专题16 基本不等式（2份打包，原卷版+教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

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知识点一：基本不等式
1、对公式 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的理解.
(1)成立的条件是不同的：前者只要求 SKIPIF 1 < 0 都是实数，而后者要求 SKIPIF 1 < 0 都是正数；
(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号”.
2、由公式 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 可以引申出常用的常用结论
① SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 同号)；
② SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 异号)；
③ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
知识点诠释： SKIPIF 1 < 0 可以变形为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可以变形为： SKIPIF 1 < 0 .
知识点二：基本不等式 SKIPIF 1 < 0 的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，那么正方形的边长为 SKIPIF 1 < 0 .这样，4个直角三角形的面积的和是 SKIPIF 1 < 0 ，正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以： SKIPIF 1 < 0 .当直角三角形变为等腰直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 时，正方形 SKIPIF 1 < 0 缩为一个点，这时有 SKIPIF 1 < 0 .
得到结论：如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 (当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”)
特别的，如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，我们用 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别代替 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可得：
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”).
通常我们把上式写作：如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”)
方法二：代数法
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”).
知识点诠释：
特别的，如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，我们用 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别代替 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可得：
如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”).
通常我们把上式写作：如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号“=”).
知识点三：基本不等式 SKIPIF 1 < 0 的几何意义
如图， SKIPIF 1 < 0 是圆的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交圆于点D，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
易证 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
这个圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，它大于或等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 与圆心重合，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
知识点诠释：
1、在数学中，我们称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的算术平均数，称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、如果把 SKIPIF 1 < 0 看作是正数 SKIPIF 1 < 0 的等差中项， SKIPIF 1 < 0 看作是正数 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四：用基本不等式 SKIPIF 1 < 0 求最大(小)值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
知识点诠释：
1、两个不等式： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
2、两个不等式： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和(或积)为定值；
③各项能取得相等的值.
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【题型归纳目录】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
题型二：利用基本不等式比较大小
题型三：利用基本不等式证明不等式
题型四：利用基本不等式求最值
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
【典例例题】
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
例1．给出下列命题中，真命题的个数为( )
①已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立；
②已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立；
③已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2；
④已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，①中的不等式是错误的，①错；
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同号，所以 SKIPIF 1 < 0 是正确的，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；
SKIPIF 1 < 0 (当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无解，等号不成立)，故③错；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．故选: B．
例2．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 SKIPIF 1 < 0 在半圆 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在直径 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该图形可以完成的无字证明为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，可得圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．故选：D.
例3．现有以下结论：
①函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ；
④函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
其中，正确的有( )个
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 ，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误.对于①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，①错误；对于②，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，说明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，显然成立，②正确；对于③， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然这样的 SKIPIF 1 < 0 不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以结论不正确，④错误.故选：B.
变式1．(多选题)下列推导过程，正确的为( )
A．因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为正实数，所以 SKIPIF 1 < 0
B．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
D．因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，A选项正确；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，D选项正确．故选：AD
变式2．(多选题)下列推导过程，正确的为( )
A．因为a，b为正实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ≥2 SKIPIF 1 < 0 ＝2
B．因为x∈R，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 1
C．因为a＜0，所以 SKIPIF 1 < 0 +a≥2 SKIPIF 1 < 0 ＝4
D．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】对于A.因为a，b为正实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ≥2 SKIPIF 1 < 0 ＝2.故A正确；对于B.当x=0，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 1.故B错误；对于C.当a=-1时，左边 SKIPIF 1 < 0 +a=-5，右边2 SKIPIF 1 < 0 =4，所以 SKIPIF 1 < 0 +a≥2 SKIPIF 1 < 0 ＝4不成立，故C错误.对于D. 因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故D正确.故选：AD.
题型二：利用基本不等式比较大小
例4．设 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
例5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式得出 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
例6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】A：当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，错误；B： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
C： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
D： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：D
变式3．设正实数a、b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】A：由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
B：由 SKIPIF 1 < 0 ，仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确；
C：由 SKIPIF 1 < 0 ，仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，错误；
D：由 SKIPIF 1 < 0 ，仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 ，错误.故选：B
变式4．对于实数 SKIPIF 1 < 0 有下列命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
则其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故为假命题；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，故为真命题；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，为真命题；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，为真命题.故真命题有②③④，共3个.故选：C
变式5．已知a、b为正实数， SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为a、b为正实数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，综上： SKIPIF 1 < 0 .故选：B
题型三：利用基本不等式证明不等式
例7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.故原题得证.
例8．已知 SKIPIF 1 < 0 是正实数.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号； SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号；
上述三式相加可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.所以 SKIPIF 1 < 0 .
例9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
同理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
以上三式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，当且当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
变式6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为9.
(2)证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.故 SKIPIF 1 < 0 .
题型四：利用基本不等式求最值
例10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则ab的最大值为___________．
【答案】4
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以ab最大值为4．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例11．若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______.
【答案】2
【解析】由均值不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
例12．已知x，y都为正数，且2x＋y＝1，则
①2xy的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
所有正确的序号是______．
【答案】①②④
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，①正确；
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，②正确； SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，但此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，因此取不到最大值 SKIPIF 1 < 0 ，③错； SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，④正确．故答案为：①②④．
变式7．已知正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式8．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】3
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取到等号，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍)所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值3.故答案为：3
变式9．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【答案】3
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立．故答案为：3
变式10．正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______.
【答案】1
【解析】因为正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1，故答案为：1
变式11．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式12．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】5
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为5，故答案为：5
变式13．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式14．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式15．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式16． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则ab的最小值为________．
【答案】36
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，取等号.故答案为：36.
变式17．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________；
【答案】3
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，又 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：3.
变式18．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
【答案】7
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为7.故答案为：7.
变式19．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时，取得最小值.故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式20．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式21．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以原函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式22．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式23．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】7
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；则 SKIPIF 1 < 0
(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立)，故函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为：7
变式24．已知实数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】2
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式25．已知a、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则ab的最大值是____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以由基本不等式可得： SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式26．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型五：利用基本不等式求解恒成立问题
例13．为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 ，公司整体报价为 SKIPIF 1 < 0 元.
(1)试求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数解析式；
(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.
【解析】(1)因应急室的左右两侧的长度均为 SKIPIF 1 < 0 米,则应急室正面的长度为 SKIPIF 1 < 0 米,于是得
SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，此时在 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 ，
故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，最低20000元.
例14．为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为 SKIPIF 1 < 0 米 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 SKIPIF 1 < 0 元 SKIPIF 1 < 0 ，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】(1)设甲工程队的总造价为 SKIPIF 1 < 0 元，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
(2)由题意可得， SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为单调增函数，故 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
例15．为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为 SKIPIF 1 < 0 万元与总座椅数 SKIPIF 1 < 0 千套，两者满足关系式： SKIPIF 1 < 0 ．15年的总维修费用为80万元，记 SKIPIF 1 < 0 为15年的总费用．(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用)．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用 SKIPIF 1 < 0 最小，并求出最小值．
【解析】由题意得：建造成本费用为 SKIPIF 1 < 0 ，
使用管理费： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 千套时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为180万元．
变式27．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价 SKIPIF 1 < 0 ，问泳池的长为多少米时，可使总造价 SKIPIF 1 < 0 最低，并求出泳池的最低造价．
【解析】因为泳池的长为x米，则宽为 SKIPIF 1 < 0 米．
则总造价 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．
题型六：基本不等式在实际问题中的应用
例16．已知实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，若对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为27，又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
例17．已知正数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
例18．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式28．对任意正实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对任意正实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取“＝”.所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式29．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数m的取值范围是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时取等号.又因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式30．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 对一切实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 恒成立，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式31．若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式32．对任意正数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
变式33．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数m的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立
SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【过关测试】
一、单选题
1．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最值情况是( )
A．有最大值 SKIPIF 1 < 0 B．有最小值6C．有最大值 SKIPIF 1 < 0 D．有最小值2
【答案】B
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，所以若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为6，无最大值.故选：B.
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
3．)已知 SKIPIF 1 < 0 ，那么c的最大值为( )
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，即c的最大值为1，
故选：A.
4． SKIPIF 1 < 0 的最小值等于( )
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．无最小值
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值等于 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值.故选：B.
6．若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
8．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是( )
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 等号成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 等号成立，
当 SKIPIF 1 < 0 异号时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，故A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，显然等号不成立，故错误，
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，故C错误；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 等号成立，故D正确.
故选：D.
二、多选题
9．以下四个命题，其中是真命题的有( )
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
【答案】BC
【解析】A选项，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
B选项，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
C选项，因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故C正确；
D选项，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故D错误.故选：BC
10．设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为0D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A正确；
对于B，假设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
即 SKIPIF 1 < 0 成立，所以B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 取等号，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取等号，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确；故选:ACD
11．已知正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项正确的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值是2B． SKIPIF 1 < 0 的最大值是1
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值是4D． SKIPIF 1 < 0 的最大值是2
【答案】AB
【解析】因为正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是2，故A正确；
因为正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是1，故B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ,故C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；故选：AB.
12．下列说法正确的是( )
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．若正数a、b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】对于A，根据不等式性质可知当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，此时不满足 SKIPIF 1 < 0 ，即A错误；
对于B，当正数a、b满足 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立；即B正确；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立；即D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为 SKIPIF 1 < 0 ，它的两边都留有宽为 SKIPIF 1 < 0 的空白，顶部和底部都留有宽为 SKIPIF 1 < 0 的空白，若 SKIPIF 1 < 0 ，则纸张的用纸面积最少为__________cm2．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，设排版矩形的长和宽分别为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
则纸张的面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以纸张的用纸面积最少为 SKIPIF 1 < 0 .
.
14．设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．己知 SKIPIF 1 < 0 ，则ab的取值范围是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 等号成立.故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
17．(1)若正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)若正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时上述等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)解法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
18．已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】(1)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为16.
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
19．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.(隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖)试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；
【解析】设污水池的长为 SKIPIF 1 < 0 米，总造价为 SKIPIF 1 < 0 元，则宽为 SKIPIF 1 < 0 米．
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
所以设计污水池长为30米，宽为 SKIPIF 1 < 0 米时，总造价最低为56000元．
20.(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(3)已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得
SKIPIF 1 < 0 ；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
(2)不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为9．
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ；
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，上式取得等号，可得 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
21．已知x，y都是正数．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】(1)因为x，y都是正数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由x，y都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
22．(1)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
因为a，b，c为不全相等的正实数，
所以 SKIPIF 1 < 0 .