苏科版（2024）七年级下册（2024）8.3 多项式乘多项式精练

这是一份苏科版（2024）七年级下册（2024）8.3 多项式乘多项式精练，共36页。
2.在多项式与多项式相乘的过程中，体会转化思想（即多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，又转化为单项式与单项式相乘)，进一步发展有条理的思考与语言表达能力，
3.体会探索多项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.

知识点01 多项式乘多项式
1.多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2.运用法则时应注意以下几点：
(1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)·
(a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即
（m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc.
(2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6.
(3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数.
(4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列.
(5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”
(6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果
【即学即练】
1．计算（x﹣3）（x+2）的结果为（ ）
A．x2﹣6B．x2﹣x+6C．x2﹣x﹣6D．x2+x﹣6
2．下列多项式相乘的结果为x2﹣4x﹣12的是（ ）
A．（x+3）（x﹣4）B．（x+2）（x﹣6）
C．（x﹣3）（x+4）D．（x+6）（x﹣2）
3．计算：（x﹣5y）（2x+y）＝ ．
4．若x+y＝3，xy＝﹣1，则（2﹣x）（2﹣y）的值为 ．
5．计算：
①（a﹣b）（a﹣2b﹣1） ②（x﹣y+1）（x﹣y﹣3）
6．计算．
（1）（x+y）（2a+b）； （2）（a+b）（a﹣b）；
（3）； （4）（3x﹣2y）（2x﹣3y）；
（5）（3x+2）（﹣x﹣2）．
7．计算：
（1）（2m+5）（3m﹣1） （2）（2x﹣5y）（3x﹣y）
（3）（x+y）（x2﹣2x﹣3） （4）（x+1）2+x（x﹣2）
类型一、多项式乘多项式法则
1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算，所得结果的一次项系数是（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024七年级上·上海·专题练习）已知、都是关于的三次多项式，那么下列判断一定正确的是（ ）
A．是关于的三次多项式B．是关于的六次多项式
C．是关于的三次多项式D．是关于的六次多项式
4．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，计算结果是的是（ ）
A．B．C．D．
类型二、多项式乘多项式的计算
5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：．
6．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1)
(2)
7．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如果，那么的值分别是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)．
(2)
(3)
9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，．求：
(1)
(2)
类型三、多项式乘多项式的化简求值问题
10．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，，求代数式的值．
11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）化简求值：当，时，代数式的值．
12．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，．
(1)求证：代数式的值与的取值无关；
(2)若，求的值．
类型四、整体思想求代数式的值
13．（24-25八年级上·山西临汾·期中）若，，则代数式的值为 ．
14．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ．
15．（22-23六年级下·全国·单元测试）已知 ，，计算的结果是 ．
16．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则代数式的值为 ．
类型五、多项式乘多项式的字母求值问题
17．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在展开多项式中，常数项为，则a等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
18．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（ ）
A．14B．2C．16D．
类型六、多项式乘多项式不含某一项问题
19．（2024七年级上·上海·专题练习）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值．
20．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知代数式的值与x的取值无关．
(1)求a，b的值；
(2)当为何值时有最小值？并求出最小值．
21．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：的展开式中不含项和项，求、的值．
类型七、多项式乘多项式与图形问题
22．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，综合实践课上，小明在长方形硬纸片的四个角处分别剪去边长为x的小正方形，再按虚线折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子，则该长方体盒子的体积可表示为（ ）
A．B．
C．D．
23．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张．
24．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，宽为的小长方形铁片．
(1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式）
(2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差．
类型八、降次代换求多项式乘多项式的值
25．（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题：
已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法”
例如：已知，求代数式的值．
解： ，

原式

请用“降次代换法”完成下列各小题：
(1)若，则代数式的值为 ．
(2)若，求代数式的值．
类型九、多项式乘多项式的规律探究性问题
26．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【知识应用】
(1)补充完整的展开式，______；
(2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；
(3)今天是星期五，过了天后是星期几？
27．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．
(1)分别化简下列各式：
___________；
___________；
___________；
___________；
(2)请你利用上面的结论计算：（写出计算过程）；
(3)根据以上计算经验，直接写出的结果：___________．
类型十、多项式乘多项式的新定义问题
28．（2023·山东济宁·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么 ．
29．（23-24七年级下·河南周口·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ．
30．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读下列材料，解决相应问题：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”．
例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”．
(1)请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由；
(2)为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由；
(3)若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为
，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______．
一、单选题
1．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则m为（ ）
A．2B．C．8D．
4．（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）若n为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被9整除
5．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）若的展开式中不含项，则的值是（ ）
A．B．0C．1D．3
6．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）观察：，，，．据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A．B．C．或D．或
8．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，．已知
，则的值为（ ）
A．B．C．D．8
二、填空题
9．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ．
10．（17-18八年级上·河南新乡·期中）若的结果中不含的一次项，则
11．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ．
12．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ．
13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，公园里一个长方形花坛，长为2a米，宽为米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路（阴影部分），剩余部分栽种花卉；栽种花卉部分的面积是 平方米．
14．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算：
．（结果用幂的形式表示）
三、解答题
15．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）已知的展开式中不含项．
(1)求的值；
(2)当时，化简求值：．
17．（16-17七年级下·江苏泰州·期中）对于任意有理数、、、，我们规定符号，例如：．
(1)求的值为______；
(2)求的值，其中．
18．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）通过计算寻找规律：
(1)计算： ___________． ___________． ___________．
(2)猜想： ___________．
(3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________．
19．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）将一张如图①所示的长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒，如图②．铁盒底面长方形的长是，宽是．
求：
(1)图①中原长方形铁皮的面积．（请用含a的代数式表示）
(2)无盖盒子的体积．（请用含a的代数式表示）
20．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）解决下列问题：
(1)如果，那么的值是______，的值是______；
(2)如果，
①求的值；
②求的值．
答案与解析
【即学即练】
1．计算（x﹣3）（x+2）的结果为（ ）
A．x2﹣6B．x2﹣x+6C．x2﹣x﹣6D．x2+x﹣6
【分析】根据多项式乘多项式运算法则求解即可．
【解答】解：（x﹣3）（x+2）
＝x2+2x﹣3x﹣6
＝x2﹣x﹣6，
故选：C．
2．下列多项式相乘的结果为x2﹣4x﹣12的是（ ）
A．（x+3）（x﹣4）B．（x+2）（x﹣6）
C．（x﹣3）（x+4）D．（x+6）（x﹣2）
【分析】将选项分别进行计算，然后与结果比较可得出正确答案．
【解答】解：A、（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，不符合题意；
B、（x+2）（x﹣6）＝x2﹣4x﹣12，符合题意；
C、（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12，不符合题意；
D、（x+6）（x﹣2）＝x2+4x﹣12，不符合题意．
故选：B．
3．计算：（x﹣5y）（2x+y）＝ 2x2﹣9xy﹣5y2 ．
【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：（x﹣5y）（2x+y）
＝2x2+xy﹣10xy﹣5y2
＝2x2﹣9xy﹣5y2．
故答案为：2x2﹣9xy﹣5y2．
4．若x+y＝3，xy＝﹣1，则（2﹣x）（2﹣y）的值为 ﹣3 ．
【分析】先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可．
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝﹣1
∴（2﹣x）（2﹣y）
＝4﹣2y﹣2x+xy
＝4﹣2（x+y）+xy
＝4﹣2×3﹣1
＝﹣3
故答案为：﹣3．
5．计算：
①（a﹣b）（a﹣2b﹣1）
②（x﹣y+1）（x﹣y﹣3）
【分析】①原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
②原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：①原式＝a2﹣2ab﹣a﹣ab+2b2+b
＝a2﹣3ab+2b2﹣a+b；
②原式＝x2﹣xy﹣3x﹣xy+y2+3y+x﹣y﹣3
＝x2﹣2xy+y2﹣2x+2y﹣3．
6．计算．
（1）（x+y）（2a+b）；
（2）（a+b）（a﹣b）；
（3）；
（4）（3x﹣2y）（2x﹣3y）；
（5）（3x+2）（﹣x﹣2）．
【分析】原式各项利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2ax+bx+2ay+by；
（2）原式＝a2﹣b2；
（3）原式＝a2a﹣abb；
（4）原式＝6x2﹣9xy﹣4xy+6y2＝6x2﹣13xy+6y2；
（5）原式＝﹣3x2﹣6x﹣2x﹣4＝﹣3x2﹣8x﹣4．
7．计算：
（1）（2m+5）（3m﹣1）
（2）（2x﹣5y）（3x﹣y）
（3）（x+y）（x2﹣2x﹣3）
（4）（x+1）2+x（x﹣2）
【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式的运算法则求解即可求得答案；
（2）直接利用多项式乘以多项式的运算法则求解即可求得答案；
（3）直接利用多项式乘以多项式的运算法则求解即可求得答案；
（4）直接利用多项式乘以多项式的运算法则求解即可求得答案．
【解答】解：（1）（2m+5）（3m﹣1）＝6m2﹣2m+15m﹣5＝6m2+13m﹣5；
（2）（2x﹣5y）（3x﹣y）＝6x2﹣2xy﹣15xy+5y2＝6x2﹣17xy+5y2；
（3）（x+y）（x2﹣2x﹣3）＝x3﹣2x2﹣3x+x2y﹣2xy﹣3y；
（4）（x+1）2+x（x﹣2）＝x2+2x+1+x2﹣2x＝2x2+1．
类型一、多项式乘多项式法则
1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了多项式乘多项式，原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【详解】解：，
故选：B．
2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算，所得结果的一次项系数是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可.
【详解】解：
；
∴结果的一次项系数是；
故选A
3．（2024七年级上·上海·专题练习）已知、都是关于的三次多项式，那么下列判断一定正确的是（ ）
A．是关于的三次多项式B．是关于的六次多项式
C．是关于的三次多项式D．是关于的六次多项式
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式的次数，整式的加减运算，计算多项式乘多项式等知识点，熟练掌握多项式的次数及整式的相关运算法则是解题的关键．
根据整式的加减运算法则、乘法运算法则逐项举反例判断，即可得出答案．
【详解】解：A．若，，则，不是关于的三次多项式，该判断错误，故选
项不符合题意；
B．若，，则，结果是关于的三次多项式，不是关于的六次多项式，该判断错误，故选项不符合题意；
C．若，，则，结果是关于的六次多项式，该判断错误，故选项不符合题意；
D．、都是关于的三次多项式，所以是关于的六次多项式，该判断正确，故选项符合题意；
故选：D．
类型二、多项式乘多项式的计算
4．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式中，计算结果是的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选D．
5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
6．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了整式的混合运算．
（1）先计算单形式乘以多项式，再计算加法即可．
（2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
7．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如果，那么的值分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可求解．
【详解】解：∵
∴，
故选：A ．
8．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1)．
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了多项式的乘法：
（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，．求：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键．
（1）代入代数式，去括号，然后合并同类项，即可求解；
（2）代入代数式，利用多项式乘多项式去括号，然后合并同类项，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
类型三、多项式乘多项式的化简求值问题
10．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知，，求代数式的值．
【答案】，46
【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，理解整式混合运算的运算顺序和计算法则，是解题关键．
先利用多项式乘以多项式展开，再进行整式的加减计算，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
，
∴代数式的值为46．
11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）化简求值：当，时，代数式的值．
【答案】，
【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，化简求值，先计算多项式的乘法，再合并同类项，最后把，代入计算即可．
【详解】解：
；
当，时，
原式．
12．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，．
(1)求证：代数式的值与的取值无关；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查整式的乘法以及化简求值．
（1）将代数式化简即可求解；
（2）计算，进而将字母的值代入，即可求解．
【详解】（1）解：证明：
∴代数式的值与的取值无关
（2）解：∵，
∴
∵，
∴
类型四、整体思想求代数式的值
13．（24-25八年级上·山西临汾·期中）若，，则代数式的值为 ．
【答案】3
【分析】此题考查了多项式乘多项式以及代数求值，首先根据多项式乘多项式法则化简，然后整体代数求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：3．
14．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为：5．
15．（22-23六年级下·全国·单元测试）已知 ，，计算的结果是 ．
【答案】0
【分析】原式用多项式乘法展开，然后整体代入即可．
【详解】解：
当，时，原式，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，注意整体代入思想的运用．
16．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则化简原式，再把已知的式子整体代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘法和代数式求值，属于基本题型，熟练掌握多项式乘以多项式的法则和整体代入的思想是解题的关键．
类型五、多项式乘多项式的字母求值问题
17．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在展开多项式中，常数项为，则a等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式．首先利用多项式乘以多项式的法则得出常数项，进而得出a的值．
【详解】解：
，
常数项为，
∴，
解得，
故选：C．
18．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（ ）
A．14B．2C．16D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴、，
若、，则；
若、，则；
若、，则；
若、，则；
故选：C．
类型六、多项式乘多项式不含某一项问题
19．（2024七年级上·上海·专题练习）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
先利用多项式乘多项式法则计算，根据展开式中没有二次项和常数项为10得到关于、的方程，求解即可．
【详解】解：
．
乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，
，，
，，
．
20．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知代数式的值与x的取值无关．
(1)求a，b的值；
(2)当为何值时有最小值？并求出最小值．
【答案】(1)，．
(2)，
【分析】（1）根据整式的乘法运算以及加减运算法则进行化简，然后令含的项的系数为零即可求出答案．
（2）先把原式整理，根据非负性得出结论，即可作答．
本题考查多项式乘多项式法则、非负性以及完全平方公式的变形运算，本题属于基础题型．
【详解】（1）解：
，
此代数式的值与的取值无关，
∴
，．
（2）解：，，
，
由于，，
故当，时，
即时，
此代数式有最小值为．
21．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：的展开式中不含项和项，求、的值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握运算法则，正确表示出项和项的系数是解题的关键．
首先利用多项式乘多项式计算的展开式，然后根据已知条件“展开式中不含项和项”得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得、的值．
【详解】解：
，
展开式中不含项和项，
，
解得：，
，．
类型七、多项式乘多项式与图形问题
22．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，综合实践课上，小明在长方形硬纸片的四个角处分别剪去边长为x的小正方形，再按虚线折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子，则该长方体盒子的体积可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式的乘法，
先确定长，宽，高，再根据体积公式，结合多项式乘以多项式，多项式乘以单项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】根据题意可知长方体的长为，宽为，高为x，
可知长方体盒子的体积是.
故选：B．
23．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片 张．
【答案】5
【分析】本题考查了多项式乘法，由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片5张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：，
∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片5张．
故答案为：5．
24．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图．在长为，宽为的长方形铁片上，截去长为，
宽为的小长方形铁片．
(1)用含、的代数式表示剩余部分（即阴影部分）的面积；（结果化为最简形式）
(2)求剩余部分的面积与截去的小长方形铁片的面积之差．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）分别表示出长方形的面积，剪去铁片的面积，再根据整式的减法运算法则计算即可；
（2）根据题意，运用整式的减法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：长方形的面积为，剪去铁片的面积为，
∴，
∴剩余部分（即阴影部分）的面积为；
（2）解：．
类型八、降次代换求多项式乘多项式的值
25．（24-25七年级上·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题：
已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法”
例如：已知，求代数式的值．
解： ，

原式

请用“降次代换法”完成下列各小题：
(1)若，则代数式的值为 ．
(2)若，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先由得出，再代入进行计算，即可作答．
（2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答．
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
．
类型九、多项式乘多项式的规律探究性问题
26．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）【知识背景】在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【知识应用】
(1)补充完整的展开式，______；
(2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______；
(3)今天是星期五，过了天后是星期几？
【答案】(1)6，4，
(2)8，
(3)星期六
【分析】（1）根据三角形系数图中的系数确定规律，计算完善即可．
（2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案．
（3）根据题意，得
，看余数解答即可．
本题考查了杨辉三角形的理解与应用，正确理解题意，会探索发现规律，转化应用是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得
故，
故答案为：6，4，．
（2）解：根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，
当时，有2项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
当时，有项；所有项的系数和为；
，
故找到规律为：共项，所有项系数的和为，
故的展开式中共有8项，所有项的系数和为．
故答案为：8，．
（3）解：今天是星期五，过了天后是星期六．理由如下：
∵根据题意，得 ，
且都能被7整除， ，
∴除以7余1，
∴如果今天是星期五，过了天后是星期六．
27．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．
(1)分别化简下列各式：
___________；
___________；
___________；
___________；
(2)请你利用上面的结论计算：（写出计算过程）；
(3)根据以上计算经验，直接写出的结果：___________．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，平方差公式及其应用，掌握平方差找公式的特点和整式乘法的运算法则是解答本题的关键．
（1）根据平方差公式总结规律，即可写出结果；
（2）利用得（1）的规律把代入计算即可；
（3）把代入，然后进行变形，求值即可．
【详解】（1）解：；
；
；
．
（2）解：，
．
（3）解：，
．
类型十、多项式乘多项式的新定义问题
28．（2023·山东济宁·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，那么 ．
【答案】/
【分析】本题考查了新定义运算，利用多项式乘以多项式的法则结合题意，进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
29．（23-24七年级下·河南周口·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查多项式的乘法和代数式的求值．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
故答案为：．
30．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读下列材料，解决相应问题：
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”．
例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”．
(1)请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由；
(2)为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由；
(3)若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______．
【答案】(1)43和68是倒同数对，见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“倒同数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解．
（1）根据定义即可得到答案；
（2）根据定义得：，化简得；
（3）根据定义列等式，化简解方程可得的x值，从而得出答案．
【详解】（1）43和68是“倒同数对”，理由如下：
，，
∴43和68是“倒同数对”
（2），理由见解析；
，
，
，
即
（3）由题得：
整理得：
，
解得：
故答案为：
一、单选题
1．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则m为（ ）
A．2B．C．8D．
【答案】A
【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解．
运用多项式乘多项式的计算方法进行求解．
【详解】解：∵
，
∴，
故选：A．
4．（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）若n为整数，则代数式的值一定可以（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被9整除
【答案】B
【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用能力．先运用多项式乘多项式和合并同类项对该式进行计算，再运用因式分解进行求解．
【详解】解：
，
该代数式的值一定可以被3整除，
故选：B．
5．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）若的展开式中不含项，则的值是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据展开式不含项，即含项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：
，
∵的展开式中不含项，
∴，
∴，
故选：D．
6．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证
的算式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式．
由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答．
【详解】解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，
图中，阴影部分面积，
图中，阴影部分面积，
，
故选：B．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）观察：，，，．据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查了整式的乘法、求代数式的值．首先根据规律可得：，从而可知，把的值代入代数式求值即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
当时，原式，
当时，原式．
故选：D．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记，．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】本题考查多项式与多项式的乘法，根据，几何新定义可判断中只有和两项，再计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式，
∴．
故选：B．
二、填空题
9．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．（17-18八年级上·河南新乡·期中）若的结果中不含的一次项，则
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式法则，依据法则运算，展开后合并关于x同类项，因为不含关于字母x的一次项，所以一次项的系数为0，再求a的值，即可求解．
【详解】解：，
∵结果中不含的一次项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键．
先根据题意得出，，再整体代入求解．
【详解】解：由题意得：
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
12．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可．
【详解】解：
，
，，
原式，
故答案为：9．
13．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，公园里一个长方形花坛，长为2a米，宽为米，花坛中间横竖各铺设一条宽为1米的小路（阴影部分），剩余部分栽种花卉；栽种花卉部分的面积是 平方米．
【答案】
【分析】本题主要考查列代数式，长方形的面积，表示出栽种花卉部分的面积是解题的关键．根据平移结合长方形的面积公式即可求解．
【详解】解：

平方米，
故答案为：
14．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算：
．（结果用幂的形式表示）
【答案】
【分析】此题考查了完全平方公式及其拓展，正确理解题意、找出规律是解题的关键．根据题目给出的规律可得出的展开式，然后令式中即可得出结果．
【详解】解：根据题意得：；
令上式中，得：
．
故答案为：．
三、解答题
15．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先将整式根据多项式乘以多项式以及去括号、合并得最简结果后，再把x，y的值代入计算即可．
【详解】
，
∵，
∴原式．
16．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）已知的展开式中不含项．
(1)求的值；
(2)当时，化简求值：．
【答案】(1)
(2)；
【分析】本题考查整式混合运算，涉及多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、乘方公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式展开，再由的展开式中不含项得到求解即可得到答案；
（2）利用平方差公式、完全平方和公式及整式加减运算化简，再将代入求值即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
∵的展开式中不含x3项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式
．
17．（16-17七年级下·江苏泰州·期中）对于任意有理数、、、，我们规定符号，例如：．
(1)求的值为______；
(2)求的值，其中．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据定义的运算规律，进行计算即可求解；
（2）先根据根据定义的运算规律，计算，再将代入计算即可求
解．
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：
，
∵，
∴，
故原式．
【点睛】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，多项式乘多项式，整式的加减混合运算，代数式求值等．熟练掌握多项式乘多项式以及整式的加减混合运算法则是解题的关键．
18．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）通过计算寻找规律：
(1)计算： ___________． ___________． ___________．
(2)猜想： ___________．
(3)根据猜想结论，写出下列结果： ___________． ___________．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
（2）根据解析（1）的结果，得出的规律，即可得到结果；
（3）根据解析（2）得出结论，把变形为求出结果即可；把变形为求出结果即可．
【详解】（1）解：；
；
；
（2）解：由；
；
；
……
；
（3）解：
；
．
19．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）将一张如图①所示的长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，再将四周折起，做成一个有底无盖的铁盒，如图②．铁盒底面长方形的长是，宽是．
求：
(1)图①中原长方形铁皮的面积．（请用含a的代数式表示）
(2)无盖盒子的体积．（请用含a的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式，整式的乘法，掌握长方形的面积与长方体的体积的计算方法是解决问题的关键．
（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据铁盒的长、宽、高来表示出体积即可．
【详解】（1）解：原长方形铁皮面积为：
．
（2）解：无盖铁盒体积为：
．
20．（22-23七年级下·贵州六盘水·期中）解决下列问题：
(1)如果，那么的值是______，的值是______；
(2)如果，
①求的值；
②求的值．
【答案】(1)；
(2)①；②75
【分析】本题考查多项式乘多项式，分式的加减及完全平方公式，中通过变形求得，的值是解题的关键．
将等号左边的代数式展开后即可求得，的值；
将等号左边展开变形后即可求得，的值，然后将展开后代入数值计算即可；
将分式通分并整理后代入中所求数值计算即可．
【详解】（1）解：


，
，，
故答案为：；；
（2）解：


，
，，




；




．