以函数的定义域是，B错；
对于C，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，
所以在区间的值域为，C对；
对于D，上图所示的椭圆图形不可以表示某一个函数的图像，D错.
故选：AC
10．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数B．是偶函数
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】ABD
【解析】因为满足，所以是偶函数；
因为满足，所以是偶函数，
因为满足，所以是奇函数；
因为满足，所以是偶函数；
故选：ABD．
11．已知函数，则（ ）．
A．的值域是B．的定义域为
C．D．
【答案】ACD
【解析】由，则定义域为，值域为，
所以是的对称中心，则，
综上，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
12．（多选）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】因为，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
令代，则，
即，即，故B错误；
设且，则，由，
令，则，即，
令，，则，即，
因为时，，又，故，
所以，所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值为，故C正确；
由，即，
即，即，
又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，
即原不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知有偶函数，奇函数，且有，则的值域为____________.
【答案】
【解析】因为为偶函数，为奇函数，且有，
所以，两式相加得到，
又因为，当且仅当，即时取等号，
所以的值域为.
故答案为：.
14．函数在上为增函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数开口向上，对称轴为，
要使函数在上为增函数，则，解得，即.
故答案为：
15．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．
【答案】/
【解析】是定义域为R的奇函数，当时，，
则当时，，，
所以当时，的表达式为.
故答案为：
16．已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】函数是定义在上的偶函数，，解得.
又，当时，，
函数在上单调递减，，
，解得，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若，解不等式.
【解析】（1）变形得到对一切实数x恒成立，
当时，，不对一切实数x恒成立，舍去；
当时，则需，解得，
综上，实数a的取值范围是；
（2），即，
因为，所以，
因为，
所以当时，，解集为，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
综上：当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为.
18．（12分）
己知函数．
(1)若函数的单减区间是，求实数a的值；
(2)若函数在区间上是单减函数，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意，，
由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上，
所以的单减区间是，
因为函数的单减区间是，
所以.
（2）依题意，，
由二次函数的性质知，的对称轴方程为，开口向上，
所以的单减区间是，
因为函数在区间上是单减函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
19．（12分）
用分段函数表示，并作出其图象，指出函数的定义域与值域．
【解析】，图象如图所示，

函数的定义域为，值域为．
20．（12分）
已知函数．
(1)求与与；
(2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现；
(3)求．
【解析】（1）∵，
∴，＝， ，
＝.
（2）由（1）发现.
证明如下：
＝++.
（3）.
由（2）知，
，
…
，
∴原式.
21．（12分）
已知函数的定义域是，满足，时，对任意正实数x，y，都有．
(1)求的值；
(2)证明：函数在上是增函数；
(3)求不等式的解集．
【解析】（1）因为对任意正实数x，y，都有，
所以，即，
因为，
所以.
（2）由得，
任取，且，则，
，即，
所以函数在上是增函数；
（3）由（1）知，，
因为，
所以，即，
由（2）知，函数在上是增函数；
所以，解得，
故不等式的解集为.
22．（12分）
若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“倒域区间”；
(3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
【解析】（1）当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以，.
（2）设，因为函数在上递减，且在上的值域为，
所以，，解得，
所以，函数在内的“倒域区间”为.
（3）在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，，所以，，则，
只考虑或，
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，所以，，
由（2）知在内的“倒域区间”为；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，，所以，.
，
因为在上单调递减，则，解得，
所以，在内的“倒域区间”为.
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.