中职高考数学一轮复习讲练测5.3 三角函数的图像和性质（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 (0，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))， (2π，0)．
(2)在确定余弦函数y＝csx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 (0，1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，
(π，－1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，0))， (2π，1)．
2．周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．三角函数的图象和性质
考点一 三角函数的周期、奇偶性
【例题】（1）函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】A
【解析】由，∴，故选：A.
（2）下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，的最小正周期，故A错误；对于B：的最小正周期，故B正确；对于C：的最小正周期，故C错误；对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B.
（3）设函数，则是（ ）
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
【答案】B
【解析】由，可得，，所以函数为偶函数，
即是最小正周期为的偶函数.故选：B.
（4）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求；对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求，故选：B.
（5）函数的周期为 .
【答案】
【解析】，所以的周期为：，故答案为：.
【变式】（1）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数的最小正周期为，故选：C.
（2）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的非奇非偶函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】，故f(x)是最小正周期为2π的奇函数，故选：A.
（3）设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，则，故选:.
（4）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，最小正周期为，故选：B.
（5）函数的最小正周期是 .
【答案】
【解析】，故最小正周期，故答案为：.
考点二 三角函数的单调性、最值
【例题】（1）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，令，解得，故选：D.
（2）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求；对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求，故选：B.
（3）已知函数，则的（ ）
A．最小正周期为，最小值为B．最小正周期为，最小值为
C．最小正周期为，最小值为D．最小正周期为，最小值为
【答案】B
【解析】因为，所以最小正周期为,最小值为，故选：B.
（4）函数在区间上的最大值为（ ）
A．0 B．－ C． D．2
【答案】D
【解析】∵ ，∴，∴，即函数有最大值2，故选：D.
（5）函数的最小值是 .
【答案】1
【解析】当，时，即，时，取得最小值为，此时取得最小值为1，故答案为：1.
【变式】（1）函数，x∈R在（ ）
A．上是增函数 B．上是减函数
C．上是减函数 D．上是减函数
【答案】B
【解析】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误，故选：B.
（2）函数的一个递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于函数，令，求得，可得函数的减区间为，，当 时，可得该函数的一个减区间为，故选：B.
（3）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数，由，，得，，
所以函数的单调递减区间为，故选：A.
（4）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（ ）
A．2和－2 B．2和0 C．2和－1 D．和
【答案】C
【解析】由题知，得，即函数，又∵，∴,即，，故函数的最大值为2，最小值为－1，故选：.
（5）已知，则的最大值为 .
【答案】
【解析】，其中，，故答案为：.
考点三 三角函数图像的对称性
【例题】（1）函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为，故选：C.
（2）函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的最小正周期是，因此相邻两条对称轴之间的距离是，故选：C．
（3）若点是函数图象的一个对称中心，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可得，，所以，，当时，，故选：C.
（4）函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【答案】D
【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，当时，，易知C错误，D正确，故选：D.
（5）函数（）的对称轴方程为 .
【答案】
【解析】函数（）的对称轴方程为: ，故答案为：.
【变式】（1）函数的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称
【答案】B
【解析】可得是由向上平移1个单位得到，根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称，故选：B.
（2）已知函数，则下列是函数图象的对称中心的坐标的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，故图象的对称中心为，故选：A.
（3）下列直线中，函数的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令且，则对称轴方程为且，显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、，故选：B.
（4）函数图象的对称中心是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，解得，则图象的对称中心为．
故选：D.
（5）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意，，则，解得，∴当时，的最小值为，故答案为：.
【方法总结】
1．三角函数的定义域的求法
三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数)等．
2．三角函数值域的求法
求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcsx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域；(3)形如y＝asinxcsx＋b(sinx±csx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±csx，化为关于t的二次函数求值域．
3．判断三角函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．
4．求三角函数的周期
(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．
(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ)等类型后，用基本结论T＝eq \f(2π,|ω|)或T＝eq \f(π,|ω|)来确定；③根据图象来判断．
5．三角函数的单调性
(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．
(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法求解．
函数
性质
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))
图象
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
对称性
对称轴：x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
对称中心：(kπ，0)
对称轴： x＝kπ(k∈Z)；
对称中心:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
无对称轴；
对称中心:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
最小正
周期
2π
2π
π
单调性
单调增区间:
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)；
单调减区间:
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)
单调增区间:
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；
单调减区间:
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
单调增区间:
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数