2025年中考数学二轮复习：二次函数新定义问题 专题练习题汇编（含答案解析）

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一、解答题
1．【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．
【背景】已知二次函数（为常数），
(1)若记“三倍点”的横坐标为，则点的坐标可表示为 ；
(2)若该函数经过点；
①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
②在范围中，记二次函数的最大值为，最小值为，求 的值；
(3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出的取值范围．
2．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”
(1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(2)动点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；
(3)关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围．
3．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为．
(1)判断函数的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由．
(2)若二次函数的图像上存在两个“不动点”A，B，当时，求b的值；
(3)已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出m的值．
4．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
(1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”；
(2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求的值；
(3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：若点的坐标为，则称点为点的“倍点”．
(1)①若点，点为点的“倍点”，则点的坐标为________；
②当是直线与轴的交点时，点的“倍点”的坐标为________；
(2)已知点，，，．
①若对于直线上任意一点，在直线上都有点，使得点为点的“倍点”，求的值；
②点是抛物线上任意一点，若在四边形的边上存在点的“倍点”，且，直接写出的取值范围．
6．定义：
在平面直角坐标系中，图象上任意一点Px,y的纵坐标与横坐标的差即的值称为点的“坐标差”；例如：点的“坐标差”为，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”．
理解：
（1）求二次函数的图象的“特征值”；
运用：
（2）若二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴，轴的交点，且点与点的“坐标差”相等，求此二次函数解析式；
拓展：
（3）如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，点在轴上，二次函数的图象的顶点在“坐标差”为的函数图象上．
当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式；
当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出的取值范围．
参考公式：．
7．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1．
(1)函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界；
(2)如果以10为上确界的有上界函数，求的值；
(3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
8．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．
(1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ；
(2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ；
(3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ．
9．综合运用
对于平面直角坐标系中点，和图形W，给出如下定义：过点P，Q都分别作x轴和y轴的垂线，四线的另两个交点分别为M，N．若图形W中的任意一点 满足且，则称四边形是图形W的一个覆盖，称P，Q为图形W的覆盖点．若：，取满足条件的最大值，，取满足条件的最小值，此时称P，Q 为图形W的最小覆盖点．例：已知，，则点， 为线段的最小覆盖点．
(1)已知点，点，点．
①的最小覆盖点为 ．
②若的其中一个覆盖点在直线上，求m的取值范围．
(2)以点为圆心，半径为3作圆，的最小覆盖点均在抛物线 上，求该抛物线的顶点坐标．
10．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标．
11．定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图像的“2倍点”．例如，点是函数的图像的“2倍点”．
(1)一次函数的图像的“2倍点”的坐标是________，二次函数的图像的“2倍点”的坐标是________；
(2)若关于x的二次函数（c为常数）的图像在上存在两个“2倍点”，求c的取值范围；
(3)设关于x的函数的图像上有且只有一个“2倍点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图像上有两个“2倍点”分别为点B，点C（点B在点C的左侧），且，求m，n的值．
12．定义：在平面直角坐标系中，点、点，若，则称点M、N互为正等距点，叫做M、N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0．例如，点、互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
(1)判断函的图像是否存在点A的正等距点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线上，求k的值；
(3)若抛物线上不存在点A的正等距点，请直接写出a的取值范围．
13．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”
(1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则m= ．
(2)求直线与抛物线的交点坐标，并判断这个交点是不是抛物线上的“梅岭点”；
(3)若抛物线的“梅岭点”为A、B，顶点为C，求的面积．
14．新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”．如：一次函数，无论值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的“永恒点”．
【初步理解】一次函数的永恒点的坐标是 ；
【理解应用】二次函数落在轴负半轴的永恒点的坐标是 ，落在轴正半轴的永恒点的坐标是 ；
【知识迁移】点为抛物线的顶点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
15．定义：若一个函数图象上存在坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”例如，点和是函数图象的“等距点”．
(1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数图象的“等距点”为、，函数图象的“等距点”为，若的面积为时，请直接写出满足条件的函数的表达式；
(3)若函数图象只存在个“等距点”，试求出的取值范围．
16．定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．
(1)函数①；②；③中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；
(2)若反比例函数，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；
(3)求函数图象的“3倍平点”的坐标．
17．定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点和为“反射对称点”、如：点（1，3）和（-3，-1）是一对“反射对称点”．
(1)下列函数：①；②；③，其中图像上存在，“反射对称点”的是________（填序号）
(2)直线与反比例函数的图像在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反射对称点”，若，求k的值；
(3)抛物线上是否存在一对“反射对称点”？如果存在，求出这一对“反射对称点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．
18．定义：平面直角坐标系中，若点绕原点顺时针旋转，恰好落在函数图象上，则称点为函数图象的“直旋点”．例如，点是函数图象的“直旋点”．
(1)在①，②，③三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有_____（填序号）；
(2)若点为反比例函数图象的“直旋点”，求的值；
(3)二次函数与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，求点坐标．
19．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点”．
(1)分别判断的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．
(2)如图①，设函数的图象上的“互反点”分别为点过点B作轴，垂足为C．当的面积为5时，求b的值；
(3)如图②，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．
(1)点的“可控变点”坐标为 ；
(2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标；
(3)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围．
21．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，那么称点是点，的伴融合点，例如：，，当点满足，时，则点是点，的伴融合点．
(1)已知点，，．请说明其中一个点是另外两个点的伴哪个点的融合点；
(2)如图，点是直线上且在第三象限的一动点，点是抛物线上一动点，点是点，的伴融合点．
①所有的点中是否存在最高点？若存在，求出最高点坐标，如不存在，请说明理由．
②若当点运动到某个位置时，在点的运动过程中恰好有两个点，，落在抛物线上，则记为点，的水平宽度．若，求在点运动的范围．（可用点的横坐标的范围表示）
22．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
(1)在点中，点______是线段AB关于原点O的“伴随点”；
(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
(3)已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
23．对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题：如图，已知抛物线的图象与x轴交于O，A两点，且过点．
(1)求抛物线C的解析式和点A坐标；
(2)若将抛物线C的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线D的图象．
①抛物线D的解析式为_______．
②设M为抛物线D上任意一点，轴于点N，求的最小值；
24．在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线给出如下定义：过抛物线C上一点作垂直于x轴的直线，交直线l于点，若存在实数满足，则称点是抛物线C的“如意点”，点P关于直线l的对称点Q为点P与抛物线C的“称心点”．
(1)若，
①在点，，，中，抛物线C的“如意点”是______；
②若点D是抛物线C的“如意点”，点E是点D与抛物线C的“称心点”，直接写出的最大值______；
(2)若边长为的正方形边上的点都是抛物线C的“如意点”或某点与抛物线C的“称心点”，直接写出b的最小值______．
25．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、 都是“基准偶和点”．
(1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是 ；（填序号）
①；②；③；
(2)已知抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式；
(3)抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令 是否存在一个常数t，使得当时，w有最小值恰好等于，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
26．定义：若，满足，且(为常数)，则称点为“轮换点”，
(1)若是“轮换点”，求的值；
(2)若抛物线上存在“轮换点”，求的取值范围：
(3)若双曲线()上存在“轮换点”，请判断点是否在该双曲线上，并说明理由．
27．定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”．
(1)有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号）．
(2)已知抛物线（m，n均为常数） 与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数解析式．
(3)若抛物线（a，b是常数，）上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
28．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“级方点”．
例如，点为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”．
(1)下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是______（只填序号）；
①；②；③．
(2)已知关于的二次函数，
①当时，该函数图象的“2级方点”的坐标是______；
②当该函数图象的“级方点”恰有三个时，求的值．
29．新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点．则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线上存在的“朴实点”是．
(1)判断直线上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；
(2)若抛物线上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为，求k的值；
(3)若二次函数的图象上存在唯一的“朴实点”，且当时，n的最小值为，求t的值．
30．在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“沉毅点”．例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点．
(1)若直线上点M的“沉毅点”是，求点M的坐标；
(2)若双曲线上点P的“沉毅点”为点Q，且=4，求k的值；
(3)若点P在函数上，其“沉毅点”Q的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范围．
参考答案：
1．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据“三倍点”的定义，即可求得答案；
（2）①将点代入，可得的值，再将代入，解方程即可；
②利用二次函数的顶点式求得和的值，即可求得答案；
（3）由题意可得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求得答案．
【详解】（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得．
故答案为：．
（2）①将点代入，得：，
解得：，
∴，
将代入，得：，
解得：，
∴函数图象上的“三倍点”坐标为．
②∵，
∴，
当时，，
当时，，
∴，
∴．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，
解得：；
把代入得，代入得，
∴，
解得：；
把代入得，代入得，
∴，
解得：，
综上，的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，根的判别式的应用和新定义“三倍点”的理解与应用，根据“三倍点”的定义结合二次函数的相关性质是解题的关键．
2．(1)不存在，理由见解析
(2)见解析
(3)且
【分析】（1）根据定义解答即可；
（2）先求出两直线的关系式，再将代入关系式，讨论得出结论；
（3）由定义可知“1级变换点”都在函数的图象上，再将两个函数关系式联立，根据图像有交点求出，进而确定两个图象的交点为，然后分和两种情况讨论，即可得出答案．
【详解】（1）解：不存在，理由如下：
根据定义可知的k级变换点为，
将点代入函数，得，
无解，所以不存在；
（2）解：点的“k级变换点”为，
∴直线和直线的关系式为，，
当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：二次函数的图象的点的“1级变换点”都在函数的图象上，
即，
整理，得，
，
函数的图象和直线有公共点，
由的公共点是．
当时，，得，
又，
解得，
∴且；
当，时，两个图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
所以n的取值范围是且．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解，反比例函数的性质，求一次函数的关系式，二次函数图象和性质，理解“k级变换点”是解题的关键．
3．(1)函数图象上的“不动点”坐标为和
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，
（1）在中，令求解即可判断函数图象上的“不动点”坐标；；
（2）联立抛物线与直线解析式，根据根与系数的关系以及勾股定理建立方程，即可求解．
（3）根据题意画出图形，当直线过点A时，符合题设条件，即可求解．
【详解】（1）解：在中，令得，
解得或，
函数图象上的“不动点”坐标为和；
（2）解：联立和抛物线的表达式得：，
∴
则，，
∵
∴
∴，
解得：；
（3）解：如图所示，当直线过点时，符合题意，
令
∴
则
将点代入，得
解得：或（舍去）
∴．
4．(1)是“定点抛物线”
(2)
(3)
【分析】（1）把点代入计算，再根据“定点抛物线”的定义判定即可求解；
（2）根据“定点抛物线”的定义可得当时，，再根据抛物线与直线交点的计算，联立方程，由根与系数的关系得到，得到，由此即可求解；
（3）一次函数的图象与定点抛物线有交点，联立方程可得∴，即，根据横坐标的特点得到或，根据，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴二次函数的图象经过点，
∴是“定点抛物线”；
（2）解：∵抛物线是定点抛物线，
∴当时，，
∴，
∵定点抛物线与直线只有一个公共点，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
解得，；
（3）解：根据题意，，
整理得，，
∴，即，
∴或，
∴交点的横坐标为或，
∵，
∴，
解得，，
∴的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查一次函数，一次函数图形的性质，交点坐标的计算，求不等式的解集，掌握一次函数与二次函数交点联立方程求解，一次函数与二次函数图象的性质是解题的关键．
5．(1)①；②
(2)①；②
【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，涉及新定义“倍点”，解题的关键是读懂题意，理解“倍点”的概念．
（1）①根据“倍点”的定义，点的“倍点”为，即；②求出，即可得点的“倍点”的坐标；
（2）①由，得直线解析式为，设，可得，代入得，可得等式对任意的都成立，然后问题可求解；
②设，若点的“倍点”为，则，可得；同理若点的“倍点”为得；若点的“倍点”为得；若点的“倍点”为得，故当时，的“倍点”在边上；当时，的“倍点”在边上；当时，的“倍点”在边上；当时，的“倍点”在边上，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）①根据“倍点”的定义，点的“倍点”为，即，
故答案为：；
②在中，令得，
∴，
点的“倍点”的坐标为；
故答案为：；
（2）解：①设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线解析式为，
设，
在直线上都有点，使得点为点的“倍点”，
∴，
把代入得：，
∴，即对任意的都成立，
∴，
解得：；
②设，
若点的“倍点”为，则，
解得，
，
∴；
同理若点的“倍点”为，可得；若点的“倍点”为，可得；若点的“倍点”为，可得，
当时，的“倍点”在边上；
当时，的“倍点”在边上；
当时，的“倍点”在边上；
当时，的“倍点”在边上；
在四边形的边上存在点的“倍点”，且，
的取值范围是．
6．（1）
（2）
（3）或；
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，矩形的性质等知识点，数形结合并分类求解是解题的关键．
（1）写出的解析式，它是一个二次函数，将其改写为顶点式，即可求出其最大值，于是可得原二次函数的图象的“特征值”；
（2）由题意可得点的坐标，根据点和点的“坐标差”相等，可得出点的坐标，将点、的坐标代入抛物线表达式可得，则；写出的解析式，它是一个二次函数，将其改写为顶点式，因其最大值等于，于是可得关于的一元二次方程，解得，即可得出，于是可得出原二次函数的解析式；
（3）由“坐标差”为可得一次函数解析式为，又因二次函数的图象的顶点在该一次函数上，因此可将该二次函数解析式写为，此时分两种情况；第一种情况：当抛物线顶点为点时，抛物线与矩形有三个交点，把代入，求出，即可求出此种情况下的二次函数解析式；第二种情况：当抛物线经过点时，抛物线与矩形有三个交点，把代入，求出，即可求出此种情况下的二次函数解析式；当时，，当时，，据此即可求解．
【详解】解：（1），
的“特征值”为；
（2）由题意得：点的坐标为，
点和点的“坐标差”相等，
点的坐标为，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
的“特征值”为，
则，
解得：，
，
此二次函数解析式为；
（3）“坐标差”为的一次函数，
，
，
二次函数的图象的顶点在该一次函数上，
设为：，
直线与交于点，
第一种情况：当抛物线顶点为点时，抛物线与矩形有三个交点，
把代入，
解得：，（不合题意，舍去），
，
此二次函数解析式为；
第二种情况：当抛物线经过点时，抛物线与矩形有三个交点，
把代入，
解得：，（不合题意，舍去），
，
此二次函数解析式为；
当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，此二次函数的解析式为或；
当时，，当时，，
，
当时，二次函数的图象与矩形的边有四个交点．
7．(1)有上确界，上确界为0
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
（1）根据上确界的定义，结合二次函数的性质即可求解；
（2）根据上确界的定义，结合一次函数的性质即可求解；
（3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标，
有上确界，上确界为0；
（2）解：∵，
∴随值的增大而增大，
∵以10为上确界的有上界函数，
∴，
∴；
（3）解：的对称轴为直线，开口向下，
当时，则，
的最大值为，
为上确界，
，
解得：或（舍去）；
当时，则，
的最大值为，
∵为上确界，
，
解得：或（舍去）；
当时，则，
的最大值为，
为上确界，
∴，
∴，
∴无解．
综上所述：的值为或．
8．(1)
(2)，
(3)，或，
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上；
（2）把代入求出解析式，再求于的交点即为；
（3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可．
【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，，
当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或，
当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或，
点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”，
故答案为： ；
（2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，
把代入得，
∴，
“和谐点”的横坐标和纵坐标相等，
“和谐点”都在的图象上，联立得：，
解得或，
，
直线的解析式为，
故答案为：，；
（3）解：点，是抛物线上的“和谐点”，
，
即，
解得，，
当时，，当时，，
∴点，的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
9．(1)①，；②
(2)
【分析】（1）①首先根据题意画出图形，然后根据最小覆盖点的概念求解即可；
②根据题意分当左下方覆盖点在直线上时和当右上方覆盖点在直线上时两种情况讨论，然后分别求解即可；
（2）首先求出的最小覆盖点为−1,1，，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，然后转化成顶点式求解即可．
【详解】（1）①如图所示，分别过点A，B，C作x轴和y轴的垂线，
∴围成的矩形的左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为
∴由最小覆盖点的概念可得，的最小覆盖点为，；
②当左下方覆盖点在直线上时，
分情况如下：
a．当时， ，
∵，m随x增大而增大，
∴；
b．当时，，
∵，
∴，
∴当左下方覆盖点在直线上时，；
当右上方覆盖点在直线上时，分情况如下：a．当时，，
∵，m随x增大而增大，
；
b．当时，，
∵，
；
∴当右上方覆盖点在直线上时，；
综上所述，当时，的其中一个覆盖点在直线上；
（2）如图所示，由题意得的最小覆盖点为−1,1，，
代入，得
解得
∴该抛物线顶点坐标为 ．
【点睛】此题考查了坐标与图形，一次函数和几何综合题，待定系数法求二次函数的解析式等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
10．(1)①②
(2)的值为或或或；
(3)
【分析】（1）根据“平衡点”的定义求解即可；
（2）先求得；，，从而得，，，然后分类讨论秋季即可；
（3）设，由，得抛物线的顶点为，从而得点关于的对称点为，旋转后的抛物线解析式为，再根据新定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，
在中，令得，
∴x=1或x=−1，
∴当x=1时y=−1，当x=−1时，，
∴的图象上存在“平衡点”−1,1和，
同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”；
故答案为：①②；
（2）解：在中，令得，
解得或，
，
；
在中，令得，
解得，
当时，，
，，，
若，则，
解得；
若，则，
解得或；
若，则，
解得或（此时，重合，舍去）；
的值为或或或；
（3）解：设，
，
抛物线的顶点为，
点关于的对称点为，
旋转后的抛物线解析式为，
在中，令得：
，
，
旋转后的图象上恰有个“平衡点”
有两个相等实数根，
，即，
，
∴的纵坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数求自变量的值，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．(1)，或
(2)
(3)，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图像与系数的关系．
（1）分别令，然后求得方程的解即可；
（2）令，可得时抛物线与直线有两个交点；
（3）令，根据判别式等于0可得的值，从而可得点坐标，令可得点，的横坐标，根据即可得出的值．
【详解】（1）解：，解得：，
∴一次函数的图像的“2倍点”的坐标是，
，解得：或，
∴二次函数的图像的“2倍点”的坐标是或，
故答案为：；或；
（2）解：∵若关于x的二次函数（c为常数）的图像在上存在两个“2倍点”，
∴令，则有两不等根，
∴，
解得：，
∴时抛物线与直线有两个交点，
∴c的取值范围为；
（3）解：令，则，
关于的函数的图象上有且只有一个“2倍点”，
，
．
将代入得，
解得，
，
令，
解得或x=2，
∵，
∴，
∵点B在点C的左侧，
点坐标为，点坐标为，
∴，，
∵，
∴，
解得，
综上，，．
12．(1)存在，
(2)或
(3)
【分析】（1）设的正等距点为，且正等距为m，根据正等距点的定义推算出x和y关于m的表达式，再带入反比例函数建立方程，解方程即可得到答案；
（2）根据正等距等于4求出正等距的坐标，再带入一次函数的解析式即可求得答案；
（3）假设存在，且A的正等距点，可得它的轨迹是直线，求直线和抛物线的交点，根据当时无解，建立不等式即可求得答案．
【详解】（1）解：设的正等距点为，且正等距为m，
由，可得，，
∴
若反比例函数的图像上，
得，
解方程得，则，，
∵，
∴，
故
∴；
（2）解：由题意得，，
∴或，故或，分别代入，
∴或；
（3）解：假设存在，则A的正等距点，
∴它的轨迹是直线，
∴，
整理得，，
∵它与抛物线无交点，
∴，
∴．
【点睛】本题综合考查反比例函数、一次函数和二次函数的综合，解题的关键是根据互为正等距点的定义设坐标计算，需要注意互为正等距点与正等距之间的符号区别．
13．(1)
(2)交点坐标为或，为抛物线的“梅岭点”
(3)
【分析】（1）将代入中求解即可；
（2）联立，解得：或，得出交点或，由“梅岭点”定义即可判断；
（3）根据求出，不妨令、，再求出，然后将三角形放到矩形中进行求解面积．
【详解】（1）解：点是一次函数的图象上的梅岭点，
，
解得：，
故答案为：；
（2）解：联立，
解得：或，
即交点坐标为或，
根据“梅岭点”的定义可知，或为抛物线的“梅岭点”；
（3）解：，
，
解得：，
即、，
又因为顶点，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、一次函数，解题的关键是理解应用新定义“梅岭点”．
14．初步理解：；理解应用：，；知识迁移：为定值
【分析】本题考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形的性质：
初步理解：解析式变形为，求解即可；
理解应用：由二次函数变形为，求解即可；
知识迁移：由题意可得：，，作辅助线如解析图，则，，，，，，构建相似三角形，找出比例关系即可．
【详解】解：初步理解：由一次函数变形为，
当时，无论m值如何变化，，
故一次函数必过一定点．
故答案为：．
理解应用：由二次函数变形为，
当时，无论m值值如何变化，
当时，无论值如何变化，，
故二次函数必过定点，．
所以二次函数落在x轴负半轴的定点A的坐标是，落在x轴正半轴的定点B的坐标是；
故答案为：，．
知识迁移：是定值，定值为2
由题意得
，
由上一小题得：，
作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，则，，，，分别过点P、B作直线的垂线，垂足为Q、C，则，，，
，，
，，
，
即
为定值．
15．(1)存在，或或；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查新定义题型的理解，掌握一次函数，二次函数及反比例函数理解题意是解题关键．
（1）根据题中“等距点”的定义列出方程求解即可；
（2）先求出反比例函数及一次函数图象上的“等距点”，然后由三角形面积列出方程求解即可；
（3）根据“等距点”列出一元二次方程，再由题意中恰好有2个“等距点”，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：存在“等距点”，
令，
解得，，
函数的图象上有两个“等距点”或，
令，
解得，，
函数的图象上有两个“等距点”或，
综上所述，函数的图象上有三个“等距点”或或；
（2）解：令，
解得，，
则，，
，
令，
解得：，
则点，
，
，
，
即，
解得：，
则；
（3）解：令，
整理得：，
△，
当时，△，
此时在一、三象限有2个“等距点”．
令，
整理得，，
则△，
则当时，△，
此时在二四象限有2个“等距点”．
函数图象恰存在2个“等距点”，
∴．
16．(1)②
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象的“n倍平点”的定义逐个进行判断即可；
（2）设，则，把代入得，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出，即可求出答案；
（3）当时，，当时，，分两种情况，根据函数图象的“n倍平点”的定义分别计算即可得出结论．
【详解】（1）当时，
①设，则，
当时，，
∴点不在的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
②设，则，
当时，，
∴点在的图象上．
∴该函数图象存在“2倍平点”．
③设，则，
当时，，
∴点不在的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
故答案是②；
（2）设，则，
把代入得，
，即，
∵图象恰有1个“n倍平点”，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）当时，，
设，则，
把代入得，
，
解得：，
∴，．
∴，．
当时，，
设，则，
把代入得，
，
解得：，
∴，．
∴，．
综上所述，函数图象的“3倍平点”的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n倍平点”是解题的关键．
17．(1)①②③
(2)
(3)存在，中点坐标为或
【分析】(1)根据定义，把点，分别代入函数解析式，解方程组即可；
(2)根据题意，用的代数式将坐标表示出来，然后根据列出方程求出即可；
(3)假设存在一对“反射对称点”，，由此得到线段中点坐标为，再将，两点代入中联立方程组求出的值即可．
【详解】（1）解：对于，若，是一对“反射对称点”，
则，得到，此时方程组有无数组解，
∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；
对于，若，是一对“反射对称点”，
则，得到，此时方程组有无数组解，
∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；
对于函数，若，是一对“反射对称点”，
则，得到，
∴函数图像上存在唯一一对“反射对称点”，
故答案为：①②③；
（2）解：联立方程组，
∴，
∴，
∵且点在第一象限，
∴，
∵点和点为一对“反射对称点”，
∴，
设直线解析式为，代入两点坐标，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
设直线与轴交于点，过作于点，过作于点，如下图所示，则，
∴
整理得到：，
又已知，
∴，
解得；
（3）解：假设抛物线上存在一对“反射对称点”，，则线段的中点坐标为，
∴，
①－②并整理得到：，
当即时，回代方程①得到，解得或，若此时重合，舍去；若时，，线段中点坐标为；
当时，即时，回代方程①得到，解得或，
当时，，此时，，此时线段中点坐标为；
当时，，此时，，此时线段中点坐标为；
综上所述，线段中点坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数和二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，能理解应用新定义是解题的关键．
18．(1)②③
(2)
(3)或
【分析】（1）分别写出三个点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标，逐个验证是否在一次函数图象上即可；
（2）把点绕原点顺时针旋转得到的点的坐标代入即可得到答案；
（3）先求出点A、B、C的坐标，再求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点D绕原点顺时针旋转得到点，根据点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，得到关于m、n的方程组，解方程组即可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：①绕原点顺时针旋转得到，
当时，，故不是一次函数图象的“直旋点”，
②绕原点顺时针旋转得到，
当时，，故是一次函数图象的“直旋点”，
③绕原点顺时针旋转得到，
当时，，故是一次函数图象的“直旋点”，
故答案为：②③
（2）点绕原点顺时针旋转得到，
∵点为反比例函数图象的“直旋点”，
∴点满足，代入可得，，
解得；
（3）当时， ，解得
∴点，
当时，，
∴点,
设直线的解析式为，
则
解得，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标为，则点D绕原点顺时针旋转得到点，
∵点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，
∴点在二次函数图象上，在直线上，
∴，
解得，，
∴点坐标为或
【点睛】此题考查了反比例函数、一次函数、二次函数、待定系数法、点的旋转等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
19．(1)的图象上不存在“互反点”；是的图象上的“互反点”
(2)或
(3)或
【分析】（1）由定义可知，函数与的交点即为“互反点”；
（2）求出，，可得，求出b的值；
（3）函数关于直线的对称抛物线解析式为，联立方程组，当时，，因此当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，结合图象可知：时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【详解】（1）解：中，，
∴的图象上不存在“互反点”；
中，当时，，
解得或，
是的图象上的“互反点”；
（2）解：中，当时，，
解得，
，
中，当时，，
解得，
，
，
∴，
解得或；
（3）解：函数关于直线的对称抛物线解析式为，
由定义可知，“互反点”在直线上，
联立方程组，
整理得，
，
解得，
当时，与没有交点，此时与有两个交点，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当时，，
∴函数与直线的交点为，
当点在直线上时，，解得或，
当时，两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”；
综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
20．(1)（﹣5，2）
(2)或3
(3)
【分析】（1）根据定义直接解答即可；
（2）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）∵-5