2022-2023学年河北省唐山市十二中八年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省唐山市十二中八年级（上）期末数学试卷解析版，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）2022年零点钟声响起之后，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员也在中国空间站给大家拜年，天地同庆，一起喜迎新年！近两年，中国接二连三地在航天领域中拿出让世界瞩目的成就，下列与航天相关的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3a2）3＝﹣9a6B．（a2）3＝a5
C．a2b•（﹣2ba2）＝﹣2a4b2D．a9÷a3＝a3
3．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和点B（﹣1，﹣6）的对称轴是（ ）
A．直线y＝﹣2B．y轴C．直线y＝4D．x轴
4．（2分）若等腰三角形的两边长分别为4cm和10cm，则该等腰三角形的周长为（ ）cm．
A．18B．24C．26D．18或24
5．（2分）一个多边形的内角和等于它外角和的7.5倍，这个多边形是（ ）边形．
A．15B．16C．17D．18
6．（2分）新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为（ ）m．
A．102×10⁻8B．1.02×10⁻7C．1.02×10⁻8D．1.02×10⁻9
7．（2分）代数式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．﹣1或0D．1
8．（2分）若x2﹣y2＝20，且x+y＝﹣5，则x﹣y值是（ ）
A．﹣5B．4C．﹣4D．5
9．（2分）若关于x的方程﹣＝1的解为整数，则整数a的值的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2分）已知2m+3n＝6，则4m•8n＝（ ）
A．16B．25C．32D．64
11．（2分）若把分式中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．缩小6倍
12．（2分）下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）
A．（x﹣y）2＝（y﹣x）2
B．（x+6）（x﹣6）＝x2﹣6
C．（x+y）2＝x2+y2
D．6（x﹣2）+x（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣6）
13．（2分）已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
14．（2分）如图，一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠ABP＝∠AB．AD＝CDC．∠PBC＝∠ACDD．∠BPC＝118°
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，有点A（﹣2，4）和B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，3）
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．5.5B．6.5C．7.5D．6
18．（2分）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D、E为垂足，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝2ABB．AC＝8ECC．CE＝BDD．BC＝2BD
19．（3分）如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝66°，则∠BOC＝（ ）
A．120°B．130°C．123°D．125°
20．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A＝90°，AD＝4，则
CD＝（ ）
A．8B．7C．6D．5
21．（2分）如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有（ ）个．
A．8B．7C．6D．5
22．（3分）如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．4B．5C．6D．5.5
23．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么α，β，γ三个角的关系是（ ）
A．γ＝2β+αB．γ＝2α+βC．γ＝2α+2βD．γ＝α+β
24．（2分）如图，△ABC，△CDE是等边三角形，C为线段AE上一点，则以下五个结论正确的个数有（ ）个．
①△CEB≌△CDA
②AD＝BE
③∠AOE＝120°
④CM＝CN
⑤OC平分∠BCD
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每分小题3，共12分）
25．（3分）若x2﹣2（m﹣1）xy+16y2是完全平方式，则m＝ ．
26．（3分）（2a2b﹣3）﹣2•（﹣ab2）3÷（a﹣3b）2的化简结果是 ．
27．（3分）已知关于x的分式方程+＝﹣1无解，则m的值为 ．
28．（3分）如图，DP所在直线是BC的垂直平分线，垂足是点P，DP与∠BAC的平分线相交于点D，若∠BAC＝86°，则∠BDC＝ 度．
三、解答题（29、30小题每题5分，31小题8分，题共18分）
29．（5分）因式分解：25a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
30．（5分）解分式方程：．
31．（8分）先化简，再求值：，其中．
32．（8分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗18万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作9小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗16万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产5天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共800万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
33．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为5cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形，求t的值？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，直接写出它的度数．
2022-2023学年河北省唐山十二中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（19、20、22、23每小题2分，其它每小题2分，共52分）
1．（2分）2022年零点钟声响起之后，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员也在中国空间站给大家拜年，天地同庆，一起喜迎新年！近两年，中国接二连三地在航天领域中拿出让世界瞩目的成就，下列与航天相关的图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3a2）3＝﹣9a6B．（a2）3＝a5
C．a2b•（﹣2ba2）＝﹣2a4b2D．a9÷a3＝a3
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣27a6，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝﹣2a4b2，符合题意；
D、原式＝a6，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和点B（﹣1，﹣6）的对称轴是（ ）
A．直线y＝﹣2B．y轴C．直线y＝4D．x轴
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】A
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣1，3）和点B（﹣1，﹣6）横坐标不变，，﹣6+4＝﹣2，
∴两点关于直线的对称轴是y＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
4．（2分）若等腰三角形的两边长分别为4cm和10cm，则该等腰三角形的周长为（ ）cm．
A．18B．24C．26D．18或24
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
【解答】解：当4cm是腰时，4+4＜10cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当10cm是腰时，周长＝10+10+4＝24cm，
故该三角形的周长为24cm，
故选：B．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．（2分）一个多边形的内角和等于它外角和的7.5倍，这个多边形是（ ）边形．
A．15B．16C．17D．18
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和定理与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，
根据题意得：（n﹣2）•180°＝7.5×360°，
解得n＝17．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键，需要注意，多边形的外角和与边数无关．
6．（2分）新型冠状病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为（ ）m．
A．102×10⁻8B．1.02×10⁻7C．1.02×10⁻8D．1.02×10⁻9
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000102＝1.02×10﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是关键．
7．（2分）代数式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1B．0C．﹣1或0D．1
【考点】分式的值为零的条件；代数式求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵代数式的值为零，
∴x2+x＝0且x+1≠0，
解得x＝0，
故选：B．
【点评】此题考查的是分式的值为零的条件，该类型的题易忽略分母不为零这个条件．
8．（2分）若x2﹣y2＝20，且x+y＝﹣5，则x﹣y值是（ ）
A．﹣5B．4C．﹣4D．5
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方差公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）进行计算即可．
【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝20，
∵x+y＝﹣5，
∴x﹣y＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的变形是解题的关键．
9．（2分）若关于x的方程﹣＝1的解为整数，则整数a的值的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先求解该分式方程，再分情况讨论对a的值进行求解．
【解答】解：两边都乘以x（x﹣1），得
x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得x＝，
由题意得为整数，
∴a+2＝3或1或﹣1或﹣3，
∵不能为0或1，
∴a≠1，
∴a+2＝1或﹣1或﹣3，
解得a＝﹣1或﹣3或﹣5，
故选：C．
【点评】此题考查了含有字母参数分式方程问题的求解能力，关键是能准确理解题意并求解．
10．（2分）已知2m+3n＝6，则4m•8n＝（ ）
A．16B．25C．32D．64
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方，即可解答．
【解答】解：4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝26＝64，
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方．
11．（2分）若把分式中的x和y都扩大3倍，且x+y≠0，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．缩小6倍
【考点】分式的基本性质．
【专题】几何图形问题．
【答案】C
【分析】把原式中的x、y分别换成3x、3y进行计算，再与原分式比较即可．
【解答】解：把原式中的x、y分别换成3x、3y，那么
＝×，
∴把分式中的x和y都扩大3倍，分式的值缩小3倍，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．
12．（2分）下列各式中，相等关系一定成立的是（ ）
A．（x﹣y）2＝（y﹣x）2
B．（x+6）（x﹣6）＝x2﹣6
C．（x+y）2＝x2+y2
D．6（x﹣2）+x（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣6）
【考点】平方差公式；完全平方公式．
【答案】A
【分析】A、C符合完全平方公式，根据相反数的平方相等，可得A正确；B、（x+6）（x﹣6）符合平方差公式，可看出后一项没有平方；D可以提取公因式，符号没有处理好．
【解答】解：A、（x﹣y）2＝（y﹣x）2，故A正确；
B、应为（x+6）（x﹣6）＝x2﹣36，故B错误；
C、应为（x+y）2＝x2+2xy+y2，故C错误；
D、应为6（x﹣2）+x（2﹣x）＝（x﹣2）（6﹣x），故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查互为相反数的平方相等，平方差公式，完全平方公式，熟记公式是解题的关键．
13．（2分）已知关于x的分式方程+＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
14．（2分）如图，一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∠2＝45°，
∴∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：C．
【点评】本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠ABP＝∠AB．AD＝CDC．∠PBC＝∠ACDD．∠BPC＝118°
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】利用基本作图得到BP平分∠ABC，则可对B选项进行判断；利用基本作图可得到D点为AC的垂直平分线与AB的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC＝∠ACB＝72°，则∠PBC＝36°，接着利用DA＝DC得到∠ACD＝∠A＝36°，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出∠BPC＝108°，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣36°）＝72°，
∴∠PBC＝∠ABC＝36°，
由作图痕迹得到BP平分∠ABC，D点为AC的垂直平分线与AB的交点，
∴∠ABP＝∠CBP＝36°，所以A选项不符合题意；
∴DA＝DC，所以B选项不符合题意；
∵DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝36°，
∴∠PBC＝∠ACD＝36°，
所以C选项不符合题意；
∵∠PBC＝36°，∠ACD＝36°，
∴∠PCB＝36°，
∴∠BPC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，有点A（﹣2，4）和B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，3）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y＝kx+b，把C、B的坐标代入求出解析式是y＝x﹣2，把y＝0代入求出x即可．
【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，
则此时AP+PB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（﹣2，4），
∴C（﹣2，﹣4），
设直线CB的解析式是y＝kx+b，
把C、B的坐标代入得：，
解得：k＝1，b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
把y＝0代入得：0＝x﹣2，
x＝2，
即P的坐标是（2，0），
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．5.5B．6.5C．7.5D．6
【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝13，∠B＝30°，
∴AD＝6.5，
∴DF＝6.5．
故选：B．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．
18．（2分）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BD⊥AC，DE⊥BC，D、E为垂足，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝2ABB．AC＝8ECC．CE＝BDD．BC＝2BD
【考点】含30度角的直角三角形．
【答案】B
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BC＝AC，BD＝AB，CE＝CD，CD＝BC，从而得出CE＝CD＝BC＝AC，进而求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AC，故A选项错误．
∵BD⊥AC，DE⊥BC，D、E为垂足，
∴BD＝AB，CE＝CD，故C、D选项错误；
∵∠CBD＝∠A＝90°﹣∠ABD，
∴CD＝BC，
∴CE＝CD＝BC＝AC，
∴AC＝8CE，故B选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了余角的性质以及三角形的高的定义．
19．（3分）如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝66°，则∠BOC＝（ ）
A．120°B．130°C．123°D．125°
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝66°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣66°＝114°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×114°＝57°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣57°＝123°．
故选：C．
【点评】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．
20．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A＝90°，AD＝4，则
CD＝（ ）
A．8B．7C．6D．5
【考点】勾股定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义得出∠CBD＝∠DBA，根据线段垂直平分线的性质得出CD＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠CBD，求出∠C＝∠CBD＝∠DBA＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠C＝∠CBD，
∴∠C＝∠CBD＝∠DBA，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝∠DBA＝90°＝30°，
∵AD＝4，
∴BD＝2AD＝8，
∴CD＝BD＝8，
故选A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
21．（2分）如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有（ ）个．
A．8B．7C．6D．5
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．
【解答】解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．
22．（3分）如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（ ）
A．4B．5C．6D．5.5
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】首先过点P作PD⊥OB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出DO的长，再利用等腰三角形的性质求出OM的长．
【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝13，
∴∠OPD＝30°，
∴DO＝＝6.5，
∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1，
∴MO＝DO﹣MD＝6.5﹣1＝5.5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半及等腰三角形的性质，根据此性质得出DO的长是解题关键．
23．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么α，β，γ三个角的关系是（ ）
A．γ＝2β+αB．γ＝2α+βC．γ＝2α+2βD．γ＝α+β
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
24．（2分）如图，△ABC，△CDE是等边三角形，C为线段AE上一点，则以下五个结论正确的个数有（ ）个．
①△CEB≌△CDA
②AD＝BE
③∠AOE＝120°
④CM＝CN
⑤OC平分∠BCD
A．2B．3C．4D．5
【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质得出∠DCE＝∠BCA＝∠ABC＝60°，CE＝CD，BC＝AC，求出∠DCB＝∠ECD＝60°，∠ECB＝∠DCA＝120°，根据全等三角形的判定定理求出△CEB≌△CDA，根据全等三角形的性质得出AD＝BE，∠CDM＝∠CEN，∠EBC＝∠DAC，根据三角形外角性质得出∠AOE＝∠BAO+∠EBC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC＝120°，根据全等三角形的判定定理求出△ECN≌△DCM，根据全等三角形的性质得出CN＝CM，过C作CF⊥AD于F，CQ⊥BE于Q，根据三角形的面积公式求出CQ＝CF，根据角平分线性质的逆定理求出∠COE＝∠COA，求出∠QCO＝∠FCO即可．
【解答】解：∵△ABC，△CDE是等边三角形，C为线段AE上一点，
∴∠DCE＝∠BCA＝∠ABC＝60°，CE＝CD，BC＝AC，
∴∠DCB＝180°﹣∠ECD﹣∠BCA＝60°＝∠ECD，
∴∠ECB＝∠DCA＝60°+60°＝120°，
在△CEB和△CDA中，
，
∴△CEB≌△CDA（SAS），故①正确；
∴AD＝BE，∠CDM＝∠CEN，∠EBC＝∠DAC，故②正确；
∴∠AOE＝∠BAO+∠EBC+∠ABC
＝∠BAO+∠EAD+∠ABC
＝∠BAC+∠ABC
＝60°+60°
＝120°，故③正确；
在△ECN和△DCM中，
，
∴△ECN≌△DCM（AAS），
∴CN＝CM，故④正确；
过C作CF⊥AD于F，CQ⊥BE于Q，
∵△BCE≌△ACD，
∴AD＝BE，S△BCE＝S△ACD，
∵S△BCE＝BE•CQ，S△ACD＝，
∴CQ＝CF，
∵CQ⊥BE，CF⊥AD，
∴∠CNO＝∠CFO＝90°，∠COE＝∠COA（OC平分∠AOE），
∴∠QCO＝∠FCO＝180°﹣90°﹣∠COE（或∠COA），
∵∠MCO＞∠FCO，∠QCO＞∠DCO，
∴∠MCO＞DCO，
即OC不平分∠BCD，故⑤错误；
即正确的个数是4，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，能求出△CEB≌△CDA是解此题的关键．
二、填空题（每分小题3，共12分）
25．（3分）若x2﹣2（m﹣1）xy+16y2是完全平方式，则m＝ 5或﹣3 ．
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】5或﹣3．
【分析】根据完全平方式得出﹣2（m﹣1）xy＝±2×x×4y，求出即可．
【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）xy+16y2是完全平方式，
∴﹣2（m﹣1）xy＝±2×x×4y，
解得：m＝5或﹣3，
故答案为：5或﹣3．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
26．（3分）（2a2b﹣3）﹣2•（﹣ab2）3÷（a﹣3b）2的化简结果是 ﹣a5b10 ．
【考点】整式的除法；负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣a5b10．
【分析】根据负整数指数幂的法则，幂的乘积法则和整式的乘除法则即可求解．
【解答】解：（2a2b﹣3）﹣2•（﹣ab2）3÷（a﹣3b）2
＝2﹣2•a﹣4b6•（﹣a3b6）÷a﹣6b2
＝﹣a﹣4+3b6+6÷a﹣6b2
＝﹣a﹣1+6b12﹣2
＝﹣a5b10，
故答案为：﹣a5b10．
【点评】本题主要考查了整式的乘除，负整数指数幂以及幂的乘方和积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键．
27．（3分）已知关于x的分式方程+＝﹣1无解，则m的值为 1或4 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力．
【答案】1或4．
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可．
【解答】解：去分母得：3﹣2x﹣9+mx＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝9，
∴当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
当m﹣1≠0，即m﹣1≠0时，由分式方程无解，可得x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入（m﹣1）x＝9，
解得：m＝4，
综上，m的值为1或4．
故答案为：1或4．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
28．（3分）如图，DP所在直线是BC的垂直平分线，垂足是点P，DP与∠BAC的平分线相交于点D，若∠BAC＝86°，则∠BDC＝ 94 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】94．
【分析】先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC＝∠EDF，又由∠EAF+∠EDF＝180°，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝86°，
∴∠BDC＝∠EDF＝94°，
故答案为：94．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与转化思想的应用．
三、解答题（29、30小题每题5分，31小题8分，题共18分）
29．（5分）因式分解：25a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（x﹣y）（5a+2b）（5a﹣2b）．
【分析】先提取公因式（x﹣y），再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：原式＝25a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（25a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（5a+2b）（5a﹣2b）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
30．（5分）解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】分式方程无解．
【分析】方程两边都乘x（x+1）（x﹣1）得出7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
﹣＝﹣，
方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
31．（8分）先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，﹣．
【分析】先算括号内的式子，然后算括号外的乘法，再算减法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：﹣（）
＝﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练运用分式的运算法则和因式分解，本题属于基础题型．
32．（8分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗18万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作9小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗16万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产5天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共800万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）当前参加生产的工人有40人；
（2）共需要41天才能完成任务．
【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用每人每小时完成的工作量＝工作总量÷工作时间÷参与工作的人数，即可求出每人每小时完成的工作量，设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数，即可得出关于y的方程求解．
【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
＝，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有40人；
（2）每人每小时完成的数量为：16÷10÷40＝0.04（万剂），
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
5×16+（40+10）×10×0.04y＝800，
解得：y＝36，
36+5＝41（天），
∴该厂共需要41天才能完成任务．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系正确列式计算是解题关键．
33．（10分）如图1，点P、Q分别是边长为5cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形，求t的值？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，直接写出它的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】（1）60°；（2）第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（3）120°．
【分析】（1）因为点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CQM的度数．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝tcm，PB＝（5﹣t）cm．分别就①当∠PQB＝90°时；②当∠BPQ＝90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．
（3）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC＝∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．
【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，
又由条件得AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝tcm，PB＝（5﹣t）cm，
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得5﹣t＝2t，t＝；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（5﹣t），t＝；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC＝∠MQC，
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．