（暑期班）高一数学(人教A版必修一)暑假讲义第01讲 集合的概念及表示（2份，原卷版+解析版）

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·模块一 集合的概念
·模块二 元素与集合的关系
·模块三 集合的表示法
·模块四 课后作业
模块一
集合的概念
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【考点1 集合概念的理解】
【例1.1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解题思路】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【解答过程】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【解题思路】由集合中元素的性质可直接得到结果.
【解答过程】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解题思路】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；
【解答过程】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误；
B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确；
C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误；
故选：B.
【变式1.2】（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）下列四组对象中能构成集合的是（ ）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【解题思路】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足．
【解答过程】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
【考点2 集合中元素特性的求参问题】
【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【解题思路】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【解答过程】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C.
【例2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.
【解答过程】因为，所以.
当时，，得；
当时，则.
故实数x的取值集合为.
故选：B.
【变式2.1】（2023·全国·高一专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【解题思路】根据集合中元素的互异性可得答案.
【解答过程】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
【变式2.2】（2023·高一课时练习）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．1C．D．2
【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【解答过程】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D.
模块二
元素与集合的关系
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法
【考点1 元素与集合的关系】
【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】结合数的分类判断即可.
【解答过程】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（ ）
A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可
【解题思路】由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．
【解答过程】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．
故选：B．
【变式1.1】（2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据集合的概念和性质判断即可.
【解答过程】是自然数，故，（1）正确；
是无理数，故，（2）错误；
由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；
方程的解为，可以构成集合，（5）正确；
故选：A．
【变式1.2】（2023秋·吉林·高一校考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.
【解答过程】由，则当时，；
当时，；
当时，，
即.
故选：D.
【考点2 确定集合中的元素】
【例2.1】（2023·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．9D．10
【解题思路】根据集合中元素的特征即可列举求解.
【解答过程】由可知集合,故共有9个元素，
故选：C.
【例2.2】（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.
【解答过程】因为，，
所以.
故选：B.
【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据题意写出集合C的元素，可得答案.
【解答过程】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C.
【变式2.2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．
【解题思路】根据题意列式求得的值，即可得出答案.
【解答过程】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
模块三
集合的表示法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
【考点1 用列举法表示集合】
【例1.1】（2023秋·四川雅安·高一统考期末）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】直接求出集合中的元素即可.
【解答过程】.
故选：C.
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．
【解答过程】集合 ，
所以集合的元素个数为9个．
故选：B．
【变式1.1】（2023·高一课时练习）方程组的解集为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据集合的定义以及表示方法求解.
【解答过程】方程组的解为,
所以方程组的解集为，
故选：D.
【变式1.2】（2023·云南昆明·校考模拟预测）已知集合，则中元素的个数为
A．B．C．D．
【解题思路】列举出集合中的元素，可得出结论.
【解答过程】由题意可得，
因此，集合中有个元素.
故选：B.
【考点2 用描述法表示集合】
【例2.1】（2023·高一课时练习）集合用描述法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据集合中的元素特征即可求解.
【解答过程】中的元素满足，所以，
故选：D.
【例2.2】（2023·高一课时练习）方程组的解集可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由方程组的求解可得的关系，即可求解.
【解答过程】由得，
将代入得，所以，
故选：D.
【变式2.1】（2023·高一课时练习）集合表示的是 第三象限内点的集合 .
【解题思路】由集合中的不等式，解出的取值范围，确定点所在的区域.
【解答过程】由，解得，则集合表示的是第三象限内点的集合.
故答案为：第三象限内点的集合.
【变式2.2】（2023秋·上海崇明·高一统考期末）直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为 ．
【解题思路】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.
【解答过程】依题意，第二象限所有点组成的集合是.
故答案为：.
模块四
课后作业
1．（2023·高一课时练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生B．年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
【解题思路】根据集合中元素的三要素判断．
【解答过程】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.
故选：.
2．（2023·高一课时练习）设集合，则下列元素属于A的是（ ）
A．B．C．D．0
【解题思路】根据集合中元素特征即可求解.
【解答过程】，故，所以ABD错误，C正确，
故选：C.
3．（2023·高一课时练习）方程组的解集可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由方程组的解即可求解解集.
【解答过程】由得，所以方程组的解集可以表示为，
故选：C.
4．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据实数集，有理数集，自然数集，整数集的概念判断即可.
【解答过程】因为是实数集，所以，故①正确；
因为是有理数集，所以，，故②③错误；
因为是自然数集，所以，故④正确；
因为是整数集，所以，故⑤正确；
综上：关系正确的个数为3个.
故选：C.
5．（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知集合，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先化简集合，然后结合选项进行判定.
【解答过程】因为，所以选项A,B,D均正确，C不正确.
故选：C.
6．（2023春·河南焦作·高二校考阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由求出m，再利用互异性即可求解
【解答过程】因为集合，且，
所以或.
当时，解得：或.
而，不符合元素的互异性，故或.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【解题思路】根据，采用列举法表示集合B 即可求解.
【解答过程】根据题意 ，
所以集合B中共有6个元素，
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．-1B．-3C．-3或-1D．无解
【解题思路】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即可求解.
【解答过程】若，可得
当时，解得，此时，
不满足集合的互异性，故（舍去），
当，解得（舍去）或，此时，
满足题意，故实数的值为-3.
故选：B.
9．（2023秋·湖南常德·高一校考期末）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意，分情况讨论，进行求解即可.
【解答过程】由题知，
当时，的解有且仅有一个：，
符合题意，所以；
当时，要使的方程的解集
中有且仅有一个元素，则有：，则.
所以实数的值组成的集合中的元素个数为：2.
故选：B.
10．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．D．
【解题思路】根据，，代入元素依次计算得到答案.
【解答过程】集合A满足，，，故，，，
，故，
则集合A所有元素之和为：
故选：C.
11．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【解题思路】由集合的新定义计算即可.
【解答过程】由题设知，
所有元素之和为，
故选：A.
12．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【解题思路】根据“好集”的定义逐一判断即可.
【解答过程】对于①，因为，而，
所以集合不是好集，故①错误；
对于②，因为集合为“好集”，
所以，
所以，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题.
故选：D.
13．（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【解题思路】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质.
【解答过程】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；
（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；
（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．
14．（2023·高一课时练习）已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合且；
（2）试用列举法表示集合且．
【解题思路】（1）求出集合，则，即可求出；
（2）根据集合中元素的特征，即可写出.
【解答过程】由题意，，.
（1）.
（2）.且
.
15．（2023·高一课时练习）已知集合，其中.
（1）1是中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若中至多有一个元素，试求a的取值范围.
【解题思路】（1）由得，代入，解得的元素后，可得解；
（2）按照集合中元素的个数分类讨论，可求得结果.
【解答过程】（1）因为，所以，得，
所以 .
（2）当中只有一个元素时，只有一个解，
所以或，
所以或，
当中没有元素时，无解，所以，解得，
综上所述：或.