(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
题型三：立体几何中的折叠问题
题型四：立体几何综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
知识点二：点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以在方向上的投影数量为．
设点C到直线的距离为d，则．
故选：B.
例题2．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为
，
又为直线外一点，且直线过点， ，
，
点到直线的距离为.
故选：B
例题3．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（文））在直四棱柱中，底面为正方形，．点在侧面内，若平面，则点到的距离的最小值为________．
【答案】
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
，，设，.
由于平面，
所以，所以.
由于，即，
到的距离为，
所以当时，.
即到的距离的最小值为.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·湖北孝感·高二阶段练习）已知空间三点，，，则到直线的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【详解】解：因为，，，所以，
，
则，，，
所以，则，
所以到直线的距离为.
故选：B
2.（2022·河南·高二阶段练习）空间内有三点，，，则点P到直线EF的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，,
所以，
，
.
所以点P到直线EF的距离为.
故选:D.
3．（2022·全国·高二课时练习）在平行四边形中，，，，，且平面ABCD，求点P到直线BC的距离．
【答案】1
【详解】以B为坐标原点，BD所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，垂直平面ABCD向上为z轴，建立空间直角坐标系，则因为，，，由勾股定理得：，所以，，设点P到直线BC的距离为，则，则，所以.
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
典型例题
例题1．（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】因为，点在平面内，点平面外，
所以点到平面的距离，
故选：B
例题2．（2022·浙江·高三专题练习）在空间直角坐标系中，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为___________.
【答案】
【详解】由已知可得，因此，点到平面的距离为.
故答案为：.
例题3．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）如图，在长方体中，，点是的中点．
(1)求点到平面的距离；
(2)求证：平面⊥平面．
【答案】(1);
(2)证明过程见解析.
（1）
以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令得：，
所以，
则点D到平面AD1E的距离为；
（2）
，
所以，，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面⊥平面.
例题4．（2022·上海虹口·高二期末）如图，在四棱柱中，底面为菱形，平面，且，．
(1)求点到平面的距离；
【答案】(1)
解：由已知条件知：底面四边形是以2为边长的菱形．
因菱形的对角线互相垂直平分，设，的中点分别为，，
则以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系．

由条件可得：相关点的坐标为，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，又，，
则由，得，取，得．
易知，则点到平面的距离为．
题型归类练
1．（2022·全国·高二单元测试）已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为________________
【答案】
【详解】解：，0，，点到平面的距离为．
故答案为：.
2．（2022·河南·高二阶段练习）如图，已知圆锥的顶点为，点是圆上一点，，点是劣弧上的一点，平面平面，且.
(1)证明：.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：因为平面平面，
所以平面.
因为平面，且平面平面，
所以.
因为，所以，
所以，即.
（2）
解：如图，以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
因为，
所以点到平面的距离为.
3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知正四棱柱，其中．
(1)若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．
(2)求点到平面的距离
【答案】(1)
(2)
（1）实际上需求三棱锥的体积．由正四棱柱，角形的面积为因为P是棱上的动点且与平面平行，则只需写出与平面间的距离即可．由于平面，不妨记三棱锥的高为则三棱锥的体积
（2）以D为原点，如图建立空间直角坐标系．则可知设平面的法向量为则不妨设，同时设点到平面的距离为d则故点到平面的距离为
题型三：立体几何中的折叠问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形PAD是边长为2的正三角形，现将菱形沿折叠，所成二面角的大小为，此时恰有.
(1)求的长；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
（1）
解：取中点，连接，，
∵是正三角形，
∴，
又∴，，平面
∴平面，平面，
∴，
∴在菱形中，， 则，
∴
（2）
解：取为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，， ，，
设平面PCD的法向量为，
∵
∴，令，则，，∴，
设平面PCB的法向量为
∵
∴，令，则，，所以
所以，
又二面角为钝二面角，二面角的余弦值为；
例题2．（2022·安徽·高二阶段练习）如图1，已知矩形，其中，，线段，的中点分别为点，，现将沿着折叠，使点到达点，得到四棱锥，如图2.
(1)求证：；
(2)当四棱锥体积最大时，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
取BE的中点O，连接PO，OF，
因为，，线段AD，BC的中点分别为点E，F，所以，，
又因为，所以，在等腰直角中，，
，所以平面PFO，
因为平面PFO，所以.
（2）
当四棱锥体积最大时，点P在平面BCDE的射影即为点O，即平面BCDE.
法一：以OB，OF，OP方向为x轴，y轴和z轴分别建立空间直角坐标系.如图3.
则，，，
，
设平面PEC的法向量为，则
取，可得
易得平面ECB的一个法向量
所以
因为二面角是锐角，所以二面角的大小为.
法二：在中，因为，，，所以.
在中，，，，所以.
由二面角的定义可知，二面角的平面角就是.
所以二面角的大小为.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】建如图所示空间直角坐标系，得，，所以，所以.
故选：D
2．（2022·江苏宿迁·高二期末）在直角梯形中，，A为线段的中点，四边形为正方形．将四边形沿折叠，使得，得到如图（2）所示的几何体．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)当F为线段的中点时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：依题意可得、，，如图建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则
(2)
解：依题意可得，则，
设平面的法向量为，所以，令，则，
则，显然二面角的锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
题型四：立体几何综合问题
典型例题
例题1．（2022·天津市翔宇力仁学校高二阶段练习）在正四棱柱中，为的中点.
(1)求证:平面.
(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值，
【答案】(1)详见解析.
(2)
（1）
证明：如图所示：
连接AC与BD交于点O，
因为E，O为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即 ，
令，得，则，
设直线与平面所成的角为，
则.
例题2．（2022·河南省实验中学高二阶段练习）已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，且平面.
(1)证明：；
(2)当为的中点，，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：连接交于点，连接．如图所示
因为为菱形，所以，且为、的中点，
因为，所以，
因为且平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为平面， 平面，且平面平面，
所以，所以．
（2）
由（1）知且，因为，且为的中点，
所以，所以平面，
所以与平面所成的角为所以，
因为，所以．
分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则 所以
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记平面与平面所成的锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
例题3．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)6
（1）
过点作交与点，
平面平面，且两平面的交线为
平面 又平面
又且 平面
（2）
过点作交与点,连接
平面平面，且两平面的交线为
平面 又平面 到平面的距离相等
且，平面
又，令
则，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
即，当且仅当时取得最大值.
如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设与所成角为，则，则，即当几何体体积最大时，与所成角的正切值为6.
例题4．（2022·河北·高三阶段练习）如图1，一副标准的三角板中，，，，，将两三角板的边与重合，拼成一个空间图形，且三角板可绕边旋转.设是的中点，是的中点.
(1)如图2，若，求证：平面平面；
(2)如图3，若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
证明：设，因为M、N分为、的中点，
所以，，则，
即.
所以，
又因为，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）
解：作交延长线于点P，作，
因为，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
所以，，两两垂直，
所以以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，所以，
在中，，
由余弦定理得，，则，
在中，，，故，
则，，，
设平面的法向量是，
则，，
则，令，则，
设平面的法向量是，
因为，，
则，令，则，
设平面与平面所成的夹角为（），
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
题型归类练
1．（2022·天津市翔宇力仁学校高二阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中平面，且，点在棱上，点为中点.
(1)证明:若，则直线平面：
(2)求平面CPD与平面NPD所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
在上取一点，使得，连接，
，，又平面，平面，
平面；
，，，
，，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
，平面，平面平面，
平面，平面.
（2）
由题意知：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，平面与平面所成
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
，
平面与平面所成角的余弦值为.
2．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）如图，四边形为菱形，，与相交于点，平面，平面，，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)当直线与平面所成角为时，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
（1）
证明：因为面，面，所以.
因为四边形为菱形，所以为中点，又为中点，
所以，面，面，故平面.
（2）
由（1），故平面
又为菱形，故
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，
，，
设平面的法向量，则
得，令，，所以
设平面的法向量，则
得，令，，所以
于是，又
所以.
所以，二面角的正弦值为.
（3）
设，，
因为与平面所成角为，所以
解得或（舍）.
于是，.
因此，异面直线与所成角的余弦值.
3．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，.
(1)平面平面；
(2)点是棱上一点，当时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
如图，作，垂足为，
因为，故是的中点，且，
在中，由正弦定理可得，
又
所以，即
所以
所以，
则，
故，
又，且平面，
故平面，
而平面，所以平面平面.
（2）
如图，以为坐标原点，过点作和平行的直线作为轴，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由得，
故，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角余弦值为.
4．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）已知直角梯形，其中，，，且、分别是、的中点，将梯形沿翻折，并连接、形成如下图的几何体．
(1)判断几何体是哪种简单几何体，并证明；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面的夹角的正弦值．
【答案】(1)三棱台，证明见解析
(2)
（1）
几何体是三棱台，证明如下：
由条件有，又平面，平面，
所以平面，同理由，可得平面
因为，所以平面平面
另一方面，延长、交于点，如图，
因为且，由中位线性质知
同理，延长、交于点，也可得，
故点和点重合，即、、延长后交于同一点，
从而几何体是三棱台．
（2）
连接，易知是等腰直角三角形，即，
又平面平面，平面平面，所以平面
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，则，，即，
所以直线与平面的夹角的正弦值为．