(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 (高频考点—精练）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】∵，
∴，又平面的一个法向量为，
∴点A到平面的距离为
故选：B
2．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，已知点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，平面的一个法向量为， ，
所以
所以点到平面的距离．
故选：D．
3．已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（ ）
A．5B．14C．D．
【答案】C
【详解】∵＝(－2，－6,2)，·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14 ，|n|＝5，
∴点P到直线l的距离为d＝＝.
4．四棱锥P-ABCD中，，，则这个四棱锥的高h 为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】在四棱锥中，，，，，1，，，1，，
设平面的法向量为：，，．
则，可得：，不妨令，则，，
可得，12，．
，1，在平面上的射影就是这个四棱锥的高，
，．
故选：．
5．如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分别过作，垂直，交于，如图所示：
因为，，所以梯形为等腰梯形，
则，.
在中，，，则.
所以，
则，即.
沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，如图所示：
在中，，，
则，即.
所以平面.
又因为平面，所以平面平面，
即二面角的平面角为.
故选：D
6．如图，在梯形中，，四边形为矩形，点为的中点，沿，折叠，使得点与重合于点，如图2，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意知是边长为1的正三角形，，平面，，，将该几何体补形为直三棱柱，
如图所示，取的中点，连接，，则由三角形中位线定理，，
所以为异面直线与所成的角或其补角．
在中，，在中，，
所以．
取的中点，连接，，则，，，
所以，
在中，，，，由余弦定理得：
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
故选：B
7．如图，正方形沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】
设正方形边长为，和的交点为，
过作的平行线交于,
则二面角的平面角就是，
因，，且平面平面，，
所以，所以，即，
所以，
故选：C
二、多选题
8．已知平面的法向量为，点为内一点，若点到平面的距离为4，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】AD
【详解】解：由向量法可知，点到平面的距离公式为，
又，
，
由点到平面的距离为4，有
解得或
故选：AD
9．[多选题]下列命题中正确的是（ ）．
A．可以用求空间两点A，B的距离
B．设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，点A在平面内，则点B到的距离为
C．若直线l与平面平行，直线l上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线l与平面的距离
D．若平面与平面平行，则平面内任意一点到平面的距离就是平面与平面之间的距离
【答案】ABD
【详解】根据向量数量积的定义可知A显然正确，由点到平面的距离，面面距的定义以及向量公式易知B，D正确．C中，直线l上任意一点到平面的垂线段的长度为直线l与平面的距离，故C错误．
故选：ABD．
三、填空题
10．如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________.
【答案】
【详解】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由题，则，，
因为､､分别是､､的中点，
所以，，，
则，所以，所以平面，所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
因为，所以，取，则，，
所以是平面的一个法向量，
又向量，所以点E到平面的距离为，
即直线到平面的距离为.
故答案为：
11．如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，且，为的中点，则点到平面的距离为___________.
【答案】
【详解】因为，，
由勾股定理可知，，，
所以直线两两垂直.
以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.
设平面的法向量为，则，
令，得，所以点到平面的距离.
故答案为：.
四、解答题
12．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
【答案】(1)
(2)
（1）在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．
由已知AB＝＝1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．
又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝
从而易得
∵＝＝（－1，0，1）．
设异面直线AE与BF所成的角为，
则．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为
（2）
设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．
由 ∴ ，即
取＝
所以点A到平面BDF的距离
13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，M是PD上一点，且.
(1)求异面直线PB与CM所成角余弦的大小；
(2)求点M到平面PAC的距离.
【答案】(1)
(2)
(1)
解法一：连BD交AC于O，连MO，如图（一）所示，
平面ABCD，所以，.
在中，，，，
又因为底面ABCD是矩形，所以O为BD中点，，，所以，
因为M是PD上一点，且，所以M为PD中点，，，
所以（或补角）就为PB与CM所成的角，
因为，，，所以平面PAD，.
，，，
，所以异面直线PB与CM所成角余弦值为；
解法二：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图（二）所示的空间直角坐标系，
（1）
则，，，
设，则，
所以，
由，知，所以，M为PD中点，
所以，，
.
所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为.
(2)
解法一：过D做于N，如图（一）所示，平面ABCD，
所以，，所以平面PAC，
DN为点D到平面PAC的距离，在中，，
又M是PD中点，所以点M到平面PAC的距离为.
解法二：由问题（一）中解法二，可知
，，设平面PAC的法向量为，
由，得，所以，取，得，
所以是平面PAC的一个法向量.
所以点M到平面PAC的距离为.
B能力提升
14．如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到面的距离.
【答案】(1)
(2)
(1)
因为三棱锥的侧棱，，两两垂直，
所以以为坐标原，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是的中点，所以，
所以,
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为
(2)
，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
因为，
所以点到面的距离为
，
15．如图所示，在边长为12的正方形中，点B，在线段上，且，，作，分别交、于点、，作，分别交、于点、，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．
(1)试判断直线AQ是否与平面平行，并说明理由；
(2)求平面APQ与平面ABC所成二面角的余弦值．
【答案】(1)直线AQ是否与平面不平行，理由见解析
(2)
（1）
直线AQ是否与平面不平行，理由如下：
如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，
设平面的法向量为，则
，因为，所以直线AQ与平面不平行；
（2）
设平面APQ的法向量
则
所以，面APQ的法向量为，
由题意得：面ABC的法向量为，所以，设平面APQ与平面ABC所成二面角为，显然为锐角，故
所以平面APQ与平面ABC所成二面角的余弦值为．