2023年中考数学二轮复习压轴题培优练习专题30代数中的新定义问题（教师版）

这是一份2023年中考数学二轮复习压轴题培优练习专题30代数中的新定义问题（教师版），共34页。
专题30代数中的新定义问题

【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）设A（a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入中，根据为整数可解答．
【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，
∴357不是“和倍数”；
∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）设A（a+b+c＝12，a＞b＞c），
由题意得：F（A），G（A），
∴，
∵a+c＝12﹣b，为整数，
∴7（1﹣b），
∵1＜b＜9，
∴b＝3，5，7，
∴a+c＝9，7，5，
①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，
则A＝732或372；
②当b＝5，a+c＝7时，，
则A＝156或516；
③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．
【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…tn），其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）．
例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：
新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊗N（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1），有M⊗N（0+0+2）＝1．
（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有：　（0，0，0），（1，1，0）　；
（2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A⊗B＝　2　；
（3）已知完美数组M＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝2；
（4）现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足C⊗D＝0；则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．
【分析】（1）根据定义直接判定即可；
（2）根据定义直接计算即可；
（3）由定义可知当x＝y时，x*y＝2x，当x≠y时，x*y＝0，当x*y＝2x时，x*y＝2或0，再由此求解即可；
（4）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可．
【解答】解：（1）∵（0，0，0），（1，1，0）都是由 0或1组成的，并且都是含有3个数，
∴（0，0，0），（1，1，0）是3元完美数组，
故答案为：（0，0，0），（1，1，0）；
（2）∵A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），
∴A⊗B（1*1+0*1+1*1）（2+0+2）＝2，
故答案为：2；
（3）∵x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，
∴当x＝y时，x*y＝2x，当x≠y时，x*y＝0，
当x*y＝2x时，x*y＝2或0，
∵M⊗N＝2，
∴x1*y1+x2*y2+x3*y3+x4*y4＝4，
∴N＝（1，1，0，1）或（1，0，1，1）或（0，1，1，1）或（1，1，0，0）或（1，0，1，0）或（0，0，1，0）；
（4）∵C⊗D＝0，
∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，
∵C、D是不同的两个完美数组，
∴C、D中对应的元都不相等，
∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同，
当C（1，0，1，0，…，1）则D（0，1，0，1，…，0）．
【例3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1），T（m，﹣2）．
（1）填空：T（4，﹣1）＝　　（用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值．
【分析】（1）利用新运算的规定解答即可；
（2）①利用新运算的规定得到关于a，b的方程，解方程即可求得结论；
②利用新定义的规定列出关于m的等式，再将①解答即可．
【解答】解：（1）T（4，﹣1），
故答案为：；
（2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2，
∴2，
∴a＝1．
∵T（5，﹣1）＝6，
∴6，
∴25a+b＝24，
∴b＝24﹣25＝﹣1，
∴a＝1，b＝﹣1．
②∵T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），
∴，
∴9m2﹣60m+100﹣9m2＝9m2﹣9m2+60m﹣100，
∴﹣120m＝﹣200，
∴m．
经检验，m是原方程的根，
∴m．
【例4】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（，），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴a+15+c，
∴ca，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【例5】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”．
（1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 　②③　（填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①（﹣2，）到两坐标轴的距离分别是2＞1，1，
∴（﹣2，）不是反比例函数y图象的“1阶方点”；
②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；
③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，
∴（1，1）是反比例函数y图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，
∴函数经过定点（3，1），
在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），
∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：a的值为3或a＝﹣1；
（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，
如图2，当n＞0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），
当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n；
当抛物线经过点B时，n＝1；
∴n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；
综上所述：n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．



一．解答题（共20题）
1．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；
材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m可以被9整除，且m的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m'，，例如：m＝8424，∵8+4+2+4＝18＝9×2，4﹣2＝2，∴8424是“够二数”，．
（1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F（m）的值；
（2）若一个四位正整数是“够二数”，且为5的倍数，请求出所有的“够二数”n的值．
【分析】（1）根据新定义“够二数”进行解答便可；
（2）根据新定义“够二数”及数学推理解．
【解答】解：（1）1314是“够二数”，6536不是“够二数”．理由如下：
∵1+3+1+4＝9＝9×1，3﹣1＝2，
∴1314是“够二数”，
∵6+5+3+6＝20＝9×2+2，
∴6536不是“够二数”，
F（1314）1；
（2）∵一个四位正整数n是“够二数”，
∴a+b+c+d＝9x，其中x是正整数，且x≠0，则b﹣c＝2，
∴b＝c+2，则1＜c＜7，
∴n′，
∴F（n）



，
将b＝c+2代入，
F（n）a﹣d+2，
∴5y，其中y是整数，
∴c＝5，b＝7，
∴．
∴（a﹣d+2）y＝1，
∵y是整数，
∴a﹣d+2＝±1，即a＝d﹣1或a＝d﹣3，
当a＝d﹣1，
∴，其中x≠0，且是整数，
∵a+d+12＝9x，a，d是整数，
∴x≠1，
当x＝2时，，解得，不符合题意舍去．
当x＝3时，，解得，符合题意，此时n＝7758．
同理，当a＝d﹣3，n＝6759．
2．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如：
m＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；
m＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；
（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．
（2）当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T（m），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为R（m），令G（m），当G（m）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m．
【分析】根据新概念判断即可
【解答】（1）m＝1047，
∵1+7＝2×（0+4），
∴1047是0”倍和数“
m＝4657，
∵4+7≠2×（6+5），
∴4657不是”倍和数“
（2）设“倍和数”m，（其中1≤a≤8，0≤b≤4且a，b为整数）．
∴F（m）＝|2a﹣8|，R（m）＝|2b﹣4|，G（m），
∵m千位数上的数字与个位上的数不相等，
∴a≠4，
∵G（m）能被3整除，
∴G（m）3k（k为整数），
∴k|b﹣2|，
∵1≤a≤8，
∴0＜|a﹣4|≤4，
∴|a﹣4|＝3，
∴a＝1或7，
∴K|b﹣2|＝1，
∴|b﹣2|＝1，
∴b＝1或3，
故满足条件的所有“倍和数”m为：1137，1317，7131，7311
3．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．
材料二：一个四位数N满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若p，q，则记F（N）＝q﹣p．
（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；
（2）若s，t都是“双巧数”，其中s＝3010+100x+10y+z，t＝1100m+400+10n+2r，（1≤x，z，n≤9，1≤y≤8，1≤m≤5，1≤r≤4，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定K（s，t），当F（s）+F（t）＝12时，求K（s，t）的最大值．
【分析】（1）设出两位数，根据这个两位数是“巧数”得出y＝2x，最后根据这个两位数是完全平方数，即可得出结论；
（2）先根据这个两位数是“巧数”得出m＝2n，进而表示出新的两位数和三位数，再根据这个三位数与这个两位数的差为一个完全平方数得出10（9c+a）是完全平方数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设两位数的个位数字为y，十位数字为x，（1≤x≤9，1≤y≤9），
则这个两位数为（10x+y），
∵这个两位数是“巧数”，
∴4（x+y）＝10x+y，
∴y＝2x，
即：这个两位数为10x+y＝10x+2x＝12x，
当x＝2时，y＝4，这个两位数是24；
当x＝3时，y＝6，这个两位数为36；
（2）S＝3010+100x+10y+z＝3000+100x+10（y+1）+z，
p1＝（30+y+1）﹣（10x+z）＝31+y﹣10x﹣z，
q1＝（30+z）﹣（10x+y+1）＝29+z﹣10x﹣y，
f（S）＝q1﹣p1＝（29+z﹣10x﹣y）﹣（31+y﹣10x﹣z）＝﹣2+2z﹣2y；
t＝1100m+400+10n+2r＝1000m+100（4+m）+10n+2r，
p2＝（10m+n）﹣（40+10m+2r）＝n﹣40﹣2r，
q2＝（10m+2r）﹣（40+10m+n）＝2r﹣40﹣n，
f（t）＝q2﹣p2＝（2r﹣40﹣n）﹣（n﹣40﹣2r）＝4r﹣2n，
∴K（s，t），
∵f（S）+f（t）＝12，即﹣2+2z﹣2y+4r﹣2n＝12，解得2r﹣n＝7﹣z+y，
∴K（s，t），
∵s都是“双巧数”，
∴10（y+1）+z＝4（y+1+z），解得2y+2＝z，
∴K（s，t）1，
若要使K（s，t）最大，
则其分母最小，分子最大．
∵1≤z≤9，
∴1≤y≤3，且y为正整数，
∴y取3，
∴K（s，t）的最大值为2．
4．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“和谐数”．例如：m＝7431，满足1+3＝4，2×3+1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m＝6413，满足1+3＝4，但2×1+3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．
（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；
（2）若m是“和谐数”，且m与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m．
【分析】（1）根据“和谐数”的定义直接进行判断即可；
（2）设m的个位数为a，十位数为b，根据m是“和谐数”，则m的百位数为a+b，千位数为2b+a，再根据m与22的和能被13整除，即可解答．
【解答】解：（1）∵m＝8624，6＝2+4，8＝2×2+4，
∴8642是“和谐数”；
∵m＝9582，5≠8+2，
∴9582不是“和谐数”；
（2）设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为b，0≤b≤9，且a、b为整数，
∵m是“和谐数”，
∴m的百位数为a+b（0≤a+b≤9），千位数为2b+a（0＜2b+a≤9），
∴m＝1000 （2b+a）+100 （a+b）+10b+a＝1101a+2110b，
∵m与22的和能被13整除，
∴1101a+2110b+22＝13（84a+162b）+9a+4b+22能被13整除，
∴9a+4b+22能被13整除，
∵2b+a≤9，且a、b为整数，
∴a，
∴a只能取0，1，2，3，4，
∴b＝1时，a＝0或b＝2时，a＝1或b＝3时，a＝2或b＝4，a＝3或b＝5，a＝4或b＝6，a＝5（不合题意舍去）或b＝7，a＝6（不合题意舍去）或b＝8，a＝7（不合题意舍去）或b＝9，a＝8（不合题意舍去），
∴a+b＝1，2b+a＝2或a+b＝3，2b+a＝5或a+b＝5，2b+a＝8或a+b＝7，2b+a＝11（不合题意舍去）或a+b＝9，2b+a＝14（不合题意舍去），
∴m的值为2110或5321或8532．
5．（2021•北碚区校级模拟）定义一种新运算：对于实数x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对，若实数x，y都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝　﹣8　，L（，）＝　　；
（2）已知L（5，），L（2，）＝8．
①若L（m﹣1，m+2）为正格线性数，求满足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格数对有哪些？
②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．
【分析】（1）将所求中的x、y分别代入L（x，y）＝2x+7y，即可求解；
（2）①列出二元一次方程组并求出L（x，y）＝3x+5y，再由所给条件求出7m＜11，即可求出满足条件的m，即可确定正格数对；
②结合①分别求出满足条件的x、y的值，再与①中的正格数对进行比较即可．
【解答】解：（1）∵L（x，y）＝2x+7y，
∴L（3，﹣2）＝2×3+7×（﹣2）＝﹣8，
L（，）＝27×（），
故答案为：﹣8，；
（2）∵L（5，），L（2，）＝8，
∴，
∴，
∴L（x，y）＝3x+5y，
①∵L（m﹣1，m+2）为正格线性数，
∴m＞1，
∵66＜L（m﹣1，m+2）＜99，
∴66＜3（m﹣1）+5（m+2）＜99，
∴7m＜11，
∴m＝8，9，10，11，
∴满足条件的正格数对有L（7，10），L（8，11），L（9，12），L（10，13）共4对；
②∵L（x，y）＝55，
∴3x+5y＝55，
∴y＝11x，
∵y＞0的整数，
∴x＝5或x＝10或x＝15，
∴y＝8或y＝5或y＝2，
∴没有满足问题①的数对．
6．（2022秋•岳麓区校级期中）对x定义一种新运算E，规定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常数．如：当a＝1，b＝1时，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．
（1）当a，b满足时，计算E（x）；
（2）已知，请求出的值；
（3）若当a＝3，b＝2时，关于x的不等式组恰好有5个整数解，求k的取值范围．
【分析】（1）利用非负数的意义求得a，b的值，再利用新定义的规定解答即可；
（2）利用新定义的规定计算E（2﹣3x），利用对应项的系数相等得到关于a，b的等式，化简后即可得出结论；
（3）将原不等式组利用新定义的规定化简，解一元一次不等式组，利用整数解列出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：（1）∵，0，|b+6|≥0，
∴a0，b+6＝0，
∴，
∴
＝﹣6x2x﹣24x﹣6
；
（2）∵E（2﹣3x）＝[a（2﹣3x）+2][2b（2﹣3x）﹣3]
＝18abx2﹣[3a（4b﹣3）+6b（2+2a）]x+（2+2a）（4b﹣3）
＝18abx2﹣（24ab﹣9a+12b）x+（8ab﹣6a+8b﹣6），
∴18ab，﹣（24ab﹣9a+12b）＝﹣2，8ab﹣6a+8b﹣6，
∴ab，
∴2﹣9a+12b＝2，
∴﹣9a+12b＝0，
∴3a＝4b．
∴．
（3）∵当a＝3，b＝2时，E（x）＝（3x+2）（4x﹣3）＝12x2﹣x﹣6，
∴E（x）﹣2x（6x+3）＝﹣7x﹣6．
∵当a＝3，b＝2时，4E（2+x）﹣E（2x﹣1）＝238x+153，
∴原不等式组可化为：，
解得：，
∵不等式组恰好有5个整数解，
∴，
∴11≤k＜14.5．
7．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为，当a＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝　2或﹣2　；
（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．
【分析】（1）由题意可得T（m2+1，﹣1）＝m2+1+1＝6，求出m的值即可；
（2）由题意可得x＞4，y＜4，再求T（4，x）﹣T（4，y）＝4+x﹣（4﹣y）＝x+y＝8．
【解答】解：（1）∵m2+1＞0，
∴m2+1＞﹣1，
∴T（m2+1，﹣1）＝m2+1+1＝6，
解得m＝2或m＝﹣2，
故答案为：2或﹣2；
（2）∵x＞y，
∴x＞4，y＜4，
∴T（4，x）﹣T（4，y）＝4+x﹣（4﹣y）＝x+y，
∵x+y＝8，
∴T（4，x）﹣T（4，y）＝8．
8．（2022春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；
（2）若关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，求关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解．
【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；
（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可；
（3）求得方程x﹣1＝0的解，利用“美好方程”的定义得到方程x+1＝3x+k的解，将关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6变形，利用同解方程的定义即可得到y+2的值，从而求得方程的解．
【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”，理由：
解方程4x﹣（x+5）＝1得：
x＝2，
方程﹣2y﹣y＝3的解为：
y＝﹣1．
∵x+y＝2﹣1＝1，
∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是互为“美好方程”；
（2）关于x的方程m＝0的解为：x＝﹣2m，
方程3x﹣2＝x+4的解为：x＝3，
∵关于x的方程m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，
∴﹣2m+3＝1，
∴m＝1；
（3）方程x﹣1＝0的解为：x＝2022，
∵关于x方程x﹣1＝0与x+1＝3x+k是“美好方程”，
方程x+1＝3x+k的解为：x＝﹣2021．
∵关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6就是：（y+2）+1＝3（y+2）+k，
∴y+2＝﹣2021，
∴y＝﹣2023．
∴关于y的方程（y+2）+1＝3y+k+6的解为：y＝﹣2023．
9．（2022春•岳麓区校级期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（2a﹣b）（ax﹣by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝x﹣y．
（1）已知关于x，y的方程组，若a≤﹣1，求2x﹣y的取值范围；
（2）在（1）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O'A'，坐标轴上有一点B满足三角形BOA'的面积为15，请直接写出点B的坐标．
【分析】（1）应用新运算T定义建立方程组，解关于x、y的方程组可得，进而得出2x﹣y＝2a﹣（a+1）a﹣1，再运用不等式性质即可得出答案；
（2）根据题意得A（a，a+1），由平移可得A′（a+2，a+1），根据点A（a，a+1）落在坐标轴上，且a≤﹣1，分类讨论即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴2x﹣y＝2a﹣（a+1）a﹣1，
∵a≤﹣1，
∴a，
∴a﹣1，
∴2x﹣y；
（2）由（2）知，，
∴A（a，a+1），
∵将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，
∴A′（a+2，a+1），
∵点A（a，a+1）落在坐标轴上，且a≤﹣1，
∴a＝0或a+1＝0，
∴a＝0（舍）或a；
∴当a时，A（，0），则A′（，0）．
若点B在x轴上，△BOA′不存在，
当点B在y轴上，S△BOA′OB15，
∴OB＝60，
∴B（0，60）或（0，﹣60）；
综上所述，点B的坐标为B（0，60）或（0，﹣60）．
10．（2022春•遵义期末）我们规定．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题，
（1）判断方程3x+5y＝8 　是　“幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x，y的二元一次方程kx+（k﹣1）y＝9是“幸福”方程，求k的值；
（3）若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求4p+7q的值．
【分析】（1）根据“幸福”方程的定义判断即可；
（2）关于x，y的二元一次方程kx+（k﹣1）y＝9是“幸福”方程，则k+k﹣1＝9，解出k即可；
（3）根据“幸福”方程组的定义可得，解出m和n，然后代入x和y的值求出代数式的值即可．
【解答】解：（1）∵3+5＝8，
∴方程3x+5y＝8是“幸福”方程．
故答案为：是．
（2）∵关于x，y的二元一次方程kx+（k﹣1）y＝9是“幸福”方程，
∴k+k﹣1＝9，
解得k＝5，
∴k的值是5；
（3）∵方程组是“幸福”方程组，
∴，
解得，
∴原方程组为，
∵是关于x，y的“幸福”方程组的解，
∴，
①+②得，4p+7q＝11．
即4p+7q的值为11．
11．（2022秋•开福区校级期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其“青一点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 　不是　“青一函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图象上的青一点是 　（2，4）或（﹣2，﹣4）　；
（2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；
（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可导出结论；
（2）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论；
（3）根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）①令2x+3＝2x，方程无解，
∴函数y＝2x+3不是“青一函数”；
②令2x，解得x＝2或x＝﹣2，
∴函数的图象上的青一点是（2，4）或（﹣2，﹣4）；
故答案为：①不是；②（2，4）或（﹣2，﹣4）；
（2）由题意可知，2x，
整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0，
∵抛物线上有两个“青一点”，
∴Δ＝（m﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m且m≠1．
（3）由题意可知，2x，
整理得，x2+（m﹣k）x0，
∴Δ＝（m﹣k）2﹣4（）＝0，
整理得，n＝（m﹣k）2+2k（﹣1≤m≤3），
对称轴为直线m＝k，此时n的最小值为2k；
根据题意需要分类讨论：
①，
∴k＝0；
②，无解；
③，
∴k或k（舍去）．
综上，k的值为0或．
12．（2022秋•雨花区期中）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：wx02﹣x0+2恒成立，求w的取值范围．
【分析】（1）根据定义可得p＝2023，再由2023＝|q+1|，求出q＝﹣2024，即可求p+q的值；
（2）分两种情况讨论：当k＝0时，函数y＝kx+b是“高水平函数”，有无数组“高水平点“；当k≠0时，由于kx1＝kx2（k≠0），则有x1＝x2，这与A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b）是两个不同的点矛盾，此时，y＝kx+b不是“高水平函数”；
（3）由题意求出2＜x0＜3，再由（x+2）2+3，求出h的取值范围为h＜﹣1，根据题意恒成立，可知w1，即可求w．
【解答】解：（1）由题意可知，yP＝yq，即p＝2023，
将点Q（q，2023）代入函数y＝|x+1|，
∴2023＝|q+1|（q≠2022），
解得q＝﹣2024，
∴p+q＝2023+（﹣2024）＝﹣1；
（2）①当k＝0时，函数y＝kx+b是“高水平函数”，有无数组“高水平点“；
②当k≠0时，不是“高水平函数”，
若存在“高水平点“，设一组高水平点为A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b），
∴kx 1+b＝kx2+b（k≠0），
∴kx1＝kx2（k≠0），
∴x1＝x2，这与A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b）是两个不同的点矛盾，
∴当k≠0时，y＝kx+b不是“高水平函数”；
（3）∵m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c（a＞0），
解得，即，
∵点M、P为该函数的一组“高水平点”，纵坐标相等，
由抛物线对称性，得：2＜x0＜3，
∵恒成立，
设（x+2）2+3，
∴h＜﹣1，
∴w1，
∴w．
13．（2022秋•惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 　y＝﹣x2﹣4x﹣3　；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m+1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2021即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解答】（1）解：由函数y＝x2﹣4x+3知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣4x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；

（2）解：根据题意得：，解得，
∴（m+n）2022＝（3﹣2）2022＝1；

（3）证明：化简y＝2（x﹣1）（x+3）得y＝2x2+4x﹣6，
则A、B、C三点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣6），
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6），
∴经过A1、B1、C1三点的函数解析式为y＝﹣2x2+4x+6，
∴y＝﹣2x2+4x+6与原函数y＝2（x﹣1）（x+3）是旋转函数．
14．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（1，33），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（−1，−3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　√　；②y＝x2−1 　√　；③y＝x2+4 　×　．
（2）若抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝x12+x22，求t的最小值；
（3）若函数yx2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）由定义可得3x＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1，再由判别式Δ＝m﹣1≤0，求出m≤1，根据根与系数的关系可得t（m）2，当m＝1时，t有最小值；
（3）由定义可得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，由题意可知Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，得到a＝（b﹣c）2﹣c+2，当﹣1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值求出c的值；当c≥2时，当b＝2时，a有最小值求出c的值；当c≤﹣1时，当b＝﹣1时，a有最小值，求出c的值．
【解答】解：（1）①当3x＝2x﹣1，解得x＝﹣1，
∴点（﹣1，﹣3）在y＝2x﹣1上，
∴y＝2x﹣1存在一中点”（﹣1，﹣3），
故答案为：√；
②当3x＝x2−1，解得x或x，
∴点（，）或（，）在y＝x2−1 上，
∴y＝x2−1 上存在两个“一中点”（，）或（，），
故答案为：√；
③当3x＝x2+4时，
∵Δ＝9﹣16＜0，
∴y＝x2+4上不存在“一中点”，
故答案为：×；
（2）∵抛物线y＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1上存在“一中点”，
∴3x＝−x2+（m+3）x−m2﹣m+1，
整理得−x2mx−m2﹣m+1＝0，
∴Δ＝﹣2m+2≥0，
∴m≤1，
∵x1+x2，x1•x2，
∴t＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2（m）2，
∴当m＝1时，t有最小值；
（3）∵函数yx2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上有“一中点”，
∴x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，
整理得x2+（b﹣c）x+a+c﹣2＝0，
∵函数的“一中点”是唯一的，
∴Δ＝（b﹣c）2﹣a﹣c+2＝0，
∴a＝（b﹣c）2﹣c+2，
当﹣1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值2﹣c＝c，
∴c＝1；
当c≥2时，（2﹣c）2﹣c+2＝c，
解得c＝3或c＝3（舍）；
当c≤﹣1时，（﹣1﹣c）2﹣c+2＝c，
整理得c2＝﹣3，
∴c无解；
综上所述：c的值为1或3．
15．（2022春•雨花区校级月考）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2如（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2﹣3x＝0，求出该方程的衍生点M的坐标；
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）解方程x2﹣3x＝0后，根据定义即可求M点坐标；
（2）求出方程的解为x＝1或x＝5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M（1，5m）；当0≤5m≤1时，此时M（5m，1），当5m＜0时，M（5m，1）；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点（﹣2，6），则方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6），即可求b＝﹣4，c＝﹣12．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x＝0的解为x＝0或3，
∴x1＝0，x2＝3，
∴M（0，3），
∴该方程的衍生点M的坐标（0，3）；

（2）x2﹣（5m+1）x+5m＝0的解为x＝1或x＝5m，
当5m≥1时，m，
此时M（1，5m），
由题意可得1＝5m，
解得m；
当0≤5m≤1时，0≤m，
此时M（5m，1），
∴5m＝1，
∴m；
当5m＜0时，M（5m，1），
此时1＝﹣5m，
解得m；
综上所述：m的值为或；

（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵y＝kx+2（k+3）＝kx+2k+6＝k（x+2）+6，
∴直线经过定点（﹣2，6），
∴方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（﹣2，6），
∴b＝﹣（﹣x1+x2）＝﹣4，c＝x1x2＝﹣12．
16．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点（，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．
【分析】（1）根据“2倍点”的概念直接作答即可；
（2）①根据有且只有一个“1倍点”求出a与c的数量关系，根据a的取值范围求出c的取值范围；
②先求点E的坐标，然后求点M和点N的坐标，然后比较线段长度，最后求出∠EMN的度数．
【解答】解：（1）存在，
设“2倍点”的坐标为（x，2x），
则2x＝x²﹣8，
解得：x＝﹣2或4，
∴“2倍点”的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，8）；
（2）①由题意可知，
y＝ax2+5x+c与y＝x有且只有交点，
则x＝ax2+5x+c，
整理得：ax2+4x+c＝0，则该方程有两个相同的实数根，
即Δ＝16﹣4ac＝0，
∴ac＝4，
∴a，
∵a＞1，
∴0＜c＜4；
②如图，过点E作EF⊥OM于点F，

由根与系数的关系可知，ax2+4x+c＝0，
，
又∵两个根相等，
∴，
∴点E的坐标为（，），
∴EF＝OF，
由①可知，a，
则c，
∴y＝ax2+5x+c可以写成y＝ax2+5x，
令y＝0，
则ax2+5x0，
由求根公式可得，
x，
解得：，，
∴点M的坐标为（，0），
∴OM，
∴MF＝OM﹣OF，
∴MF＝EF，
∵∠EFM＝90°，
∴∠EMN＝45°．
17．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．
（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为 　（）　；
②函数y＝x2+2x−2图象上的“立信点”坐标为 　（﹣2，﹣2）或（1，1）　．
（2）若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和1且求k的值；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．
【分析】（1）运用“立信点”的概念作答即可；
（2）求出x1，x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两个根，然后利用根与系数的关系求出k的值；
（3）因为有且只有一个“立信点”，得到Δ＝0，进而得到（b﹣1）²＝4a，求出s＝2（b）²，最终求出t的值．
【解答】解：（1）①当x＝y时，x＝﹣2x+1，此时坐标为（）；
②当x＝y时，x＝x2+2x−2，此时坐标为（﹣2，﹣2）或（1，1）．
故答案为：①（）；②（﹣2，﹣2）或（1，1）．
（2）由题意可知，
x1，
，
∴x1，x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两个根，
由根与系数关系可得，
x1+x2＝﹣（2k+3），
x1•x2＝k²，
∵1，
1，
∴，
解得k＝3或﹣1．
（3）由题意可知，
ax²+（b﹣1）x+1＝0，有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）²﹣4a＝0，
∴（b﹣1）²＝4a，
∴s＝b2+4a＝b2+（b﹣1）²＝2b²﹣2b+1＝2（b²﹣b）2（b）²，
∴当b时，s有最小值，
∴t．
18．（2022秋•岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．
（1）求一次函数y＝2x﹣3的零点；
（2）若二次函数y＝x2+bxb的零点为x1，x2，A，B两点的坐标依次A（x1，0），B（x2，0），如果AB＝2，求b的值；
（3）直线y＝﹣2x+b的零点为1，且与抛物线y＝kx2﹣（3k+3）x+2k+4（k≠0）交于C、D两点，若m+1m+2时，线段CD有最小值3，求m．
【分析】（1）当y＝0时，求出x的值即可；
（2）由题意可得x2+bxb＝0，再由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣b，x1•x2b，根据AB2，求出b的值即可；
（3）求出b的值，联立方程组，整理得kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0，再求CD||1|，分三种情况讨论：当m+2≤1时，此时CD有最小值|1﹣m﹣2|＝3，解得m＝﹣4或m＝2（舍）；当m+1≥1时，即m≥0，此时CD有最小值|1﹣m﹣1|＝3，解得m＝3或m＝﹣3（舍）；当m+1＜1＜m+2，即﹣1＜m＜0，此时CD的最小值为0．
【解答】解：（1）当y＝0时，2x﹣3＝0，
解得x，
∴一次函数y＝2x﹣3的零点是；
（2）当y＝0时，x2+bxb＝0，
∵Δ＝b2﹣4b＞0，
∴b＞6或b＜0，
∴x1+x2＝﹣b，x1•x2b，
∴AB2，
∴b＝3±；
（3）∵直线y＝﹣2x+b的零点为1，
∴﹣2+b＝0，
解得b＝2，
∴y＝﹣2x+2，
联立方程组，
整理得kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0，
∴xC+xD，xC•xD，
∴CD|||1|，
∵m+1m+2，
当m+2≤1时，即m≤﹣1，此时CD有最小值|1﹣m﹣2|＝3，
解得m＝﹣4或m＝2（舍）；
当m+1≥1时，即m≥0，此时CD有最小值|1﹣m﹣1|＝3，
解得m＝3或m＝﹣3（舍）；
当m+1＜1＜m+2，即﹣1＜m＜0，此时CD的最小值为0；
综上所述：m的值为3或4．
19．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．
（1）请直接写出函数y＝2﹣x的不动点M的坐标；
（2）若函数y有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；
（3）已知函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1），若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）设函数y＝2﹣x的不动点M为（m，m），根据定义得到2﹣m＝m，求出m即可求M点坐标；
（2）由题意可知AB所在直线解析式为y＝x，联立方程组，再由根与系数的关系得3﹣a＝0，即可求a的值；
（3）由题意可得ax2+（b+1）x+（b﹣1）＝x，则Δ＝b2﹣4ab+4a＞0恒成立，对于关于b的一元二次不等式恒成立，只需Δ＝16a2﹣16a＜0即可．
【解答】解：（1）设函数y＝2﹣x的不动点M为（m，m），
∴2﹣m＝m，
解得m＝1，
∴M（1，1）；
（2）∵A、B关于原点对称，且是函数的不动点，
∴AB所在直线解析式为y＝x，
联立方程组，
整理得，x2+（a﹣3）x﹣8＝0，
∴3﹣a＝0，
∴a＝3；
（3）由题意可知，ax2+（b+1）x+（b﹣1）＝x，
整理得，ax2+bx+（b﹣1）＝0，
∵函数恒有两个相异的不动点，
∴Δ＝b2﹣4a（b﹣1）＞0，
∴b2﹣4ab+4a＞0恒成立，
∴关于b的一元二次不等式恒成立，
∴Δ＝16a2﹣16a＜0，
解得0＜a＜1．
20．（2022春•西城区校级期中）对任意的实数m有如下规定：用[m]表示不小于m的最小整数，例如[]＝3，[5]＝5，[﹣1.3]＝﹣1，请回答下列问题：
（1）①0≤[x]﹣x＜1；②[x﹣2022]＝[x]﹣2022；③[3x]＝3[x]；④[x]+[y]＝[x+y]；⑤若[x]＝a（a为整数），则a﹣1＜x≤a．以上五个命题中为真命题的是 　①②⑤　（填序号）．
（2）关于x的方程[x﹣1]＝2x+1的解为 　x或x＝﹣2　．
（3）某市出租车的起步价是13元（可行驶3千米），以后每多行1千米增加2.3元（不足1千米按1千米收费），现有某同学乘出租车从甲地到乙地共付费36元，如果他从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元．若该同学乘坐出租车从甲地出发去往乙地，由于突发情况，在距离乙地1公里处掉头原路返回，那么该同学返回甲地后应付费 　61.3　元．
【分析】（1）根据定义，进行判断即可；
（2）当x是整数时，x＝2x+2，解得x＝﹣2；当x是分数时，x+1＞[x]＞x，可得﹣3＜x﹣1＜﹣2，则[x﹣1]＝﹣2，即2x+1＝﹣2，解得x；
（3）设甲乙两地距离为（a+b）km，其中a是整数，0≤b＜1，车费为y元，由题意可得y＝13+2.3（a﹣3）或y＝13+2.3（a﹣3）+2.3，先确定甲乙两地距离12＜a+b≤13，再由题意进一步得到12.8＜a+b＜13，则从甲地到距离甲地1公里再返回，行驶的总路程为2（a+b）﹣2＝2（a+b﹣1），由23.6＜2（a+b﹣1）＜24，即可求解．
【解答】解：（1）①∵[x]≥x，且[x]是整数，
当x是整数时，[x]﹣x＝0，
当x是分数时，[x]＞x，则[x]﹣x＜1；
故①符合题意；
②当x为整数时，[x﹣2022]＝x﹣2022，[x]＝x，
∴[x﹣2022]＝[x]﹣2022，
当x是分数时，[x﹣2022]＝[x]﹣2022；
故②符合题意；
③当x时，[3x]＝1，3[x]＝3，
∴[3x]≠3[x]；
故③不符合题意；
④当x＝y时，[x]+[y]＝1+1＝2，[x+y]＝1，
∴[x]+[y]≠[x+y]；
故④不符合题意；
⑤∵[x]＝a（a为整数），
∴x＝a或a﹣1＜x＜a，
∴a﹣1＜x≤a；
故⑤符合题意；
故答案为：①②⑤；
（2）[x﹣1]＝2x+1，
∵[x﹣1]＝[x]﹣1，
∴[x]﹣1＝2x+1，
∴[x]＝2x+2，
当x是整数时，x＝2x+2，
解得x＝﹣2；
当x是分数时，x+1＞[x]＞x，
∴x＜2x+2＜x+1，
∴﹣2＜x＜﹣1，
∴﹣3＜x﹣1＜﹣2，
∴[x﹣1]＝﹣2，即2x+1＝﹣2，
解得x；
综上所述：方程的解为x或x＝﹣2，
故答案为：x或x＝﹣2；
（3）设甲乙两地距离为（a+b）km，其中a是整数，0≤b＜1，车费为y元，
由题意可得y＝13+2.3（a﹣3）或y＝13+2.3（a﹣3）+2.3，
当b＝0时，13+2.3（a﹣3）＝36，解得a＝13，
当0＜b＜1时，13+2.3（a﹣3）+2.3＝36，解得a＝12，
∴甲乙两地距离12＜a+b≤13，
∵他从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元，
∴12.8＜a+b＜13，
∴0.8＜b＜1，
从甲地到距离甲地1公里再返回，行驶的总路程为2（a+b）﹣2＝2（a+b﹣1），
∴23.6＜2（a+b﹣1）＜24，
∴费用y＝13+（24﹣3）×2.3＝61.3（元），
故答案为：61.3．