精品解析：河北省张家口市桥西区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

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考生注意：1．本试卷共4页，总分100分，考试时间90分钟；
2．请务必在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效．考试结束，只收答题纸．
3．答卷前，请在答题纸上将姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写清楚．
4．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净．
5．主观题答案须用黑色字迹钢笔、签字笔书写．
6．必须在答题纸上题号所对应的答题区域内作答，超出答题区域的书写，无效．
7．保持卷面清洁、完整．禁止对答题纸恶意折损，涂画，否则不能过扫描机器．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的开口向（ ）
A. 左B. 右C. 上D. 下
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像和性质，根据二次函数的图像当时开口向上即可得答案．
【详解】∵中，，
∴抛物线的开口向上，
故选：C．
2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．
故选：A.
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3. 二次函数图象与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标问题，令，得出，即可求解．
【详解】解：当时，，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
故选：B．
4. 体育课上，小明在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（ ）
A. MB. NC. PD. Q
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要参考了点和圆的位置关系，比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
通过比较线段的长短，即可得到，进而得出表示最好成绩的点为点Q．
【详解】如图所示，连接，，，，
∵．
∴表示最好成绩的点是点Q．
故选：D．
5. 抛物线的对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质．在中，对称轴为，顶点坐标为，据此求解即可．
【详解】解：，
抛物线对称轴为直线，
故选：C．
6. 如图，在中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”解题即可．
【详解】解：∵ 在中，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
7. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】该题考查函数图象与坐标轴的交点关系．首先用判定图象与轴的交点情况；再判定与轴交点的情况即可解答．
【详解】解：因为△判断，图象与轴有一个交点．
∵当时，，
∴函数图象与轴有一个交点，
∴二次函数与坐标轴有2个交点．
故选：C．
8. 直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，则r的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．
【详解】解：∵直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，
∴，
∵，
∴A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
9. 下列二次函数图象的顶点坐标是的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：A. 的顶点坐标是，不合题意，
B. 的顶点坐标是，不合题意，
C. 的顶点坐标是，不合题意，
D. 的顶点坐标是，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
10. 如图，的直径，为上的一点，，则的长为（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，先得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵的直径，为上的一点，，
∴，则，
故选：D．
11. 在函数的图象上有两点、，则、的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，根据解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，即可得出，熟练掌握二次函数的对称性是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为点，也就是点，
∴．
故选：A
12. 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可．
【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
13. 某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，图中阴影部分的面积为S，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系分别是（ ）
A. 二次函数关系B. 正比例函数关系C. 反比例函数关系D. 一次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质．设为常数），根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据三角形和矩形的面积得到结论．
【详解】解：设为常数），是等腰直角三角形，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
与成二次函数关系．
故选：A．
14. 如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为)变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形(面积记为)，则与的关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，扇形面积公式， 先用正方形面积公式求出正方形面积，再根据题意结合图形得出，，利用扇形面积与弧长的关系式求出，从而比较得解．熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
【详解】解：根据图形可得：，弧长，即的长，
∴，，
∴，
故选：B．
15. 若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．
【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上
故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
16. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若，，有以下两个结论：①当与相切时，；②当时，．
则判断正确的是（ ）
A. ①对②错B. ①错②对C. ①②均对D. ①②均错
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段的和与差，勾股定理，切线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．由题意可得：，，，，当与相切时，由勾股定理可求，从而可求，可判断①；当时，由勾股定理可求，从而可求，即，可判断②．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∴，
如图，当与相切时，
∴，
∴，
∴，故①正确；
当时，如图，
，
∴，
∴，
∴，故②错误．
故选A
二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分；18一19小题各4分，每空2分）
17. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．
【答案】答案不唯一（，任何，的二次函数均可）
【解析】
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．
【详解】解：∵顶点在坐标原点，
∴可设抛物线解析式为y=ax2，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2，
故答案为：答案不唯一（，任何，的二次函数均可）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
18. 如图，半径为2的圆内接正八边形的中心为O，连接，______°，______．
【答案】 ①. 135 ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，同时也利用了圆周角、圆心角等知识点．由于多边形是正八边形，所以各个内角相等，然后利用多边形的内角和定理即可求出，然后连接，，求出中心角即可求解．
【详解】解：多边形为正八边形，
这个八边形的所有内角相等，
，
如图，连接，，，
则，
而，
．
故答案为：135，．
19. 已知二次函数中，函数与自变量之间部分对应值如表所示，根据表中的数据，写出的值为_____，的值为_____．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表中数据可求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的对称性可得答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由表格可知：当和时的值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
则抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式为：，
∴，
当时，，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 已知抛物线．
（1）求该抛物线与x轴的交点的坐标；
（2）该二次函数的图象是否经过点？判断并说明理由．
【答案】（1），
（2）不在，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点，判断抛物线是否经过某点．
（1）求出时自变量的值，即可解答；
（2）求出时的函数值，判断是否为5，若等于5，则经过，否则，不经过．
【小问1详解】
解：令，即，
解得，．
∴抛物线与x轴的交点的坐标为，．
【小问2详解】
解：该二次函数的图象是不经过点，理由如下：
当时，，，
∴该二次函数的图象是不经过点．
21. 如图，在中，，于点D，于点E，和的大小有什么关系？为什么？
【答案】相等，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了等弧所对的圆心角相等，角平分线的性质定理．首先根据等弧所对的圆心角相等得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可．
【详解】解：相等，
理由如下：在中，，
∴，
∴OC是的角平分线，
∵，，
∴．
22. 已知二次函数，当时，求函数y的取值范围．嘉琪同学的解答如下：
判断嘉琪的解答是否正确吗，如果正确，请在方框内打“√”：如果错误，请在方框内打“×”，并写出正确的解答过程．
【答案】×，见解析
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，先将该二次函数解析式化为顶点式，根据开口方向向上，求出最小值为2，再求出当时和当时的函数值，即可解答．
【详解】解：嘉琪的解答不正确．故在方框内打“×”；
正确解答过程为：
由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴当时，y取得最小值，此时，
当时，y取得最大值，此时，
∴当时，函数y的取值范围为．
23. 如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为、，，求的半径．
【答案】的半径是4．
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理．根据垂径定理求出，根据题意推出四边形是正方形，根据正方形的性质得到，根据垂径定理求出，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形
连接，
∵，
∴，
在中，，
∴的半径是4．
24. 如图，已知抛物线经过点．
（1）求b的值；
（2）将该抛物线进行平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方式．
【答案】（1）
（2）先向右平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法和二次函数图象的平移规律是解题关键．
（1）将点代入计算即可得；
（2）根据二次函数图象的平移变换规律“左加右减，上加下减”求解即可得．
【小问1详解】
解：将点代入得：，
解得．
【小问2详解】
解：由（1）可知，抛物线的解析式为，
则将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线的解析式为，即为，经过坐标原点，
所以平移的方式为先向右平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一）．
25. 如图，AB与相切于点C，，cm．
（1）若的直径为8cm，求OA的长；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质定理，正弦函数的定义，弧长公式．
（1）由切线的性质定理得到，由等腰三角形的性质求出，由勾股定理即可求出的长；
（2）由，得到，求出，由弧长公式即可求出的长．
【小问1详解】
解：连接OC，如图，
∵AB与相切于点C，∴，
∵，
∴，
在中，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴的长为．
26. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：飞机飞行的水平距离为36m；任务3：发射台弹射口高度为．
【解析】
【分析】本题考查二次函数应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
任务1：根据待定系数法求解即可；
任务2：令二次函数代入函数解析式即可求解；
任务3：设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为，结合，即可求解．
【详解】解：任务1：设y关于t的函数表达式为，
将，，代入得，，
解得，，
故y关于t的函数表达式为；
任务2：当飞机落地时，即，
，即
解得，或（舍去），
，
时，，
故飞机落地时，飞行的水平距离为；
任务3：若飞机落在内，则，
即，
，
设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为，
当，时，，
解得，，
当，时，，
解得，，
，
故发射台弹射口高度为．
解：
当时，则；
当时，则；
所以函数y的取值范围为．
如何探测弹射飞机轨道设计？
素材1
图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：，飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系．数据如表所示．
素材2
图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知m，m．
问题解决
任务1
求y关于t的函数表达式；
任务2
当飞机落地（高度为0m）时，求飞机飞行的水平距离；
任务3
当飞机落到内（不包括端点A，B），直接写出发射台弹射口高度的偶数值．