2022-2023学年河北省石家庄外国语教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省石家庄外国语教育集团九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共52.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，在一块直角三角板中，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

2.下列事件中，是随机事件的是(    )

A. 晴天太阳从东方升起
B. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球
C. 任意画一个三角形，其内角和是
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数

3.如图，在中，，如果，，，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

4.把二次函数配方成顶点式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.如图，已知是半圆的直径，，是弧上任意一点，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.二次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

7.若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是(    )

A. 正九边形 B. 正八边形 C. 正七边形 D. 正六边形

8.在对一组样本数据进行分析时，佳琪列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是(    )

A. 样本的平均数是 B. 样本的众数是 C. 样本的中位数是 D. 样本的总数

9.河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为：，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图，其中出球点离地面点的距离是米，球落点的距离是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11.如图，以点为位似中心，把放大得到，且位似比为：，以下说法中错误的是(    )

A. ∽
B. ：：
C. ：：
D.

12.下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：

正确的作图步骤应该是(    )

A.  B.  C.  D.

13.关于反比例函数，点在它的图象上，下列说法中错误的是(    )

A. 当时，随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限
C. 点和都在该图象上 D. 当时，

14.如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上，两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上点处测得，，已知河宽米，则，两点间的距离为(    )
参考数据：，，

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

15.二次函数为常数，且中的与的部分对应值如表下列结论错误的是(    )

A.  B.
C. 当时，的值随的增大而增大 D. 表中盖住的数是

16.如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

17.如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成个相同的小扇形若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有______ 个

18.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为厘米，厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为分钟，则现在“图上”太阳与海平线的位置关系是______ ；“图上”太阳升起的平均速度为______ 厘米分．

19.某公司分别在，两城生产同种产品，共件，城生产产品的总成本万元由两部分和组成，一部分与产品数量，单位：件的平方成正比，比例系数为；另一部分与成正比，比例系数为，生产中得到表中数据城生产产品的每件成本为万元．

______ ， ______ ；
当城生产______ 件时，这批产品的总成本的和最少，最小值为______ 万元．

20.如图，等边三角形的边长为，动点从点出发沿运动到点，连接，作，交于点．
若，则的长为______ ；
动点从点运动到点时，点的运动路径长为______ ．

三、解答题（本大题共3小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.本小题分
某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了名学生分成甲、乙两组，每组各人，进行“网络安全”现场知识竞赛把甲、乙两组的成绩进行整理分析满分分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般．
收集整理的数据制成如下两幅统计图：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
已知该校九年级有人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

22.本小题分
已知：抛物线与轴交于点、两点，为抛物线顶点曲线段是双曲线上的一段，点，点．
如图，当抛物线经过点时，
请求出这个抛物线的解析式，并求出点、的坐标；
该抛物线是否存在一点异于点的点使得，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由；
若、为抛物线上两点，且，直接写出、的大小关系．
若抛物线与曲线段有交点，则满足条件的整数有______ 个

23.本小题分
如图，在边长为的等边三角形中，动点从点出发，沿边向终点运动，同时，动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒个单位长度，运动时间为，以为直径在右侧作半圆．
当在处时，半圆落在三角形内部的弧长为______ ；
当半圆与除点外，另有交点时，若，求的度数；
直接写出：当为何值时，半圆正好与等边三角形的一边相切．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
利用特殊角的三角函数值，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、晴天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
B、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，不符合题意；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理求解．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
由于二次项系数是，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：

5.【答案】 

【解析】解：四边形为圆的内接四边形，
，
，
则，
是半圆的直径，
，
，
故选：．
由为半圆的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得为直角，在三角形中，与互余，由的度数求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，进而求得答案．
此题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，涉及的知识有：直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，以及圆内接四边形的对角互补，利用了转化的思想，熟练掌握以上知识是解本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：二次函数，，，，
该函数的图象开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，
故选：．
根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质，可以得到该函数图象的开口方向，对称轴所在的位置，与轴的交点位置，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

7.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
由题意得，，
解得，，
故选：．
根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，这组数据为、、、、，
所以这组数据的样本容量为，中位数为，众数为，平均数为，
故选：．
先根据方差的公式得出这组数据为、、、、，再根据样本容量、中位数、众数和平均数的概念逐一求解可得答案．
本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数和平均数，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．

9.【答案】 

【解析】解：中，，迎水坡的坡比为：，
：：，
，
．
故选：．
在中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．

10.【答案】 

【解析】解：令，则，
解得：，舍去，
球落地点到点的距离是米．
故选：．
根据解析式与轴的交点得出球落地点到点的距离．
本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质求最值是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，把放大得到，且位似比为：，
∽，：：，：：，，
故选项A、、说法正确，不符合题意，选项B说法错误，符合题意；
故选：．
根据位似图形是相似图形、相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：正确的作图步骤应该是：，
故选：．
根据同弧所对的圆周角相等求解．
本题考查了作图，掌握圆周角定理是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
当时，随的增大而减小，选项A不符合题意；
B.，
反比例函数的图象位于第一、三象限，选项B不符合题意；
C.点在反比例函数的图象上，
，
点和都在反比例函数的图象上，选项C不符合题意；
D.当时，，且当时，随的增大而减小，
当时，或，选项D符合题意．
故选：．
A.利用反比例函数的性质，可得出当时，随的增大而减小；
B.利用反比例函数的性质，可得出反比例函数的图象位于第一、三象限；
C.利用反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点和都在反比例函数的图象上；
D.利用反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，可得出当时，．
本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：作于点，如图，
，
，，
，，
，，
米，，，
，，
解得米，米，
米，
故选：．
根据题意和题目中的数据，利用平行线的性质和锐角三角函数，可以表示出和，然后即可得到的长．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】 

【解析】解：由表格可得抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
为抛物线顶点，抛物线开口向下，
，故A正确，不合题意；
抛物线对称轴为直线，
，
，故B正确，不合题意；
抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
当时，的值随的增大而减小，故C错误，符合题意；
抛物线对称轴为直线，
的对称点为，
表中盖住的数是，故D正确，不合题意．
故选：．
由表格可得抛物线经过，，从而可得抛物线的对称轴及顶点坐标，进而求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，

连接、，
，，，
，
，
点为的内心，
平分，平分，
，，
平移使其顶点与重合，
，，
，，，，
，，∽，
，，：：：：，
设，，，
由得，
，
，
，，
，
故选：．
连接、，可证得，，∽，进而设，，，进而求得的值，进一步得出结果．
本题考查了内心的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．

17.【答案】 

【解析】解：个．
故涂上红色的小扇形有个．
故答案为：．
先根据题意可知指针指向红色的概率是，而共有个等分区，结合概率公式即可求出答案．
本题考查了概率公式，掌握概率公式的求法，即概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常考题型．

18.【答案】相交   

【解析】解：结合图形，依题意得：“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；
故答案为：相交．
设圆心为，过点作于，直线交圆于，，如图：

，，
在中，由勾股定理得：，
，
“图上”太阳升起的平均速度为：厘米分．
故答案为：．
结合图形依题意即可得出答案；
设圆心为，过点作于，直线交圆于，，先利用勾股定理得求出，进而得，据此可求出“图上”太阳升起的平均速度．
此题主要考查了垂径定理及其推论，勾股定理等，理解垂径定理及其推论，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．

19.【答案】       

【解析】解：根据题意得：，
把和分别代入，
得
．
故答案为：，；
由知：城生产产品的总成本为：，
设当城生产件时，这批产品的总成木的和最少，最小值为万元
则城生产件，
根据题意得：，
得，
，
当时，这批产品的总成本的和最少，最小值为万元，
故答案为：，．
首先根据题意得：，再利用待定系数法即可求得、的值；
首先由知：城生产产品的总成本为：，设当城生产件时，这批产品的总成本的和最少，最小值为万元，根据题意得：，再根据二次函数的性质，即可求得．
本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，准确求得二次函数的解析式，熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．

20.【答案】   

【解析】解：是等边三角形，
，，
，，
，
∽，
：：，
，
，
：：，
，
故答案为：．
设，，
∽，
：：，
，
：：，
，
当时，有最大值，
当运动到中点时，最大是，
当从中点运动到时，又回到，
点的运动路径长为．
故答案为：．
由三角形外角的性质，等边三角形的性质，可以证明∽，即可求出的长．
设，，由∽，得到关于的函数关系式，即可求出的最大值，从而求出运动路径长．
本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹，关键是明白运动的轨迹．

21.【答案】     

【解析】解：乙组的平均数分，
将乙组的名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，即中位数，
甲组名同学成绩出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是分，即，
故答案为：，，；
人，
答：该校八年级名学生中网络安全意识非常强的大约有人；
甲组名，乙组名满分的同学中任意选取名，所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有种，
所以两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；
列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键．

22.【答案】 

【解析】解：将点的坐标代入抛物线的表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
令，
解得：或，
故点、的坐标分别为、；
由知，顶点，
，
，
当时，，
解得：，
即点的坐标为或；
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，点离对称轴的距离比点离对称轴的距离远，
；

设反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即点，
当抛物线过点时，由知：，
将抛物线过点时，则，
解得：，
若抛物线与曲线段有交点，
则
即或或，即符合条件的有个，
故答案为：．
用待定系数法即可求解；
由，得到，进而求解；
当时，点离对称轴的距离比点离对称轴的距离远，进而求解；
当抛物线过点时，由知：，同理可得抛物线过点时，，进而求解．
本题考查二次函数综合题，涉及到反比例函数的应用、二次函数点的数据特征、面积的计算，有一定能够的综合性，难度适中．

23.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，，
是等边三角形，
，
，，
和是等边三角形，
，，
，
，
故答案为：；
如图，

，，
，
；
如图，

当直径时，
切于，
，
，
，
如图，

当直径于时，
，
，
，
如图，

当切于时，连接，作，交于，作于，作于，连接，
则，，
，
在中，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或或．
连接，，求得的度数，进而根据弧长公式得出结果；
先求出的度数，进而根据三角形的外角与内角的关系得出结果；
分为与，，分别相切三种情形．当与相切时，此时，根据求得结果；当与相切时，此时，根据求得结果；当与相切时，连接，作，交于，作于，作于，连接，解，表示出，，，，进而求出，进而得出，从而得出，进而列出方程求得结果．
本题考查了等边三角形性质，圆的切线的性质，弧长公式，垂径定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．