数学七年级下册（2024）8.2 单项式乘多项式测试题

这是一份数学七年级下册（2024）8.2 单项式乘多项式测试题，共24页。试卷主要包含了6b2）等内容，欢迎下载使用。
1.会描述单项式乘多项式运算的算理，并能熟练进行单项式乘多项式的运算
2.体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展合理思考问题的能力及语言表达能力.
3.体会探索单项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.
知识点01 单项式与多项式相乘
1.法则：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加
即m（a+b+c)=ma+mb+mc.
2.注意：
(1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。
(2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定
(3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果
（4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘，
【即学即练】
1．计算x（x﹣3）的依据是（ ）
A．乘法交换律B．加法结合律
C．乘法分配律D．加法分配律
2．计算（﹣3m2）（﹣2m+1）的正确结果是（ ）
A．6m3+1B．6m3﹣3C．6m3﹣3m2D．﹣6m3+3m2
3．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．计算：﹣2x•（x2﹣x+1）＝ ．
5．计算：
（1） ．
（2） ．
6．计算：
（1）4xy（3x2+2xy﹣1）； （2）（﹣5x2y）（xy﹣xy2+3）；
（3）a3﹣2a[2a2﹣3a（2a+2）]．
7．①3a（2a﹣1） ②（x2﹣2y）（xy2）3 ③（a2b2）（a2+ab﹣0.6b2）
④12ab[2a（a﹣b）b] ⑤（﹣a）3•（﹣2ab2）3﹣4ab2（7a5b4ab3﹣5）
题型一、单项式乘多项式法则
1．计算﹣2x（x2﹣y）正确的是（ ）
A．﹣2x3﹣yB．﹣2x3﹣2xyC．2x3﹣2xyD．﹣2x3+2xy
2．计算2x（3x2+1），正确的结果是（ ）
A．5x3+2xB．6x3+1C．6x3+2xD．6x2+2x
3．计算（﹣2a3+3a2﹣4a）（﹣5a5）等于（ ）
A．10a15﹣15a10+20a5B．﹣7a8﹣2a7﹣9a6
C．10a8+15a7﹣20a6D．10a8﹣15a7+20a6
4．计算：•ab＝ ．
5．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（ ）
A．14B．9C．﹣1D．﹣6
题型二、单项式乘多项式法则的计算
6．计算：
（1）；
（2）3x（x2﹣2x﹣1）﹣2x2（x﹣2）．
7．计算：
（1）；
（2）a（a+2b）﹣2b（a+b）；
（3）2m2﹣n（5m﹣n）﹣m（2m﹣5n）；
（4）﹣5x2（﹣2xy）2﹣x2（7x2y2﹣2x）．
8．计算：
（1）5m（m﹣n+2）；
（2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）；
（3）（3x2+xy﹣y2）•3x2；
（4）2a（﹣2abab2）．
题型三、单项式乘多项式法则求值问题
9．已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式x（x﹣4）+1的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
10．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（ ）
A．﹣1B．0C．1D．无法确定
11．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y．
12．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
题型四、单项式乘多项式法则看错算错问题
13．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．3xyB．﹣3xyC．﹣1D．1
14．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1
C．﹣12x4+3x3﹣3x2D．无法确定
15．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（xy）＝3x2y﹣xy2xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x，y，求所捂多项式的值．
题型五、单项式乘多项式法则字母含参问题
17．要使（x2+ax+1）•（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a＝ ．
18．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4，2a，a，它的体积等于（ ）
A．3a3﹣4a2B．a2C．6a3﹣8a2D．6a2﹣8a
题型六、单项式乘多项式法则应用问题
20．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．2a（a+b）＝2a2+2ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
21．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据图写出一个代数恒等式
是： ．
22．一块长方形硬纸片，长为（5a2+4b2）米、宽为6a2米，在它的四个角上分别剪去一个边长为a2米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；
（2）求这个无盖盒子的外表面积．
题型七、单项式乘多项式的新定义问题
23．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（ ）
A．72m2n﹣45mn2B．72m2n+45mn2
C．24m2n﹣15mn2D．24m2n+15mn2
24．定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．
（1）3与 是关于1的单位数，x﹣3与 是关于1的单位数．（填一个含x的式子）
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，，判断A与B是不是关于1的单位数，并说明理由．
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋•礼县期末）下列运算正确的是（ ）
A．﹣a8÷a3＝﹣a5B．x2⋅x3＝x6
C．（﹣2a）3＝8a3D．2x（x﹣y）＝2x﹣2xy
2．（2024秋•潜江月考）下列运算错误的是（ ）
A．m2•m3＝m5B．﹣x2+2x2＝x2
C．（﹣a3b）2＝a6b2D．﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2﹣2xy
3．（2024秋•思明区校级期中）若a2﹣2a﹣2＝3，则3a（a﹣2）的值为（ ）
A．3B．5C．9D．15
4．（2023秋•衡阳期末）若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．﹣3B．C．0D．3
5．（2024秋•邓州市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（ ）
A．3xyB．﹣3xyC．﹣1D．1
6．（2024秋•柘城县期中）给出一种运算：a⊗b＝（a+b）b，如2⊗3＝（2+3）×3＝15，若方程2⊗x＝k的一个根为3，则另一个根为（ ）
A．5B．﹣5C．10D．﹣10
7．（2024秋•商水县期中）要使（﹣x）（x2﹣mx+2x）的展开式中不含x2的项，则m的值是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
8．（2024秋•通州区期中）计算的结果是（ ）
A．3m2n+mn2B．
C．D．
9．（2024秋•中山区期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A．a+3bB．2a+6bC．ab+2bD．ab+2b2
10．（2024秋•南阳月考）已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（ ）
A．0B．4C．﹣4D．2
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋•嘉定区校级期中）（﹣x3）2﹣x4（2x2﹣x+1）＝ ．
12．（2024秋•内江期中）若a2+3a＝2，则代数式5a（a+3）﹣2的值是 ．
13．（2024秋•仁寿县期中）若﹣5x3（x2+ax）+5x4+2的结果中不含x4项，则a＝ ．
14．（2024秋•长宁区校级期中）计算： ．
15．（2024秋•龙亭区校级期中）已知关于多项式（a﹣3）x2+（4+b）x﹣3y2+5的值与x无关，则（a+b）2024的值为 ．
16．（2023秋•任城区校级月考）阅读材料回答问题：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）
∵上式为恒等式，
∴当x时，，
即．
解得：m．
若多项式x4+mx2+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），则mn＝ ．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋•昆明期末）计算：
（1）（﹣2x）×（3x﹣1）；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
18．计算：
（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）；
（2）﹣2x2y（3xy2﹣2y2z）；
（3）（a）•（a2a）；
（4）（4a﹣b）•（﹣2b）2．
19．计算：
（1）（﹣2xy）（3x2﹣2xy﹣4y2）；
（2）（m2nmn+1）•（﹣6m3n）；
（3）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）；
（4）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）．
20．（2024秋•武冈市期中）已知（2a﹣4）x2+（b+3）xy﹣（b﹣3）x+（2a+4）y﹣7是关于x、y的多项式，若该多项式不含二次项，试求3a+3b的值．
21．（2023秋•南昌期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（xy）＝3x2y﹣xy2xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x，y，求所捂多项式的值．
22．（2024秋•铁西区期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积．
23．（2024春•青龙县期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
（1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2；
（2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）．
答案与解析
【即学即练】
1．计算x（x﹣3）的依据是（ ）
A．乘法交换律B．加法结合律
C．乘法分配律D．加法分配律
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行分析即可．
【详解】解：x（x﹣3）＝x2﹣3x（利用乘法的分配律）．
故选：C．
2．计算（﹣3m2）（﹣2m+1）的正确结果是（ ）
A．6m3+1B．6m3﹣3C．6m3﹣3m2D．﹣6m3+3m2
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
【详解】解：（﹣3m2）（﹣2m+1）
＝（﹣3m2）（﹣2m）+（﹣3m2）×1
＝6m3﹣3m2．
故选：C．
3．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由x2﹣2x+1＝0，得x2﹣2x＝﹣1，再代入x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2．
【详解】解：∵x2﹣2x+1＝0，
∴x2﹣2x＝﹣1．
∴x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2．
故选：C．
4．计算：﹣2x•（x2﹣x+1）＝ ﹣2x3+2x2﹣2x ．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行详解即可．
【详解】解：﹣2x•（x2﹣x+1）＝﹣2x3+2x2﹣2x．
故答案为：﹣2x3+2x2﹣2x．
5．计算：
（1） ﹣2a3b6 ．
（2） ．
【分析】（1）根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式法则、单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
＝﹣2a3b6，
故答案为：﹣2a3b6；
（2）原式
，
故答案为：．
6．计算：
（1）4xy（3x2+2xy﹣1）；
（2）（﹣5x2y）（xy﹣xy2+3）；
（3）a3﹣2a[2a2﹣3a（2a+2）]．
【分析】（1）．（2）单项式与多项式相乘，用单项式的每一项分别去乘多项式的每一项，然后将所得的积相加即可；
（3）结合单项式乘多项式的法则先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可求解．
【详解】解：（1）4xy（3x2+2xy﹣1）
＝4xy•3x2+4xy•2xy﹣4xy
＝12x3y+8x2y2﹣4xy；
（2）（﹣5x2y）（xy﹣xy2+3）
＝（﹣5x2y）•xy﹣（﹣5x2y）•xy2+（﹣5x2y）×3
＝﹣3x3y2+5x3y3﹣15x2y；
（3）a3﹣2a[2a2﹣3a（2a+2）]
＝a3﹣2a（2a2﹣6a2﹣6a）
＝a3﹣4a3+12a3+12a2
＝9a3+12a2．
7．①3a（2a﹣1）
②（x2﹣2y）（xy2）3
③（a2b2）（a2+ab﹣0.6b2）
④12ab[2a（a﹣b）b]
⑤（﹣a）3•（﹣2ab2）3﹣4ab2（7a5b4ab3﹣5）
【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【详解】解：①原式＝6a2﹣3a；
②原式＝（x2﹣2y）（x3y6）＝x5y6﹣2x3y7；
③原式＝2a4b2a3b3a2b4；
④原式＝12ab（b）＝33a2b﹣ab2；
⑤原式＝8a6b6﹣28a6b6﹣2a2b5+20ab2＝﹣20a6b6﹣2a2b5+20ab2．
题型一、单项式乘多项式法则
1．计算﹣2x（x2﹣y）正确的是（ ）
A．﹣2x3﹣yB．﹣2x3﹣2xyC．2x3﹣2xyD．﹣2x3+2xy
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【详解】解：﹣2x（x2﹣y）＝﹣2x3+2xy，
故选：D．
2．计算2x（3x2+1），正确的结果是（ ）
A．5x3+2xB．6x3+1C．6x3+2xD．6x2+2x
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式＝6x3+2x，
故选：C．
3．计算（﹣2a3+3a2﹣4a）（﹣5a5）等于（ ）
A．10a15﹣15a10+20a5B．﹣7a8﹣2a7﹣9a6
C．10a8+15a7﹣20a6D．10a8﹣15a7+20a6
【分析】根据单项式乘以多项式的法则，单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，单项式乘以单项式的法则，系数与系数相乘，相同字母与相同字母相乘，对于只在一个单项式里出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算即可．
【详解】解：（﹣2a3+3a2﹣4a）（﹣5a5）＝10a8﹣15a7+20a6．
故选：D．
4．计算：•ab＝ a2b3﹣a2b2 ．
【分析】利用单项式乘多项式的计算方法直接计算出结果即可．
【详解】解：•ab
ab2•ab﹣2ab•ab
a2b3﹣a2b2．
故答案为：a2b3﹣a2b2．
5．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（ ）
A．14B．9C．﹣1D．﹣6
【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案．
【详解】解：m（m﹣2）+（m+2）2
＝m2﹣2m+m2+4m+4
＝2m2+2m+4．
当m2+m＝5时，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14．
故选：A．
题型二、单项式乘多项式法则的计算
6．计算：
（1）；
（2）3x（x2﹣2x﹣1）﹣2x2（x﹣2）．
【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【详解】解：（1）
x3y2x2y3xy；
（2）3x（x2﹣2x﹣1）﹣2x2（x﹣2）
＝3x3﹣6x2﹣3x﹣2x3+4x2
＝x3﹣2x2﹣3x．
7．计算：
（1）；
（2）a（a+2b）﹣2b（a+b）；
（3）2m2﹣n（5m﹣n）﹣m（2m﹣5n）；
（4）﹣5x2（﹣2xy）2﹣x2（7x2y2﹣2x）．
【分析】（1）先根据积的乘方和单项式乘多项式法则即可求出答案．
（2）根据单项式乘多项式法则即可求出答案．
（3）根据单项式乘多项式法则以及整式的加减运算法则即可求出答案．
（4）先根据积的乘方、单项式乘多项式法则以及整式的加减运算法则即可求出答案．
【详解】解：（1）原式＝4x2（x2x+1）
＝4x4﹣2x3+4x2．
（2）原式＝a2+2ab﹣2ab﹣2b2
＝a2﹣2b2．
（3）原式＝2m2﹣5mn+n2﹣2m2+5mn
＝n2．
（4）原式＝﹣5x2•4x2y2﹣7x4y2+2x3
＝﹣20x4y2﹣7x4y2+2x3
＝﹣27x4y2+2x3．
8．计算：
（1）5m（m﹣n+2）；
（2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）；
（3）（3x2+xy﹣y2）•3x2；
（4）2a（﹣2abab2）．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可；
（4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
【详解】解：（1）5m（m﹣n+2）
＝5m•m﹣5m•n+5m×2
＝5m2﹣5mn+10m；
（2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）
＝（﹣2x）•3x2﹣（﹣2x）•4x﹣（﹣2x）×2
＝﹣6x3+8x2+4x；
（3）（3x2+xy﹣y2）•3x2
＝3x2•3x2+xy•3x2﹣y2•3x2
＝9x4+3x3y﹣3x2y2；
（4）2a（﹣2abab2）
＝2a•（﹣2ab）+2a•ab2
＝﹣4a2ba2b2．
题型三、单项式乘多项式法则求值问题
9．已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式x（x﹣4）+1的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】由条件可得x2﹣4x＝1，再把代数式x（x﹣4）+1展开计算可得答案．
【详解】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
x（x﹣4）+1＝x2﹣4x+1＝1+1＝2，
故选：A．
10．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（ ）
A．﹣1B．0C．1D．无法确定
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵ab2＝﹣1，
∴原式＝﹣（ab2）3+（ab2）2+ab2＝1+1﹣1＝1，
故选：C．
11．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．
【详解】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2
＝﹣7xy，
当x＝﹣4，y时，原式＝﹣7×（﹣4）14．
12．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
【详解】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．
题型四、单项式乘多项式法则看错算错问题
13．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．3xyB．﹣3xyC．﹣1D．1
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边＝﹣3xy（4y﹣2x﹣1）
＝﹣12xy2+6x2y+3xy．
右边＝﹣12xy2+6x2y+□，
∴□内上应填写3xy．
故选：A．
14．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（ ）
A．4x2﹣x+1B．x2﹣x+1
C．﹣12x4+3x3﹣3x2D．无法确定
【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．
【详解】解：x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1，
﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2，
故选：C．
15．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？
【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正确结果．
【详解】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣4x+1，
正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）＝﹣12x4+12x3﹣3x2．
16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（xy）＝3x2y﹣xy2xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x，y，求所捂多项式的值．
【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）计算即可．
（2）把x，y代入多项式求值即可．
【详解】解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x，y，
∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
题型五、单项式乘多项式法则字母含参问题
17．要使（x2+ax+1）•（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a＝ 0 ．
【分析】根据单项式与多项式相乘的法则展开，然后让x4项的系数等于0，列式求解即可．
【详解】解：（x2+ax+1）•（﹣6x3）＝﹣6x5﹣6ax4﹣6x3，
∵展开式中不含x4项，
∴﹣6a＝0，
解得a＝0．
故答案为：0．
18．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先利用多项式乘以单项式法则及合并同类项法则进行运算，再根据不含x的四次项，确定a的值．
【详解】解：原式＝﹣x5﹣ax4﹣x3+2x4
＝﹣x5+（2﹣a）x4﹣x3
∵﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，
∴2﹣a＝0，
解得，a＝2．
故选：B．
题型六、单项式乘多项式法则应用问题
19．一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4，2a，a，它的体积等于（ ）
A．3a3﹣4a2B．a2C．6a3﹣8a2D．6a2﹣8a
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【详解】解：由题意知，V长方体＝（3a﹣4）•2a•a＝6a3﹣8a2．
故选：C．
20．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．2a（a+b）＝2a2+2ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．
【详解】解：长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab，
即2a（a+b）＝2a2+2ab．
故选：B．
21．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据图写出一个代数恒等式是： 2a（a+b）＝2a2+2ab ．
【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．
【详解】解：长方形的面积等于：2a（a+b），
也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab，
即2a（a+b）＝2a2+2ab．
故答案为：2a（a+b）＝2a2+2ab
22．一块长方形硬纸片，长为（5a2+4b2）米、宽为6a2米，在它的四个角上分别剪去一个边长为a2米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）这个盒子的长为 （2a2+4b2）米 ，宽为 3a2米 ，高为 a2米 ；
（2）求这个无盖盒子的外表面积．
【分析】（1）盒子的长＝长方形的长﹣小正方形边长的2倍，盒子的宽＝长方形的宽﹣小正方形边长的2倍，盒子的高＝小正方形边长；
（2）利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积．
【详解】解：（1）盒子的长为：
（5a2+4b2）﹣2a2＝5a2+4b2﹣3a2＝（2a2+4b2）米；
盒子的宽为：
6a2﹣2a2＝6a2﹣3a2＝3a2米；
盒子的高为：a2米．
故答案为：（2a2+4b2）米，3a2米，a2米；
（2）纸片的面积是：（5a2+4b2）•6a2＝（30a4+24a2b2）平方米；
小正方形的面积是：（a2）2a4平方米；
则无盖盒子的外表面积是：（30a4+24a2b2）﹣4a4＝（21a4+24a2b2）平方米．
题型七、单项式乘多项式的新定义问题
23．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（ ）
A．72m2n﹣45mn2B．72m2n+45mn2
C．24m2n﹣15mn2D．24m2n+15mn2
【分析】根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果．
【详解】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2．
故选：B．
24．定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．
（1）3与 2或4 是关于1的单位数，x﹣3与 x﹣4 是关于1的单位数．（填一个含x的式子）
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，，判断A与B是不是关于1的单位数，并说明理由．
【分析】（1）根据关于1的单位数的定义，计算和确定3与x﹣3的单位数；
（2）计算A﹣B，根据关于1的单位数的定义判断．
【详解】解：（1）因为3﹣2＝1，4﹣3＝1，
所以3与2或4与3是关于1的单位数．
设x﹣3与M是关于1的单位数，
即x﹣3﹣M＝1，或M﹣（x﹣3）＝1
所以M＝x﹣4或M＝x﹣2．
故答案为：2或4；x﹣4．
（2）A与B是关于1的单位数．
理由：∵A﹣B＝3x（x+2）﹣1﹣2（x2+3x﹣1）
＝3x2+6x﹣1﹣3x2﹣6x+2
＝1
∴A与B是关于1的单位数．
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋•礼县期末）下列运算正确的是（ ）
A．﹣a8÷a3＝﹣a5B．x2⋅x3＝x6
C．（﹣2a）3＝8a3D．2x（x﹣y）＝2x﹣2xy
【分析】利用单项式多项式的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、﹣a8÷a3＝﹣a5，故A符合题意；
B、x2⋅x3＝x5，故B不符合题意；
C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C不符合题意；
D、2x（x﹣y）＝2x2﹣2xy，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2024秋•潜江月考）下列运算错误的是（ ）
A．m2•m3＝m5B．﹣x2+2x2＝x2
C．（﹣a3b）2＝a6b2D．﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2﹣2xy
【分析】根据相关计算法则分解计算出每个选项中式子的结果即可得到答案．
【解答】解：A、m2•m3＝m2+3＝m5，计算正确，不符合题意；
B、﹣x2+2x2＝x2，计算正确，不符合题意；
C、（﹣a3b）2＝a2×3b2＝a6b2，计算正确，不符合题意；
D、﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2+2xy，计算错误，符合题意．
故选：D．
3．（2024秋•思明区校级期中）若a2﹣2a﹣2＝3，则3a（a﹣2）的值为（ ）
A．3B．5C．9D．15
【分析】首先把3a（a﹣2）化成3（a2﹣2a﹣2）+6，然后把a2﹣2a﹣2＝3代入化简后的算式计算即可．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣2＝3，
∴3a（a﹣2）
＝3a2﹣6a
＝3（a2﹣2a﹣2）+6
＝3×3+6
＝9+6
＝15．
故选：D．
4．（2023秋•衡阳期末）若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．﹣3B．C．0D．3
【分析】首先将（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2展开，合并同类项得﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x；接下来根据结果中不含有x2项可得﹣2a﹣6＝0，至此，就能求出a的值了．
【解答】解：原式＝﹣2x3﹣2ax2﹣10x﹣6x2
＝﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x，
∵结果中不含有x2项，
∴﹣2a﹣6＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
5．（2024秋•邓州市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（ ）
A．3xyB．﹣3xyC．﹣1D．1
【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行运算判断即可．
【解答】解：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y+3xy，
故■内应填写3xy．
故选：A．
6．（2024秋•柘城县期中）给出一种运算：a⊗b＝（a+b）b，如2⊗3＝（2+3）×3＝15，若方程2⊗x＝k的一个根为3，则另一个根为（ ）
A．5B．﹣5C．10D．﹣10
【分析】根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据根与系数的关系求出另一个根即可．
【解答】解：由题意可知x2+2x﹣k＝0，
设方程的另一个根为m，则：m+3＝﹣2，
∴m＝﹣5，
∴方程的另一个根为﹣5．
故选：B．
7．（2024秋•商水县期中）要使（﹣x）（x2﹣mx+2x）的展开式中不含x2的项，则m的值是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．3
【分析】先把多项式合并，然后令x2项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（﹣x）（x2﹣mx+2x）＝﹣x3+（m﹣2）x2不含x2项，
∴m﹣2＝0，
解得m＝2．
故选：C．
8．（2024秋•通州区期中）计算的结果是（ ）
A．3m2n+mn2B．
C．D．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：

．
故选：C．
9．（2024秋•中山区期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A．a+3bB．2a+6bC．ab+2bD．ab+2b2
【分析】根据单项式乘多项式法则求解即可．
【解答】解：长方形的面积为＝b（a+2b）＝ab+2b2．
故选：D．
10．（2024秋•南阳月考）已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（ ）
A．0B．4C．﹣4D．2
【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出A•B的值是多少，然后用它加上C，求出A•B+C的值是多少，最后根据A•B+C的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可．
【解答】解：∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，
∴A•B+C
＝（x2+3x﹣a）（﹣x）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5
＝ax+5，
∵A•B+C的值与x的取值无关，
∴a＝0，
∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x，
当x＝﹣4时，A＝（﹣4）2+3×（﹣4）＝4，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋•嘉定区校级期中）（﹣x3）2﹣x4（2x2﹣x+1）＝ ﹣x6+x5﹣x4 ．
【分析】根据积的乘方法则、单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（﹣x3）2﹣x4（2x2﹣x+1）
＝x6﹣2x6+x5﹣x4
＝﹣x6+x5﹣x4，
故答案为：﹣x6+x5﹣x4．
12．（2024秋•内江期中）若a2+3a＝2，则代数式5a（a+3）﹣2的值是 8 ．
【分析】根据5a（a+3）﹣2＝5（a2+3a）﹣2进行求解即可．
【解答】解：∵a2+3a＝2，
∴5a（a+3）﹣2
＝5（a2+3a）﹣2
＝5×2﹣2
＝10﹣2
＝8，
故答案为：8．
13．（2024秋•仁寿县期中）若﹣5x3（x2+ax）+5x4+2的结果中不含x4项，则a＝ 1 ．
【分析】先利用单项式乘多项式的法则计算，根据结果中不含x4项即可确定出a的值．
【解答】解：原式＝﹣5x5﹣5ax4+5x4+2
＝﹣5x5+（5﹣5a）x4+2，
∵不含x4项，
∴5﹣5a＝0，
解得a＝1，
故答案为：1．
14．（2024秋•长宁区校级期中）计算： 4x4y﹣6x3y2+3x2y3 ．
【分析】根据单项式乘多项式、单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：

＝4x4y﹣6x3y2+3x2y3，
故答案为：4x4y﹣6x3y2+3x2y3．
15．（2024秋•龙亭区校级期中）已知关于多项式（a﹣3）x2+（4+b）x﹣3y2+5的值与x无关，则（a+b）2024的值为 1 ．
【分析】根据多项式的定义、乘方的运算法则即可得解．
【解答】解：由条件可知：a﹣3＝0，4+b＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2024＝（3﹣4）2024＝（﹣1）2024＝1，
故答案为：1．
16．（2023秋•任城区校级月考）阅读材料回答问题：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）
∵上式为恒等式，
∴当x时，，
即．
解得：m．
若多项式x4+mx2+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），则mn＝ ﹣450． ．
【分析】根据范例进行分解因式即可．
【解答】解：设x4+mx2+nx﹣16＝B（x﹣1）（x﹣2）（B为整式），
∵上式为恒等式，
∴当x＝1或x＝2时，等号右侧都为0，
∴，
整理得，
解，
mn＝﹣15×30＝﹣450．
故答案为：﹣450．
三．解答题（共7小题）
17．（2023秋•昆明期末）计算：
（1）（﹣2x）×（3x﹣1）；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则直接进行计算即可；
（2）先算除法，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣2x）×（3x﹣1）＝﹣6x2+2x；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝4a2﹣2a+1．
18．计算：
（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）；
（2）﹣2x2y（3xy2﹣2y2z）；
（3）（a）•（a2a）；
（4）（4a﹣b）•（﹣2b）2．
【分析】（1）利用幂的乘方和单项式乘多项式的运算法则运算，最后合并同类项；
（2）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（3）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可；
（4）先利用幂的乘方运算，再利用单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4
＝2x6﹣12x5﹣6x4；
（2）原式＝﹣6x3y3+4x2y3z；
（3）原式a；
（4）原式＝（4a﹣b）•（4b2）
＝16ab2﹣4b3．
19．计算：
（1）（﹣2xy）（3x2﹣2xy﹣4y2）；
（2）（m2nmn+1）•（﹣6m3n）；
（3）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）；
（4）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）．
【分析】（1）（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（3）先算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案；
（4）根据单项式乘多项式的运算法则分别进行计算，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣2xy）（3x2﹣2xy﹣4y2）＝﹣6x3y+4x2y2+8xy3；
（2）（m2nmn+1）•（﹣6m3n）＝3m5n2+2m4n2﹣6m3n；
（3）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）＝﹣36x5y4﹣45x4y5﹣54x5y2+9x4y2；
（4）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）＝﹣6a2+15a﹣2a+6a2＝13a．
20．（2024秋•武冈市期中）已知（2a﹣4）x2+（b+3）xy﹣（b﹣3）x+（2a+4）y﹣7是关于x、y的多项式，若该多项式不含二次项，试求3a+3b的值．
【分析】先根据多项式的项、次数与常数项求出a和b的值，然后代入3a+3b计算即可．
【解答】解：由原多项式不含二次项可知：2a﹣4＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴原式＝3×2+3×（﹣3）＝6﹣9＝﹣3．
21．（2023秋•南昌期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式
如下：
×（xy）＝3x2y﹣xy2xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x，y，求所捂多项式的值．
【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）计算即可．
（2）把x，y代入多项式求值即可．
【解答】解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x，y，
∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
22．（2024秋•铁西区期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积．
【分析】根据题意列式化简即可．
【解答】解：根据题意，（平方米）．
故停放自行车的面积为平方米．
23．（2024春•青龙县期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
（1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2；
（2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设
该居民健身场所所需的地面总费用M（元）．
【分析】（1）根据长方形面积公式即可求解；
（2）代入（1）中的式子计算即可；
（3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可．
【解答】解：（1）S1＝b（3a+1）＝3ab+b（平方米），
S2＝5a×2b﹣b（3a+1）＝7ab﹣b（平方米）；
（2）当a＝9米，b＝15米时，
S1＝3×9×15+15＝420（平方米），
S2＝7×9×15﹣15＝930（平方米）；
（3）M＝420×100+930×50＝88500（元）．