(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 (高频考点，精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：直线与圆的位置关系
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
角度2：切线问题
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
角度2：圆与圆的公共弦问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
几何法（优先推荐）
代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
①直线与圆相交
②直线与圆相切
③直线与圆相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
2、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·山东·微山县第二中学高二期中）若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵直线l： 恒过定点
曲线C： 即：
∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的的那部分圆.
∵直线l与曲线C有两个交点，
∴如图所示，
当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，
此时 解得：
当过点M的直线也过点 时有2个交点，
此时
∴
故选：B.
例题2．（2022·安徽省舒城晓天中学高二期中）不论为何实数，直线与圆恒有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
则，得，
由，得，
由，解得，
所以直线恒过定点，
因为直线与圆恒有公共点，
所以点在圆内或圆上，
所以，即，解得，
综上，，
故选：C.
例题3（2022·山西·平遥县第二中学校高二阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（ ）.
A．相切B．相离C．相交D．无法确定
【答案】A
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线和圆相切.
故选：A
例题4．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆的位置关系是______．（相交、相切、相离）
【答案】相切
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线和圆相切.
故答案为：相切
例题5．（2022·全国·高二课时练习）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切B．相交
C．相离D．由的取值确定
【答案】A
【详解】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.
故选：A．
同类题型归类练
1．（2022·辽宁·高二期中）圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【详解】圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
2．（2022·江苏徐州·高二期中）设，为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定
【答案】B
【详解】根据题意，即，故点在圆外.
故选：B.
3．（2022·北京·北科大附中高二期中）直线与圆的位置关系是( )
A．相交但直线不过圆心B．相切
C．相离D．相交且直线过圆心
【答案】A
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为，
∴到直线的距离，
∴圆与直线的位置关系为相交，
又圆心不在直线上，
故选：A．
4．（2022·北京市昌平区前锋学校高二期中）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法判断
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
则直线与圆相切，
故选：B.
5．（2022·福建南平·高二期中）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心B．相切
C．相离D．相交但不过圆心
【答案】D
【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．
故选:D
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
典型例题
例题1．（2022·福建龙岩·高二期中）已知直线关于直线对称的直线被圆截得的弦长为，则实数的值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【详解】因为直线与直线的交点为,所以直线经过点,
取直线上一点关于对称的点为在直线上,
所以,所以的直线方程为,
圆心到直线的距离为,
圆的半径,所以,
解得,
故选:B.
例题2．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中）已知圆，直线经过点，则直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由圆的方程知圆心，半径为，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与的连线垂直于弦，
弦心距为：，
所以最短弦长为：.
故选：C.
例题3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））直线与圆相交于，两点，且．若，则直线的斜率为________．
【答案】
【详解】设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，
圆的半径，
因为，所以，
由解得，
故答案为: .
例题4．（2022·四川·泸州市龙马高中高二期中（理））已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上
(1)求圆的方程；
(2)已知直线：与圆相交于、两点，求所得弦长的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；
（2）由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．
例题5．（2022·浙江温州·高二期中）在平面内，，，为动点，若，
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知直线过点，求曲线截直线所得的弦长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，，，
，
得.
（2），点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，.
故最短弦长为.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·赣榆智贤中学高二阶段练习）已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】整理为，故圆心为，半径为，
设，故当与圆的弦垂直时，弦最短，
其中，
由垂径定理得：.
故选：B
2．（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（文））若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意，由圆心且，而，
∴，直线过，则所在直线方程为，
∴整理得：.
故选：D.
3．（2022·山西吕梁·高二期中）在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为___________.
【答案】
【详解】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.
故答案为：
4．（2022·江苏·高二专题练习）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直．
问题：已知直线过点M（3，5），且______．
(1)求的方程；
(2)若与圆相交于点A、B，求弦AB的长．
【答案】(1)
(2)
（1）
选条件①：
∵直线过点(3，5)及(－1，2)，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选条件②：
∵直线的斜率为，
直线与直线平行，∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为；
即；
选条件③：
∵直线的斜率为，
直线与直线垂直，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
（2）
圆心为(2，3)，半径为2，
圆心到直线的距离为
∴．
5．（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二阶段练习）圆的圆心坐标为，且过点
（1）求圆的方程；
（2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长．
【答案】（1）；（2）直线与圆相交；.
【详解】（1）圆的半径．故圆的方程为．
（2）圆心到直线的距离，即，直线与圆相交，可知弦长为．
角度2：切线问题
典型例题
例题1．（2022·天津蓟州·高二期中）若过点，且与圆相切的直线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【详解】圆的圆心是 ，半径是 ，
把点的坐标代入圆的方程可知点P在圆外，
当直线斜率不存在时，
直线为 ，不满足题意；
当直线斜率存在时，
设直线为 ，即 ，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
解得 或 ，
切线为或 ，
故选：D.
例题2．（2022·北京通州·高二期中）已知圆与直线相切，则（ ）
A．B．
C．，或D．，或
【答案】A
【详解】将化为标准形式为，所以圆心，半径，因为与直线相切，当时，不合题意；当时，由得，.
故选：A
例题3．（2022·上海市建平中学高二期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为______.
【答案】
【详解】点在圆上,圆心为，
，所以切线的斜率，
则过点的圆的切线方程为,
即.
故答案为：.
例题4．（2022·江苏·高二期中）已知圆和圆相交于两点．
⑴求直线的方程，并求出；
⑵在直线上取点，过作圆的切线（为切点），使得，求点的坐标．
【答案】（1），；（2）或.
【详解】两圆方程相减得 即 ,此即为直线AB 的方程,由题意知:圆 圆心到直线的距离是,.
(2)设 ,整理得,解得 从而
例题5．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习）已知两个定点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点作曲线的切线，记其中的一个切点为，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题，设点的坐标为，
因为，所以，
即，
整理得，
所以所求曲线的轨迹方程为；
（2）由（1）知，圆心，半径，
点，则，
则切线．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·扬州大学附属中学高二阶段练习）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【详解】
设切点为，圆心为，连接，则，
而，
故选：B .
2．（2022·全国·高二课时练习）直线上一点向圆引切线长的最小值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为.
所以切线长的最小值为.
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆相切，则的值是（ ）
A．-2或12B．2或-12C．-2或-12D．2或12
【答案】C
【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1，
所以或.
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【详解】若切线的斜率不存在，则过的直线为，
此时圆心到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线为圆的切线.
若切线的斜率存在，设切线方程为：即，
故，解得，
故此时切线方程为：.
故选：B.
5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
【答案】A
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则，有，
所以圆与圆相交.
故选：A
例题2．（2022·北京教育学院附属中学高二期中）已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
【答案】B
【详解】由题意知，两圆心之间的距离，圆与圆的半径之和为，，两圆相离.
故选：B
例题3．（2022·上海市建平中学高二期中）若圆和圆外切，则______.
【答案】4
【详解】圆圆心为，半径为1，
圆圆心为，
所以圆心距，
因为两圆外切，所以,所以.
故答案为：4.
例题4．（2022·北京八中高二期中）若单位圆与圆相切，则实数___________．
【答案】或
【详解】若两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，即；
若两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差的绝对值，即；
故或.
故答案为：或.
例题5．（2022·全国·高二课时练习）以为圆心，以为半径的圆与圆：内含，则的取值范围为______．
【答案】
【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心距，因为两圆内含，所以，所以或．所以r的取值范围为．
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·北京市昌平区第二中学高二期中）圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
【答案】C
【详解】解:由题知可化为,
,所以圆心为,半径为2,
,圆心为,半径为4,
所以圆心之间的距离为,
因为圆心距大于半径差的绝对值,小于半径和,
所以两圆相交.
故选:C
2．（2022·辽宁沈阳·高二期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．外切D．内切
【答案】A
【详解】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为2，所以两圆圆心之间的距离为，半径和为.因为，所以两个圆相离.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：与圆C2：，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.
【答案】6或
【详解】C1：的圆心为，半径为，圆C2：的圆心为，半径为，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此或，解得或，
故答案为：6或
4．（2022·全国·高二专题练习）圆与圆的位置关系为___________.
【答案】相交
【详解】的圆心为，半径，
的圆心为，
所以圆心距，
可得，
所以和相交.
故答案为：相交
5．（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆内切，则_________.
【答案】1或121
【详解】圆的半径，
圆的圆心坐标为，半径.
因为两圆内切，且圆心距离，
所以或，解得或.
故答案为：1或121
角度2：圆与圆的公共弦问题
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高二期中）圆：与圆：的公共弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为x2+y2-2x=0，x2+y2+4y=0，所以(x2+y2-2x)-(x2+y2+4y)=0，所以x+2y=0，即所求直线方程为x+2y=0.
故选：A
例题2．（2022·江苏·常州市第二中学高二期中）圆：和圆：的公共弦的垂直平分线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】变形为，圆心为，
变形为，圆心为，
公共弦AB的垂直平分线即为直线，
即，整理得.
故选：D
例题3．（2022·全国·高二专题练习）两圆与公共弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为两圆与，
所以两圆方程相减得
故选：D
例题4．（2022·四川·三台中学高二阶段练习（文））圆与圆的公共弦长为
A．1B．2C．D．
【答案】D
【详解】两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为，圆的半径，圆心到直线的距离，则弦长．故选．
例题5．（2022·广西·桂林市第一中学高二期中）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_________.
【答案】
【详解】即，
，
两式相减得，
所以直线的方程是.
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）已知圆：，圆：相交于P，Q两点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】联立两圆得：，即，将其代入圆：中得：，解得：，，所以，，故两圆交点坐标为，则
故选：B
2．（2022·全国·高二专题练习）设圆：和圆：交于，两点，则线段所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题意知：①，②，
∴由①- ②得，直线的方程为.
故选：A.
3．（2022·江西赣州·高二期中）已知两圆与交于两点，则直线的方程为___________.
【答案】
【详解】，，
两式作差得，化简得，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆和圆，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________.
【答案】
【详解】圆和圆
的圆心分别为：和，
垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，
所以直线方程为，
整理可得：.
故答案为：.
5．（2022·山东泰安·高二期末）圆与圆的公共弦长为______．
【答案】
【详解】圆与圆
两式相减得，公共弦所在直线方程为：
圆，圆心为
到公共弦的距离为：
公共弦长为
故答案为：直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
图象
位置关系
相交
相切
相离
判定方法
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相交。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相切。
；
。
圆心到直线的距离：。
圆与直线相离。
图象
位置关系
图象
位置关系
外
离
外
切
相
交
内
切
内
含