精品解析：河北省石家庄市外国语教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：河北省石家庄市外国语教育集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，四象限，故选C．，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有16个小题，第1—10小题每小题3分，第11—16小题每小题2．分，共42分．在每小题给山的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 一元二次方程x2﹣4=0的解是（ ）
A. x=2B. x1=，x2=﹣
C. x=﹣2D. x1=2，x2=﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】移项后直接开平方求解可得．
【详解】∵x2﹣4=0，∴x2=4，∴x1=2，x2=﹣2．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2. 如图，在中，，，则（ ）

A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键．根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，，，
故选：A．
3. 从如图所示的扑克牌中任取一张，牌面数字是3的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率公式直接计算即可解答．
【详解】解：从中随机抽出一张牌，牌面所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现3的倍数的情况有1种，
∴P（牌面是3的倍数）=；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是确定整个事件所有等可能的结果，难度不大．
4. 下列各点在反比例函数图像上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据得k＝xy＝﹣4，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于−4，就在函数图象上．
【详解】A、1×4=4≠﹣4，故点不在反比例函数图像上，A选项不符合题意；
B、﹣2×2=﹣4，故点在反比例函数图像上，B选项符合题意；
C、﹣2×﹣2=4≠﹣4，故点不在反比例函数图像上，C选项不符合题意；
D、﹣4×﹣1=4≠﹣4，故点不在反比例函数图像上，D选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5. 某物体如图所示，其俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图的意义判断即可．
【详解】 的俯视图是
．
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键．
6. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】C
【解析】
【分析】由交点式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
【详解】解：，
函数图象与轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键．
7. 如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（ ）.
A. 内部B. 外部C. 圆上D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，先确定圆心的位置，再求出半径，最后根据点和圆心的距离，判断点和圆的位置关系.
【详解】
如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O，
∵ ，
∴点M在圆上，
故选C.
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，根据垂径定理，确定圆的圆心，是初中圆这一部分常见的作图，需要引起注意.
8. 如图，所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是 （ ）
A. 第一象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第一、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据输入程序，求得y与x之间的函数关系是y=-，由其性质判断所在的象限．
【详解】解：x的倒数乘以-5为-，即y=-，则函数过第二、四象限，故选C．
【点睛】对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
9. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是( )
A. 点DB. 点EC. 点FD. 点G
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
【详解】根据图形可知，直线DG是△ABC的BC边上的中垂线，点D在△ABC的AB边上的中垂线上，
∴点D是△ABC外心．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外心的定义，注意：三角形三边中垂线相交于一点，这一点是此三角形的外心．
10. 石家庄博物馆五位小讲解员的年龄分别为13，14，14，12，15（单位：岁），则三年后这五位小讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A. 方差B. 众数C. 中位数D. 平均数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：∵石家庄博物馆五位小讲解员的年龄分别为13，14，14，12，15
∴则三年后这五位小讲解员的年龄16，17，17，15，18，
∴会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差．
故选：A．
11. 如图，点B，C，D在上，，点A是的中点，则的度数是（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，先求出的度数，根据圆周角定理，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴的度数为，
∵点A是的中点，
∴的度数为，
∴；
故选A．
12. 如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3cm，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（ ）

A. 2.2mB. 2mC. 1.8mD. 1.6m
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出CE，再利用相似三角形的判定与性质进而求出DF、AF的长即可得出AD的长．
【详解】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴＝＝，
∵BC＝2.6m，BE＝1m，
∴EC＝2.4（m），
即＝＝，
解得：FB＝，AF＝，
∵△CDF∽△CEB，
∴＝，
即
解得：DF＝，
故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），
答：此时点A离地面的距离为2.2m．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质，利用勾股定理，正确利用相似三角形的性质得出FD的长是解题的关键．
13. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A. 黑球B. 黄球C. 红球D. 白球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由频率估计概率，计算出各种颜色的求出现的概率即可求解
【详解】解：由题意得：白球出现的概率为：；红球出现的概率为：；黄球出现的概率为：，
∵试验中该种颜色的球出现的频率稳定在附近，
∴该球的颜色最有可能是黄球，
故选：B
14. 已知二次函数，当时，则函数的最小值和最大值分别是（ ）
A. 和5B. 和5C. 和D. 和5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数开口方向以及的取值确定函数的最值，求出函数的最值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵二次函数为，
∴对称轴为，开口向上，
在对称轴处取得最小值，
∵距离对称轴比2距离对称轴的距离要小，
∴在处取得最大值为5，
∴当时，函数的最小值和最大值分别是和5，
故选：B．
15. 因班级文化建设需要，小方需要在一张的矩形卡纸中裁剪出若干张半径为，圆心角是的扇形纸片，若采取如图所示进行裁剪，则最多可以裁剪出扇形纸片（ ）

A. 20张B. 21张C. 40张D. 41张
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，二次根式除法，在中，，则，再由即可得到答案．
【详解】解：如图所示，在中，，
∴，
∵，
∴最多可以裁剪出扇形纸张，
故选：C．

16. 内接于，过点A作直线EF，已知，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与的位置关系：
甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与相切；
乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与相切；
下列判断正确的是（ ）
A. 甲对，乙不对B. 甲不对，乙对C. 甲乙都对D. 甲乙都不对
【答案】C
【解析】
【分析】甲：根据直径推出，推出，根据切线判定推出即可；
乙：作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可．
【详解】解：甲：是的直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
乙：作直径，连接，
即（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
故选：C．
【点睛】考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角，正确应用定理等知识是解决问题的关键．
二、填空题（本大题有3个小题，第17小题3分．第18-19小题，每小题4分，共11分）
17. 将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【详解】解：，
∴二次函数的图象的顶点坐标是，
图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
18. 刘微是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利出圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率．如图，多边形是的内接正边形．已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为．下面推断中，
①当变化时，随的变化而变化，与满足函数关系．②无论n，r为何值，总有．③若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足二次函数关系．其中正确的是_________．（填序号）．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】分别表示出与n、d与r、S与r的关系式，进而判定得出结论．
【详解】解：①当n变化时，随n的变化而变化，与n满足函数关系，①正确；
②当时，，，
∴，故②错误；
③如图，
∵n为定值，，
∴为定值，
∵，
∴，
∴S与r满足二次函数关系． ③正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数，反比例函数，二次函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
19. 小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同．小强在地面立一块高度为的木板，以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为．

（1）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是_________；
（2）为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出第一次运行路线所在的抛物线解析式，再令得，解方程即可得解；
（2）利用待定系数法先求得第二次弹起的抛物线，再求出时对应自变量的值即可求解．
【详解】解：（1）乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点，
设第一次运行路线所在的抛物线解析式为．
代入得，，
解得，
，
令，则
解得，（舍）
，即乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为，
故答案为：；
（2）乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为，
设．
代入得．
解得，（舍）
．
当时，，
解得，
∴为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是，
故答案为：．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 已知关于的二次三项式．
（1）若有两个相等的实数根，求的值；
（2）嘉琪将其变形为的形式，用含的式子表示．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，配方法的应用：
（1）根据题意可得，解之即可得到答案；
（2）利用配方法求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：
，
∴．
21. 如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作于，由角平分线的性质可得，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）解直角三角形得到，由勾股定理可得，证明得出，从而得到，设的半径为，则，，由勾股定理可得，即，求出的值即可得解．
【小问1详解】
证明：如图，作于，
，
平分，，，
，
与相切；
【小问2详解】
解：，，，
，
∴，
∴，
如图，作于，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
由勾股定理可得，
，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形、三角形全等的判定与性质、切线的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
22. 图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，、、、、、分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．
（1）小球经过通道的概率是_________；
（2）如果向放入一个同样的小球，小球落在三个小槽中的概率分别是多少？用列表或画树状图的方法进行说明．
【答案】（1）
（2）小球落到、、的概率分别为。
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）因为共有两种等可能结果，其中小球经过通道的结果有1种，再由概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图，共有4种等可能的路径，其中落入号槽的有1种，落入号槽的有2种，落入号槽的有1种．再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵小球从落下的时候只有经过、两种情况，且两种情况的概率是相同的，
∴球经过通道概率是，
故答案为；；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有4中等可能性的结果数，其中小球落到、、的结果数分别有1种，2种，1种，
∴小球落到、、的概率分别为。
23. 如图1~图3，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
（1）当点和点重合时，线段的长为_________；
（2）如图2，当点和点重合时，求；
（3）如图3，当点在边上运动时，直接写出的形状和其外接圆半径的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）等腰直角三角形，
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）证明，得到，即可得出结果；
（3）过点作，证明，得到，得到为等腰直角三角形，根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边上的中点，得到半径为，根据，得到当最小时，半径最小，求解即可．
【小问1详解】
解：∵矩形，
∴，，
当点和点重合时，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
当点和点重合时，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
【小问3详解】
过点作，则四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴的外接圆的圆心为的中点，
∴半径为，
∴当值最小时，半径最小，
∵，
∴的值最小时，半径最小，
∵在上运动，
∴当时，最小，此时四边形为矩形，
∴，
∴，
∴半径的最小值为：．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的外接圆，以及垂线段最短等知识，综合性强，熟练掌握相关知识点，并灵活运算，是解题的关键．
24. 生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）求出口C点到的距离的长；
（3）若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？
【答案】（1）
（2）4 （3）1米
【解析】
【分析】（1）先根据题意求出点B的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出的长，从而求出点C的坐标，进一步求出的长即可；
（3）先求出当时，，再根据反比例函数的性质可得点Q的横坐标要大于等于2，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
小问2详解】
解：∵，
∴点C的纵坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：在中，当时，，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，，即点Q的横坐标要大于等于2，
∴点Q到的距离至少是米．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键．
25. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图和图所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点，如图，初始情况下，重合，且．
计算：在图1中．
（1）求圆心到水面的距离；
（2）求水槽最高和最低点之间的距离；
探究：将图中的水槽沿向右作无滑动的滚动，当时停止滚动，如图．
（）在图中画出此时的水面截线，并求圆心移动的距离．
拓展：在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，求其所对扇形的面积．
（参考数据：，，）
【答案】计算：（1）；（2）；（3）；拓展：
【解析】
【分析】（1）设交于点，根据垂径定理得出，进而勾股定理即可求解；
（2）连接，勾股定理求得，进而根据，即可求解；
（3）根据解直角三角形得出，则，依题意，点移动的距离即为的长，根据弧长公式，即可求解；
拓展：作，则段弧从未露出水面，进而根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，设交于点，
∵，则，
∵
∴
∴，
在中，
即圆心到水面的距离；
（2）如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴
由（1）可得
∴
∴和最低点之间的距离为；
（3）如图所示，
∵
∴
∴，
又∵
∴
根据题意，点移动的距离即为的长，

∴点移动的距离为；
拓展：依题意，在图滚动至图的过程中，有一段弧从未露出水面，
由（3）可知，滚动过程中，旋转了，如图所示，作，，则，
∴点对应图2的点，
∴段弧从未露出水面，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，求弧长公式，解直角三角形，求扇形面积公式；理解其运动过程是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）点与点的纵坐标的差为或
（4）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解；
（3）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，①如图所示，当都在对称轴的左侧时，当在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于时，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点．
∴
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为
∴，
解得：；
【小问3详解】
①轴时，点关于对称轴对称，
，
∴，则，，
∴，
∴点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则关于直线对称，
∴，
则
∴，；
∴点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为或；
【小问4详解】
①如图所示，当都在对称轴的左侧时，

则
∴
∵，即
∴；
∵
∴
解得：或（舍去）；
②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，

则，即，
则，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）；
③当点在的右侧且在直线上方时，即，

，
∴
解得：或（舍去）；
④当在直线上或下方时，即，
，
，
，
解得：（舍去）或（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．