中职高考数学一轮复习讲练测3.4 函数的奇偶性和周期性（讲）（2份，原卷版+解析版）

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【考点梳理】
1．奇、偶函数的概念
(1)偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
3．具有奇偶性函数的定义域的特点
具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件．
4．周期函数的概念
(1)周期、周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
5．函数奇偶性与单调性之间的关系
(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；
(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数．
6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
考点一 函数的奇偶性
【例题】（1）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，函数为奇函数，故A不符题意；对于B，函数，因为，故函数为偶函数，故B符合题意；对于C，函数，因为，所以函数为奇函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，
则函数为非奇非偶函数，故D不符题意，故选：B.
（2）已知函数为偶函数，且，则（ ）
A．1B．3C．4D．7
【答案】C
【解析】由偶函数的性质得，故选：C.
（3）函数为上的奇函数，时，，则（ ）
A．B．2C．D．6
【答案】C
【解析】时，，故，又函数为上的奇函数，故，故选：C.
（4）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【解析】由得：，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以 ，故可解得：，故选：B.
（5）已知函数是偶函数，则常数的值为 ．
【答案】
【解析】 易知函数定义域为，函数是偶函数，对定义域内每一个都成立，，，
对定义域内每一个都成立，，即 .
（6）是偶函数，其定义域为，则等于（ ）
A．1B．C．D．01
【答案】B
【解析】因为是偶函数，其定义域为，所以，可得，定义域为，所以，由可得：对于恒成立，所以，可得，所以，故选：B.
【变式】（1）下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；
对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误，故选：B.
（2）已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】C
【解析】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以，故选：C.
（3）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A．10B．5C．3D．2
【答案】B
【解析】函数是定义在上的偶函数，所以，且，所以，
所以，所以，故选：B.
（4）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（ ）．
A．B．2C．D．1
【答案】D
【解析】由奇函数的性质可知 a=2，，故选：D.
（5）已知函数是奇函数，则 ．
【答案】1
【解析】函数是奇函数，，即恒成立，即恒成立，，故答案为：．
（6）已知函数，若，则（ ）
A．4B．5C．7D．
【答案】A
【解析】构建在R上为奇函数，则，即，则，故选：A．
考点二 函数的周期性
【例题】（1）下列函数是周期函数的有（ ）
① ② ③
A．①③B．②③C．①②D．①②③
【答案】C
【解析】易得和是周期函数，不是周期函数，故选：C.
（2）已知是以2为周期的函数，且，则（ ）
A．1B．-1C．D．7
【答案】A
【解析】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即，所以，故选：A.
（3）若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（ ）
A．-1B．-2C．2D．3
【答案】D
【解析】由题知是上周期为的奇函数，所以有，
，故，故选：D.
（4）已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A．-2B．2C．-98D．98
【答案】B
【解析】由于，所以是周期为的周期函数，所以，故选：B.
（5）设函数是定义在上周期为3的奇函数，且，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为函数是定义在上周期为3的奇函数，所以，且，
所以，，，所以，故答案为：.
【变式】（1）已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则 ．
【答案】
【解析】由题可知：，又当时，，所以，故，故答案为：.
（2）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，所以，，因为当时，，所以，所以，所以，故答案为：.
（3）已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则 ．
【答案】－3
【解析】f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.
（4）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】，，，，故选:A.
（5）已知满足对任意，且时，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为满足对，所以函数的最小正周期为，又时，，因此，故选C.
【方法总结】
1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性．
2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔eq \f(f（－x）,f（x）)＝±1(f(x)≠0)进行判断．
3．判断函数奇偶性的方法通常有
(1)定义法：根据定义判断．
(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．
(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．
4．判断周期函数的一般方法
(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．
5．解题中要注意以下性质的灵活运用
(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；
(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上．