初中数学北师大版（2024）八年级下册4 一元一次不等式同步达标检测题

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题型一、解一元一次不等式
1．下列不等式的解集为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．
分别解出四个选项中不等式的解集即可解答．
【详解】解：A．解得，故该选项不符合题意；
B．解得，故该选项符合题意；
C．解得，故该选项不符合题意；
D．解得，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得出，求出x的取值范围，即可解答．
【详解】解：由数轴可知，，
解得：，
∴x的值可以是，
故选：A．
3．在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据得变形为，得到解集为，根据不等式的解集为，得到，解答即可．
本题考查了解不等式，根据不等式的解集求参数，熟练掌握解不等式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴变形为，
解得，
不等式的解集为，
∴，
解得．
故答案为：．
4．关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围．
【详解】解：
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，．
，
去分母得，，
去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得．
由题意可知，
解得．
故答案为：
5．解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
先求解不等式，然后把它的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
将不等式的解集表示在数轴上如图所示：

6．解不等式，并把解在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先根据去分母、移项、合并同类项，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
去分母得，，
移项得，，
合并同类项，得，，
将不等式的解集在数轴上表示如下：
7．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解，先移项，再合并同类项，根据不等式性质求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
∴，
解得，
在数轴上表示不等式的解集如下：
．
故选：A．
8．解下列不等式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质是解本题的关键．
（1）移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（2）去分母，移项，合并同类项，系数化为1求解即可．
【详解】（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得；
（2）去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得，．
9．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查的是按一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
【详解】（1）解：，
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
将不等式的解集表示在数轴上如图①．
图①
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
不等式的解集为．
将解集表示在数轴上如图②．
；
10．根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键．
（1）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可；
（2）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可；
（3）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：不等式两边同时减，得．
不等式两边同时减5，得．
不等式两边同时除以，得．
在数轴上表示解集如答图①．
（2）解：不等式两边同时加，得．
不等式两边同时除以，得．
在数轴上表示解集如答图②．
（3）解：不等式两边同时乘6，得．
不等式两边同时加，得．
不等式两边同时除以，得．
在数轴上表示解集如答图③．
题型二、一元一次不等式的整数解与最值问题
11．不等式的正整数解有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先分别求出不等式的解集，然后求其正整数解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴正整数解为1，2，3，共3个，
故选：D．
12．不等式的非负整数解有（ ）个
A．3B．4C．2D．5
【答案】B
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
本题主要考查了一元一次不等式的整数解，掌握非负整数包括0和正整数是解题的关键．
【详解】解：不等式的解集为，
它的非负整数解为0，1，2，3，共有4个．
故选：B
13．按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7B．2，7C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
14．不等式的正整数解有 个．
【答案】4
【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的整数解；先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
则不等式的正整数解为、、、，共个，
故答案为：．
15．一元一次不等式的最大整数解为 ；
【答案】-1
【分析】先化简不等式，再求解即可．
【详解】解：，
，
则最大整数解为：-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解．
16．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式；
先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可．
【详解】解：解不等式得：，
∵关于的不等式的最小整数解为，
∴，
∴，
故答案为：．
17．对于任意有理数、，定义一种运算：．例如，．根据上述定义可知：不等式的最大整数解是 ．
【答案】0
【分析】根据新定义法则，逐步计算，转化为一元一次不等式，解之取其中的最大整数解即可得出．
【详解】∵，
∴
解得：
∴最大整数解是0．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键．
18．求不等式的正整数解．
【答案】1，2，3，4，5
【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正整数解有1，2，3，4，5．
19．解关于x的不等式：，并求出最小整数解．
【答案】，最小整数解为．
【分析】本题考查了解不等式，注意：不等号两边同时除以负数，不等号方向要改变．先计算多项式乘以多项式，然后再移项、合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小整数解为．
20．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，
(1)若，求及其平方根．
(2)的计算结果落在如图所示的范围内，求的最小整数值．
【答案】(1)，
(2)4
【分析】（1）由新定义，按法则计算得到，再由平方根定义求解即可得到答案；
（2）由新定义及数轴得到，再按法则计算得到，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，解得，则；
（2）解：由题意得，
∴，即，解得，
∴最小整数值为4．
【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程、平方根定义、解不等式及求不等式的整式解等知识，理解新定义运算，熟记平方根定义及解不等式的方法是解决问题的关键．
21．已知两个整式，，其中系数■被污染．
(1)若■是，化简；
(2)若时，的值为18．
①说明原题中■是几？
②若再添加一个常数，使的值不为负数，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)①4；②-18
【分析】（1）把■=代入B，然后按整式加法法则计算即可；
（2）①设，建立关于m的方程，求解即可；
②根据题意建立关于a的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
=
；
（2）解：①设，
依题意得，，
解得；
②∵，
∴的值不为负数时，有．
即，解得，
∴的最小值为．
【点睛】本师考查整式的加法运算，解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握整式加法法则是解题的关键．
22．按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止．
（1）当输入的数是10时，请求出输出的结果；
（2）当输入的数是x时，经过第一次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值．
【答案】（1）16；（2）8
【分析】（1）当输入的数是10时，依据程序进行计算即可；
（2）当输入的数是x时，经过第一次运算，结果即符合要求，说明2x﹣4＞10，解不等式即可得到x的最小整数值．
【详解】（1）当输入的数是10时，10×2﹣4＝16＞10，
∴ 输出的结果为16；
（2）由题可得，2x﹣4＞10，
解得x＞7，
∴ x的最小整数值为8．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、解不等式，解答的关键是会利用程序流程图规律列出关系式.
题型三、方程（组）与不等式的综合问题（不等式的字母参数问题））
23．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可．
【详解】解：解不等式得，
∵不等式的解都是不等式的解，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键．
24．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3B．-3C．4D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
25．已知二元一次方程组，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】B
【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案．
【详解】
①②得：
①②得：
解得
的最小值为．
故选B．
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．
26．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
解方程组得，，由得到，解得，即可得到m的最小整数解．
【详解】解：，
得：，
解得
得：，
解得
∵
∴
解得：，
∴m的最小整数解为，
故选：B．
27．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
28．已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案．
【详解】解：∵解方程组，
得，
∴①x与y互为相反数，则x=-y，
m+2=2m
m=2，故①正确；
②，
则m+2-2m=2-m
m＜，则m的最大整数值为3，故②错误．
③x=y，
则m+2=-2m
m=，故③错误；
故选：B．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键．
29．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键．
把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案．
【详解】解：
解得：，
由题意得：，
解得：，
∴k的最小值为．
故答案为：．
30．已知实数，，．若，则的最大值为 ．
【答案】6
【分析】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值．
【详解】解：由得，
由得，
及，
解得：，
的最大值为3，
的最大值．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值．
31．已知是关于x，y的二元一次方程的的解．

(1)求a的值．
(2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得；
（2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得．
【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：，
解得．
（2）解：由（1）得：，
则，
由数轴得：，
则，
解得，
所以的最小值是0．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
32．已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．
【详解】（1）解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
33．约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．
例如：
(1)___________，___________（用含的代数式表示）
(2)若，求的最小整数值．
【答案】(1)，
(2)的最小整数值为
【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案；
（2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：由题意得到，，
故答案为：，
（2）由题意得，，
∵，
∴，
解得，
∴的最小整数值为．
【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键．
34．已知、满足和，求的最小值．
【答案】3
【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可．
【详解】解方程组，得，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的最小值为3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．
35．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a