九年级上学期期末数学试题 (127)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (127)，共30页。试卷主要包含了 下列运算中，正确的是， 试估算在哪两个数之间等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 在、、0、1这四个数中，最小的数是（ ）
A. 1B. 0C. －1D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数大小比较法则，熟练掌握此法则是解答此题的关键．
由有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，即可判断．
【详解】解：由有理数的大小比较法则，可得：
，
在，，0，1这四个数中，最小的数是．
故选：．
2. 用一个平面去截下面如图的几何体，截面不可能是圆形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查截一个几何体．利用截一个几何体的截面形状进行判断即可．
【详解】解：用一个平面去截取一个正方体，无论如何，其截面都不可能是圆形，
故选：C．
3. 下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
4. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. 当时，
B. 过山车距水平地面的最高高度为98米
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 结合图象，当时，，故该选项正确，不符合题意；
B. 结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意；
C. 在范围内，当过山车高度是80米时，的值有3个，故该选项不正确，符合题意；
D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大，故该选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
5. 如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A. 3B. 4C. 9D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据与之比为相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵与位似，
∴与相似，
∵，
∴，
又∵的面积为1，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的有关概念和性质是解题的关键．
6. 试估算在哪两个数之间（ ）
A. 2和3B. 3和 4C. 4和5D. 5和6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
7. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（ ）
A. 42B. 52C. 56D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：第①个图案中有个五角星，
第②个图案中有个五角星，
第③个图案中有个五角星，
第④个图案中有个五角星，

∴第n个图案中有个五角星，
当时，个五角星，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律．
8. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．
【详解】解：∵四边形内接于，，
，
故选：B
9. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，点E为正方形外一点，且，连接，交于点F．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形性质，得，得，根据，得，根据等边对等角，，可求出，根据三角形的内角和，得，根据和全等，得，即可求出的角度．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形、等腰三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角．
11. 若整数a使关于y的不等式组至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A. -6B. -9C. -11D. -14
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组至少有三个整数解，得出，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到且，进而得到所有符合条件的整数a的和．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组至少有三个整数解，
∴，即；
解分式方程，
解的，
∵分式方程的解为非负数，
∴，且
∴且，
∴，且，
则所有整数a有：，，，，0，1
∴所有符合条件的整数a的和为
故选：C.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．解题关键是由不等式组有三个整数解得出不等式解集.
12. 若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足，，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：
①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9
②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数积的最大值可能为
③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数
④2022级浪花数中的所有数之和为0
下列说法正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”，进行一一判断即可
【详解】解：①∵12，3，a为三级浪花数，
∴a+12=3，
解得：a=-9，
故①正确；
②设这四级浪花数分别为1，x+1，x，-1，
则其积为：，
当x=时，其积最大值为，
所以这列数的积的最大值不可能为，
故②错误；
③设任意组100级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
由题意得这一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……
可以看出每六个数一次循环，
36÷6=6，所以第36个数为x-y，
63÷6=10余3，所以第63个数为y-x，
所以第36个数和第63个数一定互为相反数，
故③正确；
④2022级浪花数中第一个数为x，第二个数为y，
则一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……，
可以看出每六个数一次循环，
这六个数的和为：x+y+y-x-x-y+x-y=0，且2022÷6=337，
所以2022级浪花数中的所有数之和为0
由④正确；
故选：C
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键．
二､填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：|2﹣|﹣（﹣）2＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值、计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握运算法则是解题关键．
14. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为a；不放回，在剩余的卡片中再随机抽取一张，记下数字为b，则方程有解的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据列表法列出所有可能，根据一元二次方程有解的情况数，根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有9种等可能结果，其中的结果有3中，
∴方程有解的概率是
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
15. 如图，在中，，以为直径作半圆，交边于点D，点O为圆心，连接，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再利用圆周角定理得到，最后根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积，圆周角定理，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
16. 每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为________副．
【答案】504
【解析】
【分析】设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，由题意可求（3a+4b）（x-y）=429，列出不等式组，利用整数解，可求a=3，b=6，即可求解．
【详解】解：设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，
由题意可得：（3xa+4xb）-（3ay+4yb）=429，
解得：（3a+4b）（x-y）=429，
∵，
∴11＜x-y＜，
∵a，b，x，y为非负整数，
∴x-y=13，3a+4b=33，
∴a=3，b=6，x=13+y，
∴3xa+4b×x+3ay+4y×b=9x+15x+9y+15y =312+48y，
∴当y=4时，312+48y =312+48×4=504，
故答案为：504．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，利用整数解求出a，b值是解题的关键．
三､解答题：（共9个题17、18题各8分其余每题10分，共86分）
17. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式，分式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则和运算顺序．
（1）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则和运算顺序计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. 如图，在中，D为中点，E为上一点，连接，且．
（1）尺规作图：过点B作角平分线，交于点F，连接（只保留作图痕迹）
（2）求证：，请根据下面内容填空．
证明：∵平分，
∴________________________
∵在和中，
，
∴，
∴________________
又∵D为的中点，
∴DF为的中位线
∴_________________．
【答案】（1）见解析 （2）；；；．
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握作一个角的平分线是解决问题的关键．
（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先利用平分得到，则根据“”可判断，则，于是可判断为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到结论．
【小问1详解】
解：如图，、为所作；
【小问2详解】
∵平分，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
又∵D为的中点，
∴为的中位线，
∴．
故答案为：；；；．
19. 2022年“新课标”提出，义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体．南开中学积极发挥劳动教育的融合性特征，从课程设计、课余生活等多维度，鼓励学生积极参与劳动．为了解七年级学生一周参与劳动时间的情况，随机抽取部分学生，统计了他们每周劳动时间（单位：h），并将收集到的数据整理分析，共分为五组：（A：x＜1，B：1≤x＜2，C：2≤x＜3，D：3≤x＜4，E：x≥4，其中每周劳动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图：
结合图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为_________人，a＝_________；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）为了让全校学生重视劳动学习，学校准备从这些达标学生中随机抽取1名学生给全校学生分享劳动收获心得，若已知在这些达标学生中有男生13人，求抽中女生的概率．
【答案】（1）50，36
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据C组的频数和百分比求出总人数，再用D组频数除以总人数求出a的值；
（2）先求出B组人数，再补全频数分布直方图；
（3）用达标学生中女生的人数除以达标总人数即可．
【小问1详解】
解：12÷24%＝50（人），
即调查的总人数为60人，
a%＝＝36%，a＝36．
故答案为：50，36；
【小问2详解】
B组人数为50﹣（2+12+18+10）＝8（人）．
补全频数分布直方图如下图所示：
【小问3详解】
∵每周劳动时间不少于3小时为达标，
∴达标总人数为18+10＝28（人），
∵这些达标学生中有男生13人，
∴女生有28﹣13＝15（人），
∴抽中女生的概率为．
【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、概率公式等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型．
20. 某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟．
（1）求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？
（2）小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？
【答案】（1）280米/分钟
（2）2100米
【解析】
【分析】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返时间共用50分钟，列方程，解得，检验后求出，回答问题；
（2）设这段坡路的下坡路程是y米，根据小伟上坡的平均速度是，下坡的平均速度是，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用时9分钟，列方程，解得，推出这段坡路的总路程是．
【小问1详解】
设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟,
根据题意得，，
解得，，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟；
【小问2详解】
设这段坡路的下坡路程是y米，
∵上坡的平均速度是，，下坡的平均速度是，
∴根据题意得，，
解得，，
∴，
答：这段坡路的总路程是2100米．
【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程和速度与时间的关系，列代数式列方程解答，解分式方程注意检验，应用题注意设未知数和回答问题．
21. 平面直角坐标系中，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数的图象相交于点A、点B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为4，点B的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式，画出一次函数的图象，并写出一条一次函数的图象性质：____________
（2）线段的中垂线交反比例函数于点D，交直线于点M，求的面积；
（3）当时，请直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）一次函数的解析式为；图象见解析；随的增大而增大
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的解析式求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数解析式求得的坐标，进而根据题意得到的纵坐标为1，代入反比例函数解析式求得，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：反比例函数的图象经过点、点，点的纵坐标为4，点的横坐标为．
，，
把，代入y=kx+bk≠0得，
解得，
一次函数的解析式为，
图象如下：
由图象可知：随的增大而增大，
故答案为：随的增大而增大（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：如图，
一次函数图象与轴交于点，
，
线段的垂直平分线交反比例函数于点，交轴于点，
的纵坐标为1，
把代入得，，
，
把代入得，，
，
，
的面积为：；
【小问3详解】
解：由图象可知，当时，自变量的取值范围是或．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22. 今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．

（1）求妈妈步行的速度；
（2）求明明从C处到D处的距离．
【答案】（1）妈妈步行的速度为
（2）明明从C处到D处的距离约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义．
（1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可；
（2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意可知：，
∴，
∴，
答：妈妈步行的速度为；
【小问2详解】
解：如图，过点C作交延长线于点E，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
过点D作于点F，得矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：明明从C处到D处的距离约为．
23. 已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”．将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成的两位数，并记．
例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”；此时．
又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”．
（1）判断6324和7254是否是“平方差数”？并说明理由；
（2）若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”Ｍ．
【答案】（1）6324不是“平方差数”，7254不是“平方差数”，理由见解析
（2）8175或5241；
【解析】
【分析】（1）根据“平方差数”的定义求解即可；
（2）先根据题意得到，，再由比M的个位数字的9倍大30推出，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴6324不是“平方差数”；
∵，
∴7254不是“平方差数”；
【小问2详解】
解：∵“平方差数”，
∴，，
∵比M的个位数字的9倍大30
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a、c都是正整数，且，
∴或或，
∴或或，
∴当时，，
∴；
∴当时，，
∴（不符合题意，舍去）；
∴当时，，
∴；
综上所述，所有满足条件的“平方差数”M为8175或5241．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
24. 如图1，抛物线与x轴相交于点（点B在点C左侧），与y轴相交于点，已知点C坐标为，面积为6．
（1）求抛物线解析式：
（2）点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．
【答案】（1）
（2）周长的最大值为，此时点P的坐标为
（3）或或或或
【解析】
【分析】（1）首先根据面积求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出直线的解析式，然后证明出是等腰直角三角形，进而得到当的值最大时，周长取得最大值，设出点P和点Q的坐标，然后表示出的长度，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）首先求出平移后的新抛物线的解析式，然后设出点M和点N的坐标，然后分3种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
∵点A（0，4），点C坐标为（4，0），面积为6
∴，
∴，即，
解得，
∴
∴点B的坐标为，
∵抛物线过点、、，
则，解得：，
即抛物线的解析式：；
【小问2详解】
∵，，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴周长
∴当长度最大时，周长最大
∴设直线的解析式为
∴，解得
∴
设点P的坐标为，则点Q的坐标为
∴
∴当时，取得最大值4
∴此时周长
将代入
∴此时点P的坐标为；
【小问3详解】
∵
将抛物线向左平移个单位长度得
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∴，，
∴当四边形为菱形时，，即
解得，
∴，解得或
∴点N的坐标为或；
∴当四边形为菱形时，，
∴，解得
∴点N的坐标为；
∴当四边形为菱形时，，
∴，解得或
∴点N的坐标为或；
∴综上所述，点N的坐标为或或或或．
【点睛】此题考查了二次函数和几何综合题，求解二次函数解析式，三角形周长最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是设出点的坐标，根据题意列出方程求解．
25. 在中，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足．
（1）如图1，若，求的长．
（2）如图2，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若．求证：；
（3）如图3，点H为线段上一点，，点K是直线上的一个动点，连接．将线段绕点G顺时针旋转得到线段，点P是线段上的一个动点连接，若，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点A作于点E，证明，可得，求出的长即可利用勾股定理求解；
（2）如图所示，在上取一点H，使得，连接，证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可得，同理，即可推出，即可求证；
（3）如图3-1所示，过点G作交直线于T，连接，则是等腰直角三角形，证明，可得，从而得到 在垂直于直线l上运动；如图3-2所示作H关于直线的对称点，连接，则，可得要使最小，即要使最小，当三点共线且时（此时P在在N），满足题意；根据题意得到，过点A作于Q，过点H作于M，可求出，可得，，根据轴对称性可得，从而得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点A作于点E，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，
∵，
∴，
；
【小问3详解】
解：如图3-1所示，过点G作交直线于T，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在垂直于的直线l上运动；
如图3-2所示作H关于直线的对称点，连接，则，
过作于N，交AB于L，交AD于；
∴，
∴要使最小，即要使最小，
∴当三点共线且时（此时P在在N），满足题意；
∵，
∴，
∴，
过点A作于Q，过点H作于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由轴对称性得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．