2022-2023学年河北省石家庄市二十二中八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市二十二中八年级（上）期末数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分）
一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1~10小题各3分：11－16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形概念求解．
【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形。故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2. 若分式的值为零，则x的值是（ ）
A. 2B. ﹣2C. ±2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零，分母不等于零，进行列式求解即可．
【详解】解：由题意可知：，
解得：x＝﹣2，
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
3. 已知一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和5cm，则该等腰三角形的周长为（ ）
A. 11cmB. 13cmC. 13cm或11cmD. 16cm
【答案】C
【解析】
【分析】分情况讨论：当等腰三角形的腰为3cm，底为5cm时；此时周长为3+3+5＝11cm；当等腰三角形的腰为5，底为3cm时，时周长为5+5+3＝13cm．
【详解】解：当等腰三角形的腰为3cm，底为5cm时，3cm，3cm，5cm能够组成三角形，此时周长为3+3+5＝11cm；
当等腰三角形的腰为5，底为3cm时，3cm，5cm，5cm能够组成三角形，此时周长为5+5+3＝13cm．
则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及构成三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论，看此时的三条边能否组成三角形．
4. 某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A. 三条高线的交点处B. 三条中线的交点处
C. 三个角的平分线的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质即可解答．
【详解】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答本题的关键．
5. 对于数字-2+，下列说法中正确的是（ ）
A. 它不能用数轴上的点表示出来B. 它比0小
C. 它是一个无理数D. 它的相反数为2+
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可．
【详解】A．数轴上的点和实数是一一对应的，故该说法错误，不符合题意；
B．，故该说法错误，不符合题意；
C．是一个无理数，故该说法正确，符合题意；
D．的相反数为，故该说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．
6. 已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，当三角形的三边长a、b、c满足或三内角中有一个是直角的情况下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
7. 如图，，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 平分
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，再逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
不能推出，故C选项错误；
，，
，
即平分，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等，对应边相等）是解此题的关键．
8. 小沈对下面式子进行化简整理：
对于小沈的化简过程，你认为( )
A. 第一步错误B. 第二步错误C. 第三步错误D. 没有错误
【答案】D
【解析】
【分析】按照分式的加减法运算法则验算即可．
【详解】解：


．
因此运算过程没有错误．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法运算法则和因式分解是解题的关键．
9. 下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．
【详解】解：①，原计算错误，②，原计算正确；③，原计算错误；④，原计算正确；⑤，原计算错误；
∴正确的有2个；
故选C．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．
10. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）
A. 2mB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长．
【详解】解：在中，
，
∴，
在中，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
11. 两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形全等的判定可进行排除选项．
【详解】解：①一锐角和斜边对应相等，可根据“AAS”或“ASA”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；
②斜边和一直角边对应相等，可根据“HL”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；
③有两条边相等，例如三边长分别为3、4、5和3、、4的两个直角三角形，并不全等，故不符合题意；
④两个锐角对应相等，没有边的相等，故不能判定全等；
故选：A．
【点睛】本题主要考查直角三角形的全等，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
12. 如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A、由作法知，可判断A；B、由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断C；D、由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断D．
【详解】A、由作法知，
∴是等腰三角形，故选项A符合题意；
B、由作法知所作图形是线段的垂直平分线，
∴不能推出和是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形，故选项C符合题意；
D、，
由作法知是的平分线，
∴
∴是等腰三角形，故选项D符合题意；
故选：ACD．
【点睛】此题考查了尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的五个基本作图是解题的关键．
13. 若a算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
14. 若关于x的方程无解，则（ ）
A. 3B. 0或8C. 或3D. 3或8
【答案】C
【解析】
【分析】先将方程化为整式方程，根据分式方程无解，得到a=3时，原方程无解；当时，将x=0， x=2，代入整式方程的解中求出a值．
【详解】解：去分母得x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），
整理得（a-3）x=-10，
当a=3时，原方程无解；
当时，系数化为1得，
∵关于x的方程无解，
∴x=0，或x-2=0，即x=2，
∴当x=0时，无解，
当x=2时，解得a=-2，
故选C．
【点睛】此题考查了分式方程无解的问题，正确解分式方程并掌握无解的情况是解题的关键．
15. 如图，点E在等边的边BC上，，射线于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当的值最小时，，则AC为（ ）
A. 14B. 13C. 12D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】作点E关于直线CD的对称点E′，连结FE′，当点E′、P、F三点共线，且E′F⊥AB时，EP+PF的值最小，由∠B＝60°，∠BFE′＝90°，推出∠E′＝30°，从而推出BE′＝14，从而求出CE＝CE′＝4，进一步即可求出AC的长度.
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点E′，连结FE′，
∴PE=PE′，
PE+PF=PE′+PF≥FE′，
当点E′、P、F三点共线，且E′F⊥AB时，EP+PF的值最小等于E′F，
∵∠B＝60°，∠BFE′＝90°，
∴∠BE′F＝30°，
∵BF＝7，
∴BE′＝2BF＝14，
∵BE=6，
∴EE′=BE′-BE=14-6=8，
∴EC=CE′=4，
∴AC＝BC＝BE′-CE′=14-4=10，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称性质，30°直角三角形性质，解题的关键是作辅助线找出点P，推出此时，EP+PF的值最小是解题关键
16. 如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（ ）
A. x＝2，t＝B. x＝2，t＝ 或x＝，t＝1
C. x＝2，t＝1D. x＝2，t＝1或x＝，t＝
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC=BP，AP=BQ，②△ACP≌△BQP时AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可
【详解】解：①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
可得：5=7－2t，2t=xt
解得：x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
可得：5=xt，2t=7－2t
解得：x=，t=．
故选D．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
二、填空题（本大题有3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分，把答案写在题中横线上）
17. 的倒数是________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据倒数的意义及分母有理化可进行求解．
【详解】解：的倒数为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查倒数及分母有理化，熟练掌握倒数的意义及分母有理化是解题的关键．
18. 已知，则的值为________；的算术平方根是________.
【答案】 ①. 16 ②. 4
【解析】
【分析】先将分式化简，得出关于a，b的方程，确定，然后代入计算即可．
【详解】解：
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根是4，
故答案为：①16；②4．
【点睛】题目主要考查分式的化简及求代数式的值，算术平方根，熟练掌握分式的运算方法是解题关键．
19. 如图所示，图甲是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成，其中，现把图乙中的直角三角形继续作下去，则________，________；若的值是整数，且，则符合条件的有________个．
【答案】 ①. 2 ②. ③. 3
【解析】
【分析】利用勾股定理可求出，即可得到，再根据是整数及，由此可求出n的值的个数．
【详解】由题意得
；
；
；
∵，
∴的值是整数，
∴·的值可以是，，
是整数的有3个．
故答案为：2，，3．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据算术平方根、立方根、零次幂及实数的运算可进行求解；
（2）根据平方差公式、二次根式的运算可进行求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、零次幂、实数的运算及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键．
21. （1）根据所示的程序，求输出的化简结果；
（2）已知的立方根是它本身，选取一个合适的的值代入，求的值．
【答案】（1）；（2）时，
【解析】
【分析】（1）根据分式的运算法则代入依次计算即可；
（2）由分式有意义的条件及立方根的性质确定相应的x的值，然后代入求解即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴，
输出的化简结果为；
（2）∵的立方根是它本身，
∴或或，
由（1）得，
∴取，
则，
∴时，．
【点睛】题目主要考查分式的四则运算及化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
22. 如图，在四边形ABCD中，，AC平分，，交AD的延长线于点E．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠DCA＝∠DAC，由等腰三角形的判定可得结论成立；
（2）证明Rt△CEA≌Rt△CBA，根据全等三角形的性质得到AE＝AB，根据线段垂直平分线的判定即可得到AC垂直平分BE．
【小问1详解】
证明：∵ABDC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵AC平分，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴DA＝DC，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
∵AC是∠EAB的平分线，CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE＝CB，∠CEA＝∠CBA＝90°，
又∵AC＝AC，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE＝AB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义和性质，等腰三角形的判定、平行线的性质、线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是灵活运用各性质进行推理论证．
23. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．
又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为．
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）；
①，均为有理数；②；③；④
（3）若，分别是的整数部分和小数部分，求的值．
【答案】（1），
（2）②④ （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）设点A表示的数为a，则，然后可排除选项；
（3）由题意可知，由此问题可求解．
小问1详解】
解：∵，即，
∴的整数部分是4，小数部分为；
故答案为，；
小问2详解】
解：设点A表示的数为a，由数轴可知，
∴，
∴，，，
∴，，
所以说法正确的有②④；
故答案为②④；
【小问3详解】
解：∵，即，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，即，
∴．
【点睛】本题主要考查无理数的估算、实数与数轴及完全平方公式，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
24. 某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑.某商场用6万元购进甲种型号的平板，很快销售一空.该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，但单价贵了40元，甲型平板和乙型平板售价都是700元，但最后剩下的50件乙型平板按售价的八折销售，很快售完．
（1）该商场购进甲型平板和乙型平板各多少元？
（2）售完这两种平板，商场共盈利多少元？
【答案】（1）商场购进甲型平板每台600元，乙型平板每台640元
（2）元
【解析】
【分析】（1）设第一次购进甲种型号的平板x台，则购进乙种型号的平板台，根据题意列出方程求解即可；
（2）先求出甲型平板电脑的利润，然后计算乙型平板电脑的利润，最后相加即可．
【小问1详解】
解：设第一次购进甲种型号的平板x台，则购进乙种型号的平板台，
根据题意得：，
解得：，
检验：为原分式方程的解，
∴甲型的平板电脑元，
乙型的平板电脑元；
【小问2详解】
由（1）得，甲型号平板电脑购进100台，乙型号平板电脑200台，
销售甲型平板电脑的盈利为：元，
销售乙型平板电脑盈利为：元，
一共盈利为：元．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用及有理数乘法的应用，理解题意，列出方程及算式是解题关键．
25. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若三边长分别是3，和4，则此三角形___________常态三角形（选填“是”或“不是”）；
（2）若是常态三角形．求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小到大排列）．
（3）如图，中，，，点D为的中点，连接、若是常态三角形，求的面积．
【答案】（1）是 （2）
（3）的面积为或．
【解析】
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）分①和②两种情况，利用直角三角形的性质、常态三角形的定义得出的长，从而可得的长，再根据勾股定理求得的长，然后利用直角三角形的面积公式即可得．
【小问1详解】
解：，
是常态三角形，
【小问2详解】
设的两直角边长为，斜边长为，
则，
∵是常态三角形，
，
，，
，，
则三边长之比按照从小到大为．
【小问3详解】
∵中，，点D为的中点，
∴，
①∵，
当时，是常态三角形，
∵，
∴，（负值已舍），
在中，由勾股定理得：，
此时的面积为；
②当时，是常态三角形，
∵，
∴，（负值已舍），
在中，由勾股定理得：，
此时的面积为；
综上，的面积为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、二次根式的乘法运算与化简、利用平方根解方程．直角三角形斜边上的中线的性质，理解常态三角形的定义，并熟练掌握勾股定理是解题关键．
26. 【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
【材料理解】
（1）如图1，在“手拉手”图形中，小高发现若，，，则，请证明小高的发现．
【深入探究】
（2）如图2，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论；
【延伸应用】
（3）①如图3，在四边形中，，，，与的数量关系为：________（直接写出答案，不需要说明理由）；
②如图4，在四边形中，，若，，则的长为________（直接写出答案，不需要说明理由）．
【答案】（1）见详解 （2），理由见详解
（3）①；②2
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后可根据“”判定三角形全等；
（2）连接，然后根据题意可判定，则有，进而根据勾股定理及等腰直角三角形的性质可进行求解；
（3）①由题意易得是等边三角形，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解；②过点C作于点H，过点B作，交的延长线于点G，然后可证，根据等腰直角三角形的性质可得，设，则有，进而根据勾股定理建立方程进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴；
小问2详解】
解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
【小问3详解】
解：①∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为；
②过点C作于点H，过点B作，交的延长线于点G，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则有，
在中，，由勾股定理得：
，
解得：，（负根舍去）
∴；
故答案为2．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
第一步
第二步
第三步