中职高考数学一轮复习讲练测3.3 函数的单调性及其最值（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．函数的单调性
(1)增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．
②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
(1)最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值．
考点一 函数的单调性
【例题】（1）下列四个函数在是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对，故选：D.
（2）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是，故选：B.
（3）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为，故选：C.
（4）已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选：D.
（5）设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数为偶函数，则，，当时，是减函数，又，
则，则，故选：C.
（6）已知定义在R上的函数是偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，由，得，解得，即不等式的解集为，故选：C.
【变式】（1）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A，是非奇非偶函数，所以A错误；对于B，是奇函数，而在上不是单调递增函数，所以B错误；对于C，是奇函数又在区间上单调递增，所以C正确；对于D，是非奇非偶函数，所以D错误，故选：C.
（2）函数的单调递增区间是 .
【答案】
【解析】令，解得或，所以函数的定义域为，而函数的对称轴是，故函数的单调递增区间是，故答案为：.
（3）关于函数的单调性的说法正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在区间上是增函数D．在区间上是减函数
【答案】C
【解析】由函数的解析式知定义域为，设，显然在上是增函数，在上是增函数，由复合函数的单调性可知在上是增函数，故选：C.
（4）函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为 .
【答案】或
【解析】二次函数的对称轴为，因函数在区间上具有单调性，
所以或，故答案为：或.
（5）函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得，解得,所以实数的取值范围是,故答案为：.
（6）设是定义在R上的奇函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意是定义在R上的奇函数，且在上是减函数，所以在上是减函数，
由于，所以，故答案为：.
考点二 函数的最值
【例题】（1）在上的最小值为 ．
【答案】0
【解析】根据题意在上为增函数，则在上的最小值为，故答案为：0.
（2）若函数在区间上的最大值为6，则 .
【答案】4
【解析】函数在区间上单调递增，于是得，解得：，故答案为：4.
（3）函数的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】C
【解析】∵，等号成立当且仅当，∴函数的最小值是，故选：C.
（4）的最大值为（ ）
A．9 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】＝＝＝，由于，
所以当时，有最大值，故选：B.
（5）如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（ ）
A．单调递增且最小值为﹣6B．单调递增且最大值为﹣6
C．单调递减且最小值为﹣6D．单调递减且最大值为﹣6
【答案】A
【解析】因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同，所以在上为单调递增函数，根据的图像关于原点对称，且，所以在上的最小值为，故选：A.
【变式】（1）已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】A
【解析】函数在区间是减函数，所以时有最大值为1，即A=1，时有最小值，即B=，则，故选：A.
（2）函数在区间上的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】因为函数在区间单调递减，所以当x=0时取得最大值：，故选：B.
（3）函数的最大值为 .
【答案】2
【解析】因，则在上为减函数，，所以时，取得最大值2，故答案为：2.
（4）函数的最大值是（ ）
A．B．0C．4D．2
【答案】C
【解析】函数，当时，函数取得最大值4，故选：C.
（5）若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（ ）
A．减函数且最小值为﹣4B．增函数且最小值为﹣4
C．减函数且最大值为4D．增函数且最大值为4
【答案】A
【解析】在区间，上是增函数，最小值是，，又为偶函数，在，上单调递减，（5）．即在区间，上的最小值为，综上，在，上单调递减，且最小值为，故选：A．
【方法总结】
1．证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法．注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，那么
(1)eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零．
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数．
2．函数单调性的判断
(1)常用的方法有：定义法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；
(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集．
(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
3．函数最值的重要结论
(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m；
(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.