新高考数学二轮复习解答题提优训练专题2.12 导数的极值、最值问题（2份，原卷版+解析版）

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1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧的符号不同．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．利用导数求解函数最值的思路
(1)若所给的闭区间不含参数，则只需对求导，并求在区间内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
(2)若所给的区间含有参数，则需对求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
3．用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
1．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
2．（2023·四川成都·模拟预测）已知函数
(1)若是的一个极值点，求的最小值；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围．
4．（2023·江苏·统考一模）已知定义在上的两个函数，.
(1)求函数的最小值；
(2)设直线与曲线，分别交于A，B两点，求的最小值.
5．（2023·山东济南·一模）已知函数．
(1)当，求曲线在点处的切线方程．
(2)若在上单调递增，求a的取值范围；
(3)若的最小值为1，求a．
6．（2023·四川绵阳·校考模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若，证明：在上单调递增．
(2)若存在两个极小值点 ．
①求实数的取值范围；
②试比较与的大小．
8．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数
(1)若时，求的最值；
(2)若函数，且为的两个极值点，证明：
9．（2023·山东·校联考模拟预测）已知，函数．
(1)若和的最小值相等，求的值；
(2)若方程恰有一个实根，求的值．
10．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数．
(1)若的最小值为0，求a；
(2)设函数，若是增函数，求a的取值范围．
11．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)设．
①求曲线在点处的切线方程．
②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．
(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．
12．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围.
13．（2023·四川泸州·统考二模）已知函数．
(1)若是的一个极值点，求的最小值；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围．
14．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知函数.
(1)若，求证；函数的图象与轴相切于原点；
(2)若函数在区间，各恰有一个极值点，求实数的取值范围.
15．（2023·北京石景山·统考一模）已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求证：，.
(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
16．（2023·贵州毕节·统考一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，函数存在唯一的极大值点.
17．（2023·福建·统考一模）已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)若有两个极值点，且，当时，证明：．
18．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．
19．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数的两个不同极值点分别为，（）.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：（为自然对数的底数）.
20．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知函数，（其中是自然对数的底数，）.
(1)若函数在处取得极值，求函数的单调区间；
(2)若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围.
21．（2023·山西大同·校考模拟预测）已知函数，其中．
(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，，时，求的取值范围.
22．（2023·山东淄博·统考一模）已知函数和有相同的最小值.
(1)求的值；
(2)设，方程有两个不相等的实根，，求证:
23．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数，．
(1)若的最值和的最值相等，求m的值；
(2)证明：若函数有两个零点，，则．
24．（2023·重庆·统考一模）已知函数，设为的导函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)当时，记的最小值为，求的最大值．
25．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数.
(1)若函数在定义域上单调递增,求的最大值;
(2)若函数在定义域上有两个极值点和,若,求的最大值.