(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性 (高频考点-精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
角度2：根据函数奇偶性求解析式
角度3：函数奇偶性的应用
角度4：由函数奇偶性求参数
角度5：奇偶性+单调性解不等式
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
角度2：由函数对称性求函数值或参数
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数为偶函数，且，则（ ）
A．1B．3C．4D．7
【答案】C
由偶函数的性质得.
故选：C.
2．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知函数是奇函数，当时，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
奇函数，当时，，
所以.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）设定义在R上的函数f（x）满足，若f（1）=2，则f（99）=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
依题意，,
所以，
所以是周期为的周期函数，
所以.
故选：D
4．（2022·四川广安·模拟预测（理））设是定义域为R的奇函数，且当时，，则_______.
【答案】
由题意，当时，，
因为为奇函数，可得.
故答案为：.
5．（2022·甘肃武威·高二期末（文））已知函数对于任意实数x满足．若，则_______________．
【答案】3
解：∵，所以周期为2的函数，
又∵，∴．
故答案为：3
6．（2022·广西桂林·二模（文））函数的对称轴方程为___________.
【答案】
，
，
所以对称轴方程为，
故答案为：.
7．（2022·福建泉州·高一期末）写出一个满足，且的函数的解析式__________．
【答案】（答案不唯一）
由，可知函数关于对称，
所以，
又，满足.
所以函数的解析式为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，定义域为，
因为，所以是奇函数，A错误；
在上单调递增，故B错误；
定义域为R，且，故为偶函数，
又开口向下，在上单调递减，符合要求，C正确；
在上单调递增，故D错误.
故选：C
例题2．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
对于A，函数为偶函数，且在上单调递增，满足题意
对于B，函数为偶函数，但在上单调递减，故B错误
对于C，函数为非奇非偶函数，故C错误
对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误
故选：A
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题3．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
当时，则，因为是奇函数，
所以.
故选：D
例题4．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【答案】
由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期末）已知函数，若，则（ ）
A．4B．5C．7D．
【答案】A
构建在R上为奇函数，则
即，则
故选：A．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，则___________.
【答案】
根据题意，函数，则，
则，故有，
又由，则，
故答案为：
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，则常数的值为__．
【答案】##-0.5
易知函数定义域为
函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 .
例题2．（2022·广东深圳·高二期末）若是奇函数，则实数___________.
【答案】
定义域为，且为奇函数，，解得：；
当时，，，
为上的奇函数，满足题意；
综上所述：.
故答案为：.
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·江苏省如皋中学高一期末）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，
由可得，
∴，
解得.
故选：B.
例题2．（2022·辽宁抚顺·高二期末）定义在上的奇函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：因为奇函数在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，解得．
故选：C.
例题3．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，
则，解得.
故选：D.
题型归类练
1．（2022·河北沧州·高一开学考试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
函数在上单调递增，是偶函数，故A不符合题意；
函数是非奇非偶函数，故B不符题意；
是奇函数且在上单调递增，故C符合题意；
在上单调递增，是偶函数，故D不符题意.
故选：.
2．（2022·全国·高三专题练习）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
设，则，因为函数为奇函数，且当时，，
，即：.
故选：D
3．（2022·广东揭阳·高一期末）函数为上的奇函数，时，，则（ ）
A．B．2C．D．6
【答案】C
时，，故，又函数为上的奇函数，故.
故选：C
4．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：因为偶函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，则等价于，解得，所以原不等式的解集为；
故选：A
5．（2022·广西北海·高二期末（文））下列函数中，在其定义域内是奇函数的是__________.（填序号）
①；②；③；④
【答案】①④
①，定义域为，，为奇函数，正确；
②，定义域为，，为偶函数，错误；
③，定义域为，，为非奇非偶函数，错误；
④，定义域为，，为奇函数，正确；
故答案为：①④.
6．（2022·云南保山·高一期末）函数，若，则＝________．
【答案】
解：令，
由，得，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，
所以.
故答案为：.
7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数是奇函数，则_______．
【答案】1
解：函数是奇函数，
，即恒成立，
即恒成立，
．
故答案为：．
8．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知函数是奇函数，则___________.
【答案】1
由题知，的定义域为R，因为是奇函数，所以，
所以，
所以，
所以恒成立
所以.
故答案为：1.
9．（2022·福建·漳州三中高二期末）若幂函数为偶函数，则 ________ .
【答案】
∵函数为幂函数，
∴，解得或，
又∵为偶函数，
∴，
故答案为：.
10．（2022·四川南充·高一期末）定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
解：是定义在上的奇函数，且在上是减函数
在定义域上是减函数，且
，即
故可知，即可解得
实数的取值范围为.
故答案为：
11．（2022·广西·容县高级中学高一开学考试）函数是定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）或.
（1）令，则，
由，此时；
（2）由，，
所以，
解得或或（舍）.
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由，可得函数的周期为，
，又为偶函数，
，
当时，，
.
故选：D.
例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定义在上的函数渙足，则___________.
【答案】
因为在R上的函数满足，且，
令，有，
又，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以.
故答案为：．
例题3．（2022·江西·横峰中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.
【答案】
解：因为，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又因是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：.
题型归类练
1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数对于任意实数x满足条件，若，则______.
【答案】##0.2
令，，则.
令，，则；
令，，则.
故答案为:
2．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）已知奇函数满足，，若当时，，则______．
【答案】
因为，即是以周期为的周期函数. 为奇函数且当时，， ，当时，
所以
故答案为：
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数______．
①为偶函数；②的最大值为2；③不是二次函数．
【答案】（答案不唯一）
因为为偶函数，则，所以的图象关于直线对称，
又的最大值为2，所以可取．
故答案为：（答案不唯一）.
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，
若，则.
故，即.
故选：C.
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，若，则（ ）
A．－8B．－4C．0D．4
【答案】B
因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，故．
故选：B.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式__________.
①的定义域为，值域为；
②；
③在上单调递减.
【答案】
因为，
所以函数的对称轴为：，该函数可以是二次函数，
又因为的定义域为，值域为，在上单调递减，
所以该二次函数为：，
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，
因为，
故函数的周期为4，则；
而，所以由可得；
而，
解得.
故选：C.
3．（2022·福建省德化第一中学高二期末）已知函数的定义域为，且对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
由题意，函数对任意实数有，
可得，
则，
所以函数是以为周期的周期函数，
又由函数的图象关于直线对称，
可得函数的图象关于轴对称，即，
因为，所以.
故选：A.
4．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，则，
则，即，
所以，即，则，
所以的周期是4.
故选：C.
5．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】D
因为是定义在上的奇函数，故可得，
又为偶函数，故可得，
则，故以4为周期，
故.
故选：D.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
3．（2021·全国·高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数