新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.14 导数中的恒成立、存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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1．恒成立问题的解法
(1)若在区间D上有最值，
则；；
(2)若能分离常数，即将问题转化为（或），
则；.
2．已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法
(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
3．利用参变量分离法求解函数不等式能成立问题，可根据以下原则进行求解：
(1)，；
(2)，．
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，曲线恒与x轴相切于坐标原点．
(1)求常数b的值；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：恒成立．
【解题思路】（1）求导，由求出答案；
（2）先考虑时，满足要求，再考虑，参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性，结合洛必达法则求出实数a的取值范围；
（3）推导出要证，只需证，
令，则，构造函数，，并证明出不等式即可.
【解答过程】（1），
由得，；
（2）当时，，满足要求，
当时，分离变量可得：，
令，则，
令，，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，故，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
故，故，
两边平方得，故在恒成立，
故在上单调递增，
故只需证明即可，当时，属于类型，
由洛必达法则得，
，
故，实数a的取值范围是；
（3）要证，
故只需证，
只需证，只需证，
令，则，构造函数，即可，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，所以，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，所以，
综上，，证毕.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围．
【解题思路】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为，当时，原不等式可化为，当时，原不等式可化为，根据函数的单调性讨论m的取值范围．
【解答过程】（1）依题意得．
①当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
③当时在上恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增．
（2）当时，恒成立，则恒成立．
（i）当时，不等式即，满足条件．
（ii）当时，原不等式可化为，该式对任意恒成立．
设，则．
设，则．
因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增．
又因为，所以是在上的唯一零点，
所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以当时，，所以．
（iii）当时，原不等式可化为，
此时对于（ii）中的函数，可知当时，，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即，所以在上单调递减，
所以当时，，所以．
综上所述，m的取值范围是．
3．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数．
(1)求证：函数在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
【解题思路】（1）由导数结合正弦函数的性质得出单调性；
（2）分离参数得出，利用导数得出的最值，进而得出实数k的取值范围．
【解答过程】（1）证明：∵
当时，
∴成立，所以函数在上单调递增．
（2）
当时，不等式显然成立
当时，，所以
令，
令，
在上成立，
∴在上为单调递增函数，
∴
即在上成立，
在上单调递减，∴
∴．
4．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．
【解题思路】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；
（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；
（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.
【解答过程】（1）由题设，
当时，，则在R上递增；
当时，令，则，
若，则，在上递减；
若，则，在上递增；
综上，时的递增区间为R，无递减区间；
时的递减区间为，递增区间为.
（2）由，
当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；
当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，
所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，
所以，只需，
令且，则，即递减，
所以，故在上不存在；
综上，
（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；
时，在上递减，在上递增，且，
所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，
所以，在上存在唯一，使，
要证，只需在上恒成立即可，
令，若，则，
令，则，即在上递增，故，
所以，即在上递增，故，
所以在上恒成立，得证；
故，得证.
5．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知函数，，其中．
(1)若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围；
(2)若存在，使不等式成立，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由可得，则题意可转化成在上有唯一的零点,分，和三种情况进行讨论分析即可；
（2）题意可转化成函数在上的最小值小于零，求导，然后分，和三种情况分析其最小值即可
【解答过程】（1）函数,
因为,所以,即,
令,由题意得只需函数在上有唯一的零点,
又,其中,
当时,恒成立,单调递增,又,则函数在区间[1,e]上有唯一的零点;
当时,恒成立,单调递减,又,则函数 在区间[1,e]上有唯一的零点;
当时,
当时,单调递减,又,所以,则函数在区间上有唯一的零点;
当时,单调递增,则当时符合题意,即 ,
所以,所以当时,则函数在区间上有唯一的零点;
综上所述,实数的取值范围是;
（2）存在,使不等式成立,
等价于在上有解,即函数在上的最小值小于零,
①时,即时,在[1,e]上单调递减,所以的最小值为,
由,可得,又,故;
②当时,即时,在[1,e]上单调递增,所以的最小值为,
由,可得;
③当,即时,
当时,单调递减,当时,单调递增，
可得的最小值为,
因为 ,所以,,
所以 不成立,
综上所述,实数的取值范围是.
6．（2023·山东聊城·统考一模）已知函数，．
(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(2)若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围．
【解题思路】(1) 直线是曲线的一条切线,根据切点在切线和原函数上，斜率是切点处导数列式求的值即可；
(2) 把任意的，都存在，使成立转化，在参数分离转化为恒成立,构造函数 ，求出，进而求出 的取值范围.
【解答过程】（1）由得,
设直线 与曲线的切点为,
则，
解得
因此的值为.
（2）由得
设，则 ,
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为
所以存在 ，使 ,
且当时， ；当时， ；
从而 ，且当 时， ；
当 时， ,所以函数 在上单调递减，在上单调递增，
因此 ,
由，得从而 ,
所以
由对于任意的，都存在，使 成立，
得对于任意的，都有 ,
即不等式在上恒成立，
即不等式 在上恒成立.
设 ，则
因为 ，当 时，;
当 时，;
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以 ，因此 ,
故 的取值范围为.
7．（2023·陕西铜川·校考一模）已知函数 ．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．
【解题思路】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；
（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.
【解答过程】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，则，且，
，，所以，.
所以，，
所以
.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对于任意的，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.
【解题思路】（1）求出导函数，由导数的正负确定单调性；
（2）利用导数求出的最小值，问题转化为不等式恒成立，再用分离参数法分离参数后转化为求函数的最大值．
【解答过程】（1）由题可知函数的定义域为.
因为，则.
当时，.
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以的单调递增区间为的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
又，所以，故函数在上单调递增，
所以.
所以对任意的恒成立，即恒成立.
所以恒成立.
令，则.
令，则，解得.
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减.
所以.所以.
所以实数的取值范围是.
9．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若上，使得成立，求的取值范围．
【解题思路】
将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到极值；
（2）,有解，即h(x)的最小值小于0即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可.
【解答过程】（1）当时，
令0，得
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以在时取得极小值为.
（2）由已知：，使得
，即：
设，则只需要函数在上的最小值小于零．
又，
令，得（舍去）或．
①当，即时，在上单调递减，
故在上的最小值为，由，可得．
因为，所以．
②当，即时，在上单调递增，
故在上的最小值为，由，
可得（满足）．
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为．
因为，所以，
所以，即，不满足题意，舍去．
综上可得或，
所以实数的取值范围为．
10．（2023·安徽安庆·校考一模）已知函数
（I）当的单调区间；
（II）若任意给定的，使得
的取值范围．
【解题思路】（I）求导，进行求解即可；
（II）分类讨论，进行求解即可.
【解答过程】解：（I）由；
由；
故函数；单调递减区间是[0，1].。
（II），
①当时，显然不可能；
②当时，
又因为当上是减函数，
对任意，不合题意；
③当时，
又因为当在[0，2]上是增函数，对任意
，
由题意可得，解得，
综上，a的取值范围为
11．（2023春·天津静海·高二阶段练习）已知函数（是自然对数的底数）
(1)求在处的切线方程.
(2)存在成立，求a的取值范围.
(3)对任意的，存在，有，则的取值范围.
【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）根据题意可得原题意等价于存在成立，结合存在性问题分析运算；
（3）根据题意可得：，对于：利用导数求其最大值，对于：分类讨论求其最大值，分析运算即可得结果.
【解答过程】（1）由题意可得：，
则，
即切点坐标，切线斜率，
故在处的切线方程为，即.
（2）∵，则，
∴原题意等价于存在成立，
又∵，则，
∴，
故a的取值范围为.
（3）因为对任意的，存在，有，所以，
因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
因为开口向下，对称轴为，则有：
①当，即时，在上单调递减，则，
所以，则，
故；
②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，故；
③当，即时，在上单调递增，则，
所以，故；
综上所述：，即的取值范围.
12．（2023·北京·校考模拟预测）已知函数．
(1)若在处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若在区间上恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）根据导数几何意义可得在处的切线斜率为0，即可得；
（2）利用导函数对参数进行分类讨论，判断出函数的单调性即可求得极值点；
（3）将不等式在区间上恒成立转化成函数在恒成立，利用导数求得当时，成立，即可求得的取值范围.
【解答过程】（1）由题可得，，
又切线与x轴平行，所以，即，解得．
经检验，当时，在处的切线为，满足题意．
所以.
（2）易知函数的定义域为，又，
则当时，恒成立，在上单调递增，无极值点；
当时，令，则，
和随的变化如下表：
此时，存在极小值点为，无极大值点．
（3）设，则，
当时，，则在上单调递增，，结论不成立；
当时，令，则，
若，即，和随的变化如下表:
若在区间上恒成立，则只需.
设，，则，
所以在上单调递增，，
因此在上无解；
若，即，，在上单调递减，
所以恒成立，
综上所述，a的取值范围是．
13．（2023·云南昆明·统考一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）根据题意可得有两个正根，换元令，分析可得有两个正根，换元令，整理分析可得当时恒成立，利用定点法运算求解.
【解答过程】（1）∵，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
故切线方程为，即.
（2）∵，
令，可得，
原题意等价于有两个正根，
构建，则，
等价于有两个正根，
∵当时恒成立，
故在上单调递增，
对于，由，可得，
可得，可得，
令，由，可得，
由，整理可得，
对于，
原题意等价于当时恒成立，
等价于当时恒成立，
构建，则，
注意到，则，解得，
当时，构建，
则当时恒成立，
故在上单调递增，则，
即当时恒成立，
故在上单调递增，则，
可知符合题意，
综上所述：实数的取值范围.
14．（2023·全国·联考模拟预测）已知函数．
(1)试讨论的单调性；
(2)求使得在上恒成立的整数a的最小值；
(3)若对任意，当，时，均有成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）求，讨论取不同值时的正负，判断函数的单调性；（2）由（1）可知时不成立，时借助于的单调性，解的的范围，求出满足条件的最小整数；（3）当时，在上单调递增，，将原不等式化简计算可解出的范围.
【解答过程】（1）由题意知：
且
①当时，恒成立
∴在上单调递增，在上单调递减
②当时
恒成立，即在上单调递增
③当时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
④当时
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）由（1）知：当时，在时单调递增
又因为时，
所以不符合题意，所以
由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
∴
可得
所以使得在上恒成立的整数a的最小值为1
（3）由（1）可知，当时，在上单调递增
∴
∵恒成立
∴
∴
∵，∴
∵，∴
∴.
15．（2023·宁夏银川·校考一模）已知函数的图像与直线相切于点．
(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；
(2)求与的函数关系；
(3)当为函数的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数的取值范围．
【解题思路】（1）根据导数的几何意义求得在点的切线方程，即可得该切线在x轴上的截距；
（2）利用导数求函数在处的切线方程，再结合已知切线方程，整理联立即可得关系；
（3）由已知先确定的值，再根据含参不等式恒成立，分类讨论孤立参数求新函数最值，即可得实数的取值范围．
【解答过程】（1），，
所以，
函数在点处的切线方程是：，
令得，所以该切线在x轴上的截距等于．
（2）因为，，函数的图像在处的切线方程是：
，即，
两端乘以b变作：①
又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．
直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：．
（3）函数的零点为，时．
对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．
①当时，对恒成立，此时．
②当时，恒成立．
设，求得．
时，由得，由得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，取得极小值，，此时．
③当时，恒成立，
与②同，设，．
令，则，在上单调递增．
所以，时，得，在上单调递减．
所以，时，取得最大值，此时．
整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．
所以实数的取值范围为．
16．（2023·吉林·统考二模）已知函数.
(1)判断的单调性；
(2)设函数，记表示不超过实数的最大整数，若对任意的正数恒成立，求的值.
（参考数据：，）
【解题思路】（1）对函数求导判断出导函数恒小于等于0，即可得在上单调递减；
（2）利用导函数判断出函数的单调性，并根据不等式可得出以及的取值范围，代入整理可得，再根据函数的定义和参考数据即可求得结果.
【解答过程】（1）函数的定义域是，
易知恒成立，
∴在上单调递减.
（2），定义域是，
则，
令，则；令，则.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∵，，.
∴存在，使，即.
当时，；当或时，
∵
当时，；当或时，.
∴1和是方程的两个不等实数根.
∴，由韦达定理.
∴，，∴.
即
∴
又由，∴
又，∴
所以（其中）
由（1）知在区间上单调递减
且，.
∴.
即.
17．（2023秋·北京·高二校考期末）已知函数．
(1)若a＜1且仅存在两个的整数，使得，求的取值范围；
(2)讨论零点的个数；
(3)证明，，有．
【解题思路】（1）利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知满足不等式的整数只有两个，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可；
（2）考查直线与函数图象相切时实数的值，数形结合可得出实数在不同取值下函数的零点个数；
（3）构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，由以及函数的单调性可证得所证不等式成立.
【解答过程】（1）解：令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，且当时，；当时，.
由可得，作出函数、的图象如下图所示：
因为有且只有两个整数，使得，
则满足不等式的整数只有两个，所以，
解得.
（2）解：考查当直线与函数相切时，实数的值，
设切点坐标为，则切线斜率为，
所求切线方程为，
即，
所以，，解得或，
当时，；当时，.
如下图所示：当时，直线与函数的图象只有一个公共点；
当或时，直线与函数的图象有个公共点；
当或时，直线与函数的图象只有个公共点；
当时，直线与函数的图象无公共点.
综上所述，当时，函数无零点；
当或或时，函数只有个零点；
当或时，函数只有个零点.
（3）证明：不妨设，构造函数，其中，
因为，
，
令，其中，则且不恒为零，
故函数在上为增函数，
因为，故，
所以，，故，
所以，函数在上为减函数，
故当时，，
因为，则，
因此，、且，有.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数设.
(1)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)求证:;对,使得总成立.
【解题思路】(1)先写出解析式,根据在上单调递增,即在上恒成立,全分离,设新函数,求导求单调性求最值即可;
(2)因为,即只需时,,时,成立即可,取,分时,求导可知在上单增,即得证,时,由(1)结论,在上单调递增,即时,,对求导后分析的正负,分析范围即可证明.
【解答过程】（1）解:由题可知
因为在上单调递增,
所以在上恒成立,
因为时,,
故只要在上恒成立,
令,,
因为,,
令,
即,
解得,
故在上单增,
在上单减,
所以,
即实数的取值范围为;
（2）由题意, 因为,
所以只要找出,使得时,;
时,即可,
当时,显然成立;
现证,满足题意,
即证当时,若时,成立,
若时,也成立,
当时,
若,则,
所以,
因为,故,
即恒成立,
所以在上单增,
故,
即时,成立;
当时,
若,,
由(1)知当时,
在上单调递增,
因为等价于,
即等价于,
所以在上单调递增,
故当时,,
因为当时,
,且,
因为等价于,
所以,
即当时,也有．
综上,,对,,使得总成立．
19．（2023·全国·高三专题练习）函数，．
(1)求的单调递增区间；
(2)对，，使成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负，即可求得答案;
（2）将化为，则设，则原问题等价于，，利用导数求函数最值，即可求得答案.
【解答过程】（1）因为，所以，
当，即时，，单调递增，
等号仅在时取得，
综上，的单调递增区间是.
（2），即，
设，
则问题等价于，，
由（1）可知，当时，，故在递增，
∴，
，，
∵时，，，
故当时，，在递增，，
故，即，
即实数的取值范围是.
20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
【解题思路】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值；
（2）利用导数研究的单调性并求出上的最大值，由二次函数性质求在上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围.
【解答过程】（1）由，可得．
因为，，
所以切点坐标为，切线方程为：，
因为切线经过，所以，解得．
（2）由题知的定义域为，，
令 ，解得或，
因为所以，所以，
令，即，解得：，
令，即，解得：或，
所以增区间为，减区间为．
因为，所以函数在区间的最大值为，
函数在上单调递增，故在区间上，
所以，即，故，
所以的取值范围是.
21．（2023·全国·高二专题练习）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，当时，任意，存在使得成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）利用导数来研究函数的单调性，注意对参数进行讨论.
（2）恒成立与能成立问题都利用函数的最值来处理.
【解答过程】（1）因为函数，
所以函数定义域为： ，且
①当时， ，令，令 ,
所以当时，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，因为，所以当时，
，令 ，令 或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时， ，
所以当时，在上单调递减；
当时，，令 ，令
或，
所以当时，在，上单调递减，在上单调递增；
③当时，令 ，令 ，
所以当时 在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时 在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，
所以，所以原问题，
使得成立，使得成立.
设，则，
所以上单调递减，所以.
所以即.
22．（2023春·云南昆明·高三阶段练习）已知函数.
(1)若恒成立，求实数k的取值范围；
(2)当时，设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）利用参变分离法，题目转化为：在上恒成立，令，然后，问题转化为求出即可，利用导数研究，得出，可得实数k的取值范围.
（2）当时，，即可根据题意，可转化为证明成立，令，利用导数研究的单调性和取值范围，即可求出实数m的取值范围.
【解答过程】（1）由题意知：在上恒成立，
令，
∴,
令,
,
,
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增,
∴,
;
（2）当时，，若对任意，存在，要使成立，即需成立,
令,
,
∵，,
∴在上恒成立,
即在上为增函数,
∴,
∵存在，要使在时恒成立,
只需或在时恒成立,
由于在时不恒成立,
∴即需在时恒成立,
即需或在时恒成立,
即或在时恒成立,
又由于在时不恒成立,
∴只需在时恒成立,
即需在时恒成立,
∴只需,
即需,
∴若对任意，存在，使得成立时，的取值范围为.
23．（2023春·重庆璧山·高二校考阶段练习）已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由，按，进行分类讨论求解；
（2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围．
【解答过程】（1），
①当时，由于，故，，
所以的单调递增区间为；
②当时，由，得，
在区间上，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）由题目知，只需要即可
又因为，所以只需要即可
即等价于恒成立，
由变量分离可知，，
令，下面求的最小值，
令，所以得，
所以在为减函数，为增函数，
所以，所以.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可得出，可求得实数的值；
（2）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）分析可知当时，有，分析两个函数的单调性，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【解答过程】（1）解：，则，其中，
由题意可得，即，解得．
（2）解：函数的定义域为，则.
①当时，对任意的，，
由，可得；由，可得，
此时函数的增区间为，减区间为；
②当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、；
③当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数的增区间为，无减区间；
④当时，则，由可得；由可得或.
此时函数的减区间为，增区间为、.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为、；
当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为、.
（3）解：对任意，均存在，使得，
所以，当时，有．
在的最大值．
由（2）知：①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，此时；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
由，知，所以，，则，则.
综上所述的取值范围是．
25．（2023春·四川遂宁·高三阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若时，求的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）写出时函数表达式，运用导数与函数单调性的知识进行求解即可；
（2）将存在性问题转化为最值问题，原题即求对任意成立的的取值范围，分类讨论的范围即可求解.
【解答过程】（1）若时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意可知，即求成立的的取值范围，
因为，，所以，
所以（当且仅当时取等号），
即，即求对任意成立的的取值范围，
当时，，此时在上单调递增，
且有，不满足；
当时，易知，显然成立；
当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
0
（0，1）
1
（1，2）
2
0
—
0
+
1
极小值
0
（0，1）
1
（1，2）
2
0
+
0
—
1
极大值
x
－
0
＋
极小值
x
－
0
＋
极小值