2022-2023学年河北省石家庄市外国语学校九年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市外国语学校九年级（上）期末数学试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、选择题（本大题有16个小题，共52分，1-8小题各4分，9-12小题各3分，13-16小题各2分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数即可得解．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知，sin30°=，
故选A．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的计算，关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 晴天太阳从东方升起B. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球
C. 任意画一个三角形，其内角和是D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】解：A、晴天太阳从东方升起，是必然事件，故该选项不符合题意；
B、从一个只装有白球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，故该选项不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，故该选项不符合题意；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 如图，在中，，如果，，，那么的值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．
4. 把二次函数配方成顶点式为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式变形即可得到答案．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了化二次函数一般式为顶点式，正确应用完全平方公式是解题关键．
5. 如图，已知是半圆的直径，，是弧上任意一点，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，求得的度数，由为半圆的直径，根据圆周角定理可得直径所对的圆周角为直角，可得为直角，在中，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形为圆的内接四边形，，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
则
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，涉及的知识有：直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，以及圆内接四边形的对角互补，利用了转化的思想，熟练掌握以上知识是解本题的关键．
6. 二次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
【详解】解：在二次函数中，
，图象开口向上，顶点坐标为在第四象限，
∴符合条件的图象是B．
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．
7. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（ ）
A. 正九边形B. 正八边形C. 正七边形D. 正六边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
8. 在一对组样本数据进行分析时，佳琪列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本的平均数是4B. 样本的众数是4
C. 样本的中位数是4D. 样本的总数
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的计算公式：一组数据的每一个数分别减去这组数据的平均数的差的平方和，除以数据的个数，进行判断即可．
【详解】解：由：可知：
这组数据为：，平均数为4，
∴这组数据的中位数为：；样本的总数；众数为：；
∴，选项正确，不符合题意；选项错误，符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查平均数，中位数，众数和方差．正确理解方差的计算公式，是解题的关键．
9. 河堤的横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为，
∴，
解得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．
10. 2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点离地面点的距离是米，球落地点到点的距离是（ ）
A. 1米B. 3米C. 5米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】令求得x的值即可求解．
【详解】解：令，则，
解得：，（舍去），
∴球落地点A到O点的距离是5米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键．
11. 如图，以点为位似中心，把放大得到，且位似比为，以下说法中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵把放大得到，且位似比为，
∴A、，该选项不符合题意；
B、，该选项符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
12. 下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
正确的作图步骤应该是（ ）
A. ①③②B. ③②①C. ③①②D. ②①③
【答案】C
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做的中垂线，利用交点确定圆心，再画出的外接圆，进行判断即可．
【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴画出的外接圆，在弧上取一点，连接，．即可得到，
∵外心是三角形三边的中垂线的交点，
∴先作的中垂线，利用交点确定圆心，再点为圆心，为半径作的外接圆，然后在弧上取一点，连接，，即可．
∴作图的顺序为：③①②；
故选C．
【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，以及同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
13. 关于反比例函数，点在它的图象上，下列说法中错误的是（ ）
A. 当时，随的增大而减小B. 图象位于第一、三象限
C. 点和都在该图象上D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，，在每一个象限内，随的增大而减小，
∴当时，随的增大而减小，选项正确，不符合题意；
B、，双曲线位于第一、三象限，选项正确，不符合题意；
C、∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
即：点和都在该图象上，选项正确，不符合题意；
D、当时，，当时，，选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
14. 如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与平行的直线上点A处测得，，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（ ）（参考数据：，，）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，利用平行线的性质和锐角三角函数，可以表示出和，然后即可得到的长．
【详解】解：作于点D，如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵米，，，
∴，，
解得米，米，
∴米，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
15. 二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如下表．下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 当时，的值随的增大而增大D. 表中盖住的数是0
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称点坐标，确定抛物线的对称轴，再根据对称轴判定对称点，根据函数的增减性，判定抛物线的开口方向即可．
【详解】因为是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以，
故B正确；
所以是抛物线的顶点，且为有最大值，
故抛物线开口向下，
所以，
故A正确；
因为
所以是对称点，
所以表中盖住的数是0，
故D正确；
因为，
所以对称轴的右侧，的值随的增大而减小，
故C错误．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，对称点，最值，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
16. 如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内心的性质以及再根据平移的性质和平行线的性质证明，，所以，，证明是直角三角形，得到，推出，设，，，由，据此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵点I为的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∵平移使其顶点与I重合，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴是直角直角三角形，且，
由题意得，
∴，即，
设，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
二、填空题（本大题有4个小题，共16分，每题4分）
17. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有________个．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
【详解】解：（个）．
故涂上红色的小扇形有3个．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
18. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是________；②“图上”太阳升起的平均速度为________厘米/分．
【答案】 ①. 相交 ②. 1
【解析】
【分析】首先根据海平面与圆有两个交点可判断出直线与圆的位置关系，然后连接，过点O作于D，由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，然后计算出太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【详解】解：∵海平面与圆有两个交点
∴现在“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；
设“图上”圆的圆心为O，连接，过点O作于D，如图所示：
∵厘米，
∴（厘米），
∵厘米，
∴（厘米），
∴海平线以下部分高度（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为8分钟，
∴“图上”太阳升起的速度（厘米/分），
故答案为：相交，1．
【点睛】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19. 某公司分别在A，两城生产同种产品，共件．A城生产产品的总成本（万元）由两部分组成，一部分与（产品数量，单位：件）的平方成正比，比例系数为；另一部分与成正比，比例系数为，生产中得到表中数据．城生产产品的每件成本为万元．
①________，________；
②当A城生产________件时，这批产品总成本的和最少，最小值为________万元．
【答案】 ①. 1 ②. ③. ④.
【解析】
【分析】①首先根据题意得：，再利用待定系数法即可求得a、b的值；
②首先由①知：A城生产产品的总成本为：，设当A城生产m件时，这批产品的总成本的和最少，最小值为w万元，根据题意得：，再根据二次函数的性质，即可求得．
【详解】解：①根据题意得：，
把和分别代入，得
，
解得，
故答案为：1，；
②由①知：A城生产产品的总成本为：，
设当A城生产m件时，这批产品的总成本的和最少，最小值为w万元，
则B城生产件，
根据题意得：，
得，
，
当时，这批产品的总成本的和最少，最小值为万元，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，准确求得二次函数的解析式，熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．
20. 如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作，交于点．①若，则的长为________；②动点从点运动到点时，点的运动路径长为________．
【答案】 ①. 3 ②. 8
【解析】
【分析】①证明，根据相似三角形的性质即可求解；
②分点P从点B运动到中点和点P从中点运动到点C时，两种情况讨论，利用含30度角的直角的性质即可求解
【详解】解：①∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②如图，当时，，，
∵，
∴，即，
∴，
当点P从点B运动到中点时，点D运动路径长为，
当点P从中点运动到点C时，点D的运动路径长为，
∴点D的运动路径长为8．
故答案为：3；8．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题有3个小题，共32分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网络安全意识一般）．
收集整理的数据制成如下两幅统计图：

分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）已知该校九年级有1200人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
【答案】（1）85，90，80
（2）估计九年级网络安全意识非常强的大约有540人；
（3）两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）求出样本中，网络安全意识强的所占的百分比即可估计总体中的百分比，进而计算出相应的人数；
（3）列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：甲组10名同学成绩出现次数最多的是80分，共出现6次，因此众数是80分，即，
乙组的平均数（分），
将乙组的10名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分），即中位数，
故答案为：85，90，80；
【小问2详解】
解：（人），
答：该校九年级有1200人，估计九年级网络安全意识非常强的大约有540人；
【小问3详解】
解：甲组1名，乙组2名满分的同学中任意选取2名，所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有4种，
所以两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，条形统计图、折线统计图以及样本估计总体，掌握中位数、众数平均数的计算方法是正确解答的前提，列举出所有可能出现的结果是计算概率的关键．
22. 已知：抛物线与轴交于点、两点，为抛物线顶点．曲线段是双曲线上的一段，点，点．
（1）如图，当抛物线经过点时，
①请求出这个抛物线的解析式，并求出点、的坐标；
②该抛物线是否存在一点异于点的点使得，若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由；
③若、为抛物线上两点，且，直接写出、的大小关系．
（2）若抛物线与曲线段有交点，则满足条件的整数有________个．
【答案】（1）①，；②或；③
（2）3
【解析】
【分析】（1）①先用待定系数法求出二次函数解析式，再令可求出点、坐标；
②设，利用面积公式列方程求解即可；
③分两种情况利用二次函数的增减性求解即可；
（2）求出点N的坐标，把点M和点N的坐标代入二次函数解析式求出t的临界值即可．
【小问1详解】
①把代入，得
，
解得，
∴，
解，得
，
∴；
②∵，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∵点异于点，
∴，
解得，
∴点坐标为或
③当时，
∵，
∴．
当时，，
综上可知，当时，；
【小问2详解】
设双曲线解析式为，把代入得
，
∴
把代入得，
∴．
把代入得
，
解得．
把代入得
，
解得，
∴
∴满足条件的整数有2，3，4共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和反比例函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与反比例函数的交点问题，以及解一元二次方程，数形结合是解答本题的关键．
23. 如图，在边长为6的等边三角形中，动点从点出发，沿边向终点运动，同时，动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为；以为直径在右侧作半圆．
（1）当在处时，半圆落在三角形内部的弧长为________；
（2）当半圆与除点外，另有交点时，若，求的度数；
（3）直接写出：当为何值时，半圆正好与等边三角形的一边相切．
【答案】（1）
（2）
（3）当或或或时，半圆正好与等边三角形的一边相切
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，同理可得，则，再利用弧长公式求解即可；
（2）先利用等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质得到；
（3）分如图3-1所示，当半圆O与相切时，如图3-2所示，当半圆O与相切时，如图3-3所示，当半圆O与相切时，三种情况利用切线的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵当在处时，即为的直径，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理可得，
∴，
∴的长度，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵∵是等边三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图3-1所示，当半圆O与相切时，
∴，即，
∴，
∴，
∵动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3-2所示，当半圆O与相切时，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3-3所示，当半圆O与相切时，设切点为F，取中点D，过点D作于E，过点A作于M，以直线为x轴，以直线为y轴建立平面直角坐标系，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
过点P作于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
设，
∴，则，
∴，
∴点O在直线上运动，
∵D是的中点，
∴，
∴点D在直线上，
∴点O在直线上，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵与相切于点F，
∴，
∴（平行线间间距相等），
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或；
综上所述，当或或或时，半圆正好与等边三角形的一边相切．
【点睛】本题主要考查了求弧长，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．已知：如图，是的一个内角．
求作：．
作法：
①以点为圆心，为半径作的外接圆；
②在弧上取一点，连接，．所以．
③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点；
…
0
1
2
3
…
…
0
3
4
3
…
（件）
万元
平均数
中位数
众数
甲组
83
80
乙组
90
甲
乙
乙
甲
乙甲
乙甲
乙
甲乙
乙乙
乙
甲乙
乙乙